forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Ιούλ 2014, 03:10

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: συμπάγεια
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Μάιος 2009, 16:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2235
Άσκηση 6.1. Ένα υποσύνολο K του X λέγεται συμπαγές, αν είναι συμπαγής μετρικός χώρος με τη σχετική μετρική. Δείξτε ότι αυτό είναι ισοδύναμο με το εξής: για κάθε κάθε ανοικτό κάλυμμα (V_i)_{i\in I} του K υπάρχουν i_1,\ldots ,i_m\in I ώστε K\subseteq \bigcup_{j=1}^m V_{i_j}.

Άσκηση 6.2. Έστω a<b στο {\mathbb R}. Χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό του συμπαγούς μετρικού χώρου δείξτε ότι το [a,b] είναι συμπαγές υποσύνολο του {\mathbb R} με τη συνήθη μετρική, ενώ τα διαστήματα (a,b), [a,b) και [a,\infty ) δεν είναι συμπαγή υποσύνολα του {\mathbb R} με τη συνήθη μετρική.

Άσκηση 6.3. Αν A,B είναι συμπαγή υποσύνολα ενός μετρικού χώρου (X,\rho ), αποδείξτε ότι το A\cup B είναι συμπαγές.

Άσκηση 6.4. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος και E,F υποσύνολα του X ώστε το E να είναι συμπαγές, το F κλειστό και E\cap F=\emptyset. Αποδείξτε ότι {\rm dist}(E,F)>0.

Δείξτε επίσης ότι υπάρχουν A,B κλειστά, ξένα υποσύνολα του {\mathbb R}^2 ώστε {\rm dist}(A,B)=0.

Άσκηση 6.5. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι:

(α) Aν x\in X και A συμπαγές υποσύνολο του X, τότε υπάρχει y\in A ώστε {\rm dist}(x,A)=\rho (x,y).

(β) Αν A,B είναι συμπαγή υποσύνολα του X τότε, υπάρχουν x\in A, y\in B ώστε {\rm dist}(A,B)=\rho (x,y).

Άσκηση 6.6. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος.

(α) Υποθέτουμε ότι υπάρχει \varepsilon >0 ώστε για κάθε x\in X το σύνολο \overline{B}(x,\varepsilon ) να είναι συμπαγές. Δείξτε ότι ο X είναι πλήρης μετρικός χώρος.

(β) Αν για κάθε x\in X υπάρχει \varepsilon >0 ώστε το σύνολο \overline{B}(x,\varepsilon ) να είναι συμπαγές, τότε είναι ο X κατ' ανάγκην πλήρης;

Άσκηση 6.7. Έστω (X,\rho ) συμπαγής μετρικός χώρος και f:X\to Y. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

(α) Η f είναι συνεχής.

(β) Η συνάρτηση γράφημα G_f:X\to X\times Y με G_f(x)=(x,f(x)) είναι συνεχής.

(γ) Το γράφημα {\rm Gr}(f)=\{(x,f(x)):x\in X\} είναι συμπαγές στον X\times Y.

Είναι αναγκαία υπόθεση ο μετρικός χώρος X να είναι συμπαγής;

Άσκηση 6.8. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος και F\subseteq X. Αποδείξτε ότι το F είναι κλειστό αν και μόνον αν για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του X το F\cap K είναι κλειστό.

Άσκηση 6.9. Έστω (X,\rho ) συμπαγής μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι:

(α) Κάθε ισομετρία f:X\to X είναι επί.

(β) Αν (Y,\sigma ) είναι μετρικός χώρος ώστε να υπάρχουν ισομετρίες g:X\to Y και h:Y\to X, τότε και ο Y είναι συμπαγής.

Άσκηση 6.10. Γνωρίζουμε ότι κάθε συμπαγές υποσύνολο K ενός μετρικού χώρου (X,\rho ) είναι φραγμένο. Αποδείξτε ότι υπάρχουν x,y\in Î ώστε \rho (x,y)={\rm diam}(K).

Άσκηση 6.11. Έστω (X,d),\, (Y,\rho) μετρικοί χώροι με τον Y συμπαγή και f:X\to Y συνάρτηση. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

(α) H f είναι συνεχής.

(β) To γράφημα {\rm Gr}(f) της f είναι κλειστό στον (X\times Y, \rho_1).

Άσκηση 6.12. Έστω (X,\rho ) συμπαγής μετρικός χώρος και (F_n) φθίνουσα ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του X. Δείξτε ότι:

(α) Αν G είναι ανοικτό υποσύνολο του X ώστε \bigcap_{n=1}^{\infty }F_n\subseteq G, τότε υπάρχει n_0\in {\mathbb N} με F_{n_0}\subseteq G.

(β) Αν \bigcap_{n=1}^{\infty } F_n=\emptyset, τότε υπάρχει m_0\in {\mathbb N} ώστε F_{m_0}=\emptyset.

(γ) Αν \bigcap_{n=1}^{\infty } F_n είναι μονοσύνολο, τότε {\rm diam}(F_n)\to 0.

Άσκηση 6.13. Έστω f:(X,d)\to (Y,\rho) συνεχής και K_1\supseteq K_2\supseteq \ldots ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων του X. Αποδείξτε ότι f\left(\bigcap_{n=1}^{\infty } K_n\right)=\bigcap_{n=1}^{\infty } f(K_n).

Άσκηση 6.14. Έστω E\subseteq {\mathbb R} μη συμπαγές. Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:E\to {\mathbb R} η οποία:

(α) δεν είναι φραγμένη.

(β) είναι φραγμένη αλλά δεν παίρνει μέγιστη τιμή.

Άσκηση 6.15. Έστω (X,\rho ) συμπαγής μετρικός χώρος και συνάρτηση f:X\to X ώστε \rho (f(x),f(y))<\rho (x,y) για κάθε x,y\in X με x\neq y. Αποδείξτε ότι η f έχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο.

Άσκηση 6.16. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

(α) O X είναι συμπαγής.

(β) Κάθε φθίνουσα ακολουθία (F_n) μη κενών, κλειστών υποσυνόλων του X έχει μη κενή τομή, δηλαδή \bigcap_{n=1}^{\infty } F_n\neq \emptyset.


Τελευταία επεξεργασία απο apgiannop την 24 Μάιος 2009, 10:56, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: συμπάγεια
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Μάιος 2009, 17:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2235
Άσκηση 6.17. (α) Έστω (X,\rho ) πλήρης μετρικός χώρος και A\subseteq X. Δείξτε ότι τo A είναι συμπαγές αν και μόνον αν είναι κλειστό και ολικά φραγμένο.

(β) Έστω (X,\rho) ολικά φραγμένος μετρικός χώρος. Δείξτε ότι η πλήρωσή του (\tilde X, \tilde \rho) είναι συμπαγής μετρικός χώρος.

Άσκηση 6.18. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος. Δείξτε ότι:

(α) Αν A_1,\ldots ,A_m είναι ολικά φραγμένα υποσύνολα του X τότε το A_1\cup\cdots\cup A_m είναι επίσης ολικά φραγμένο.

(β) Αν A είναι ολικά φραγμένο υποσύνολο του X τότε το \overline{A} είναι επίσης ολικά φραγμένο.

Άσκηση 6.19. (α) Έστω f:(X,\rho)\to (Y,\sigma) ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι η f απεικονίζει τα ολικά φραγμένα υποσύνολα του X σε ολικά φραγμένα υποσύνολα του Y.

(β) Δείξτε ότι η ιδιότητα του ολικά φραγμένου δεν διατηρείται από ομοιομορφισμούς. Υπόδειξη: Τα {\mathbb R} και (0,1) είναι ομοιομορφικά.

Άσκηση 6.20. Δείξτε ότι ο μετρικός χώρος (X,d) είναι ολικά φραγμένος αν και μόνον αν ο (X,\rho) είναι ολικά φραγμένος, όπου \rho=\frac{d}{1+d}.

Άσκηση 6.21. (α) Έστω (X_1,d_1),\ldots,(X_k,d_k) πεπερασμένη οικογένεια ολικά φραγμένων μετρικών χώρων. Δείξτε ότι ο χώρος (X,\rho_1), όπου X=\prod_{i=1}^k X_i και \rho_1=\sum_{i=1}^k d_i είναι ολικά φραγμένος μετρικός χώρος.

(β) Δείξτε ότι ένα υποσύνολο A του {\mathbb R}^k είναι ολικά φραγμένο αν και μόνον αν είναι φραγμένο.

Άσκηση 6.22. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος και (x_n) βασική ακολουθία στον X. Δείξτε ότι το σύνολο A=\{ x_n:n\in {\mathbb N}\} είναι ολικά φραγμένο.

Άσκηση 6.23. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

(α) Κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του X είναι συμπαγές.

(β) Ο X είναι πλήρης και κάθε φραγμένο υποσύνολο του X είναι ολικά φραγμένο.

Άσκηση 6.24. (α) Έστω \{(X_n,\rho_n)\} ακολουθία μετρικών χώρων με \rho_n(x,y)\leq 1 για κάθε x,y\in X_n και n=1,2,\ldots. Δείξτε ότι ο χώρος γινόμενο (\prod_{n=1}^{\infty } X,\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n}\rho_n) είναι συμπαγής.

(β) Δείξτε ότι κύβος του Hilbert {\cal H}^{\infty } είναι συμπαγής μετρικός χώρος.

Άσκηση 6.25. Έστω (X,\rho ) συμπαγής μετρικός χώρος και (G_i)_{i=1}^n ανοικτό κάλυμμα του X. Θέτουμε f:X\to {\mathbb R} με f(x)=\max\{{\rm dist}(x,X\setminus G_i):i=1,\ldots, n\} για x\in X. Αποδείξτε ότι:

(α) Για κάθε x\in X ισχύει f(x)>0.

(β) H f είναι συνεχής.

(γ) Χρησιμοποιώντας τα (α) και (β) αποδείξτε το λήμμα του Lebesgue.

Άσκηση 6.26. (α) Έστω A\subseteq {\mathbb R} ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση f:A\to {\mathbb R} να είναι ομοιόμορφα συνεχής. Δείξτε ότι το A είναι κλειστό υποσύνολο του {\mathbb R}. Είναι κατ' ανάγκην φραγμένο;

(β) Έστω A\subseteq {\mathbb R} φραγμένο και όχι κλειστό. Δείξτε ότι υπάρχει g:A\to {\mathbb R} Lipschitz και φραγμένη, η οποία δεν παίρνει μέγιστη τιμή.

(γ) Έστω K\subseteq {\mathbb R} κλειστό και φραγμένο. Δείξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f:K\to {\mathbb R} είναι ομοιόμορφα συνεχής.

(δ) Έστω f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} ομοιόμορφα συνεχής και A\subseteq {\mathbb R} φραγμένο. Δείξτε ότι το f(A) είναι επίσης φραγμένο.

Άσκηση 6.27. (α) Δείξτε ότι η συνάρτηση R:[0,2\pi)\to S^1, με R(t)=(\cos t,\sin t), όπου S^1=\{x\in 
{\mathbb R}^2:\|x\|_2=1\} ο μοναδιαίος κύκλος είναι συνεχής, 1-1 και επί. Είναι οι χώροι [0,2\pi) και S^1 ομοιομορφικοί;

(β) Εξετάστε αν οι χώροι ([0,2\pi],|\cdot|) και (S^1,\|\cdot\|_2) είναι ομοιομορφικοί.

Άσκηση 6.28. (α) Έστω (X,\rho) συμπαγής μετρικός χώρος και f:X\to X συνάρτηση με την ιδιότητα \rho(f(x),f(y))\geq \rho(x,y) για κάθε x,y\in  X. Δείξτε ότι η f είναι ισομετρία και επί.

(β) Έστω (X,\rho ) συμπαγής μετρικός χώρος και f:X\to X 1-1, επί ώστε \rho (f(x),f(y))\leq \rho (x,y) για κάθε x,y\in  X. Δείξτε ότι η f είναι ισομετρία.

Άσκηση 6.29. (α) Έστω (E_n) ακολουθία ξένων ανά δυο διαστημάτων του [0,1]. Δείξτε ότι {\rm diam}(E_n)\to 0 καθώς n\to \infty.

(β) Έστω \delta>0. Βρείτε ακολουθία (F_n) ξένων ανά δύο κλειστών υποσυνόλων του [0,1] ώστε {\rm diam}(F_n)\geq 1-\delta για n=1,2,\ldots. Εξηγήστε που οφείλεται η διαφορά των αποτελεσμάτων (α) και (β).

(γ) Δείξτε ότι για κάθε \varepsilon >0 υπάρχει ακολουθία ξένων ανά δύο κλειστών υποσυνόλων (F_n) του μοναδιαίου δίσκου D=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\} ώστε {\rm diam}(F_n)\geq 2-\varepsilon για n=1,2,\ldots.

(δ) Έστω K\subseteq {\mathbb R}^d φραγμένο και (B_n) ακολουθία από ξένες ανά δύο κλειστές μπάλες στο K. Δείξτε ότι {\rm diam(B_n)}\to 0 καθώς n\to \infty.

(ε) Έστω (X,\rho) ολικά φραγμένος μετρικός χώρος και B_n ακολουθία από ξένες ανά δύο μπάλες στον X. Δείξτε ότι \lim\limits_{n\to \infty}\big({\rm diam}(B_n)\big)=0.

Άσκηση 6.30. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος και \delta >0. Ένα υποσύνολο A του X λέγεται \delta-διαχωρισμένο αν για κάθε x,y\in A με x\neq y ισχύει \rho (x,y)\geq\delta.

(α) Δείξτε ότι αν κάθε \delta-διαχωρισμένο υποσύνολο του X είναι πεπερασμένο και αν το Î\subseteq X είναι \delta-διαχωρισμένο, τότε υπάρχει B\subseteq X μεγιστικό \delta-διαχωρισμένο ώστε A\subseteq B.

(β) Δείξτε ότι αν κάθε \delta-διαχωρισμένο υποσύνολο του X είναι πεπερασμένο, τότε ο (X,\rho ) είναι διαχωρίσιμος.

Άσκηση 6.31. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

(α) O X είναι ολικά φραγμένος.

(β) Για κάθε \delta >0, κάθε \delta-διαχωρισμένο υποσύνολο του X είναι πεπερασμένο.

Άσκηση 6.32. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος και A\subseteq X. To A λέγεται σχετικά συμπαγές υποσύνολο του X αν το \overline{A} είναι είναι συμπαγές υποσύνολο του X.

(α) Αποδείξτε ότι το A είναι σχετικά συμπαγές αν και μόνον αν κάθε ακολουθία (a_n) στοιχείων του A έχει υπακολουθία που συγκλίνει (όχι κατ' ανάγκην σε στοιχείο του A).

(β) Έστω (Y,\rho) μετρικός χώρος και f:X\to Y συνεχής. Δείξτε ότι η f απεικονίζει σχετικά συμπαγή υποσύνολα του X σε σχετικά συμπαγή υποσύνολα του Y.

(γ) Αποδείξτε ότι κάθε σχετικά συμπαγές υποσύνολο είναι ολικά φραγμένο. Ισχύει το αντίστροφο;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group