forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Δεκ 2014, 12:30

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 32 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Μαρ 2009, 22:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2516
Κάποιες ασκήσεις για το πρώτο Κεφάλαιο του μαθήματος. Μπορείτε να τις συζητάτε κι εδώ. Υπενθυμίζεται ότι θα γίνονται τρία τμήματα ασκήσεων κάθε εβδομάδα: Δευτέρα 3-5μμ (ΑΜΦ23), Τρίτη 3-5μμ (ΑΜΦ24) και Τρίτη 3-5μμ (ΑΜΦ23).

Άσκηση 1.1. Έστω (X,\|\cdot\|) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα \big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\leq \|x-y\| για κάθε x,y\in X.

Άσκηση 1.2. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος. Δείξτε ότι:

(α) |\rho (x,z)-\rho (y,z)| \leq \rho (x,y) για κάθε x,y,z\in X.

(β) |\rho (x,y)-\rho (z,w)| \leq \rho (x,z)+\rho (y,w) για κάθε x,y,z,w\in X.

Άσκηση 1.3. Έστω \emptyset\neq A \subseteq (0,+\infty). Αποδείξτε ότι υπάρχει μετρικός χώρος (X,\rho) ώστε A=\{\rho(x,y):x,y\in X, \, x\neq y\}.

Άσκηση 1.4. Στο {\mathbb R} θεωρούμε τη συνάρτηση \sigma:{\mathbb R}\times{\mathbb R}\to {\mathbb R} με \sigma(a,b)=\sqrt{|a-b|}. Αποδείξτε ότι ο ({\mathbb R},\sigma) είναι μετρικός χώρος.

Γενικότερα, δείξτε ότι: αν (X,\|\cdot\|) είναι χώρος με νόρμα και αν θεωρήσουμε την d:X\times X\to {\mathbb R} με d(x,y)=\sqrt{\|x-y\|}, \quad x,y\in X, τότε ο (X,d) είναι μετρικός χώρος.

Άσκηση 1.5. (α) Έστω f:[0,\infty)\to [0,\infty) αύξουσα συνάρτηση με f(0)=0 και f(x)>0 για κάθε x>0. Υποθέτουμε επίσης ότι η f είναι υποπροσθετική, δηλ. f(x+y)\leq f(x)+f(y) για κάθε x,y\geq 0. Δείξτε ότι: αν η d είναι μετρική στο X τότε και η f\circ d είναι μετρική στο X.

(β) Αποδείξτε ότι αν f:[0,\infty)\to {\mathbb R}^+, τότε καθεμιά από τις ακόλουθες ιδιότητες είναι ικανή να εξασφαλίσει την υποπροσθετικότητα της f:

(i) Η f είναι κοίλη συνάρτηση.

(ii) Η συνάρτηση x\mapsto \frac{f(x)}{x},\; x>0 είναι φθίνουσα.

Άσκηση 1.6. Αν d_1,d_2 είναι μετρικές στο σύνολο X εξετάστε αν οι d_1+d_2, \max\{d_1,d_2\}, \min\{d_1,d_2\} είναι μετρικές στο X. Αν η d είναι μετρική στο X, είναι η d^2 μετρική στο X;

Άσκηση 1.7. (Ανισότητα Holder για συναρτήσεις) Έστω f,g:[0,1]\to {\mathbb R} συνεχείς συναρτήσεις και p,q συζυγείς εκθέτες (δηλ. p,q>1 και \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1). Δείξτε ότι \int_0^1|f(t)g(t)|\,dt\leq \left(\int_0^1|f(t)|^p\,dt\right)^{1/p}\left(\int_0^1|g(t)|^q\,dt\right)^{1/q}.

Άσκηση 1.8. Έστω 1\leq p<\infty. Δείξτε ότι ο χώρος ({\cal C}([0,1]),\|\cdot\|_{p}) με \|f\|_p=\left(\int_0^1|f(x)|^p\, dx\right)^{1/p} είναι χώρος με νόρμα.

Άσκηση 1.9. Έστω {\cal P} το σύνολο των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές. Αν p(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n είναι ένα πολυώνυμο από το {\cal P}, το ύψος του p είναι το h(p)=\max\{|a_i|:i=0,1,\ldots,n\}.

(α) Δείξτε ότι ο {\cal P} είναι γραμμικός χώρος με τις πράξεις κατά σημείο και η συνάρτηση h:{\cal P}\to {\mathbb R} είναι νόρμα στον {\cal P}.

(β) Δείξτε ότι η συνάρτηση \sigma:{\cal P}\to {\mathbb R}, με \sigma(p)=|a_0|+|a_1|+\cdots+|a_n| είναι νόρμα στον {\cal P}.

(γ) Δείξτε ότι h(p)\leq \sigma(p)\leq n\cdot h(p) για κάθε πολυώνυμο p βαθμού το πολύ n.

Άσκηση 1.10. Θεωρούμε τον χώρο ({\cal P},h) της προηγούμενης άσκησης και τον (c_{00},\|\cdot\|_\infty). Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f:({\cal P},h)\to (c_{00},\|\cdot\|_\infty) με p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\stackrel{f}\longmapstof(p):=a=(a_0,a_1,\ldots,a_n,0,0,\ldots) είναι ισομορφισμός γραμμικών χώρων που διατηρεί τις αποστάσεις. Δηλαδή, η f είναι 1-1, επί και ικανοποιεί τις σχέσεις:

f(p+q)=f(p)+f(q),
f(\lambda p)=\lambda f(p),
\|f(p)\|_\infty=h(p)

για κάθε p,q\in {\cal P} και \lambda\in {\mathbb R}.

Άσκηση 1.11. Θεωρούμε τους χώρους \ell_p,\,1\leq p\leq\infty και c_0.

(α) Δείξτε ότι: αν 1\leq p<q\leq\infty τότε \ell_p\subseteq\ell_q και ότι ο εγκλεισμός είναι γνήσιος.

(β) Δείξτε ότι: αν 1\leq p<\infty τότε \ell_p\subseteq c_0 και ότι ο εγκλεισμός είναι γνήσιος.

(γ) Να βρεθεί ακολουθία x=(x_n) που συγκλίνει στο 0 αλλά δεν ανήκει σε κανέναν \ell_p, 1\leq p<\infty. Με άλλα λόγια, ο c_0 περιέχει γνήσια την ένωση \bigcup\{\ell_p:1\leq p<\infty\}.

(δ) Να βρεθεί ακολουθία x=(x_n) ώστε x\notin\ell_1 αλλά x\in\ell_p για κάθε p>1.

Άσκηση 1.12. O κύβος του Hilbert {\cal H}^{\infty} είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών x=(x_n) με |x_n|\leq 1 για κάθε n\in {\mathbb N}.

(α) Δείξτε ότι η d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}|x_n-y_n| ορίζει μετρική στο {\cal H}^{\infty}.

(β) Αν x,y\in {\cal H}^{\infty} και k\in {\mathbb N}, θέτουμε M_k=\max\{|x_1-y_1|,\ldots,|x_k-y_k|\}. Δείξτε ότι 2^{-k}M_k\leq d(x,y)\leq 2^{-k+1}+M_{k}.

Άσκηση 1.13. Θεωρούμε τη μοναδιαία Ευκλείδεια σφαίρα S^{m-1}=\{ x\in {\mathbb R}^m:\| x\|_2=1\} στον {\mathbb R}^m. Ορίζουμε "απόσταση" \rho (x,y) δύο σημείων x,y\in S^{m-1} να είναι η κυρτή γωνία xoy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των αξόνων o και τα x,y. Δείξτε ότι: αν \rho (x,y)=\theta τότε \|x-y\|_2=2\sin \frac{\theta }{2} και συμπεράνατε ότι \frac{2}{\pi }\rho (x,y)\leq \|x-y\|_2\leq\rho (x,y) για κάθε x,y\in S^{m-1}. Είναι η \rho μετρική στην S^{m-1};

Άσκηση 1.14. Έστω (X,d) μετρικός χώρος και \emptyset\neq A\subseteq X. Η διάμετρος {\rm diam}(A) του A είναι η ποσότητα {\rm diam}(A)=\sup\{d(a,b):a,b\in A\}. Αποδείξτε τις ακόλουθες ιδιότητες της διαμέτρου:

(α) {\rm diam}(A)=0 αν και μόνο αν το A\neq\emptyset είναι μονοσύνολο (δηλαδή, A=\{x\} για κάποιο x\in X).

(β) Αν \emptyset\neq A\subseteq B\subseteq X τότε {\rm diam}(A)\leq {\rm diam}(B).

(γ) Αν A\neq\emptyset και {\rm diam}(A)<r, τότε A\subseteq B(a,r) για κάποιο a\in A.

(δ) Αν \emptyset\neq A,B\subseteq X τότε ισχύει η ανισότητα {\rm diam}(A\cap B)\leq\min\{{\rm diam}(A),{\rm diam}(B)\}\leq\max\{{\rm diam}(A),{\rm diam}(B)\}\leq {\rm diam}(A\cup B).

Ισχύει η ανισότητα {\rm diam}(A\cup B)\leq {\rm diam}(A)+{\rm diam}(B) για κάθε ζευγάρι μη κενών υποσυνόλων A,B του X;

(ε) Αν (A_n) είναι μια ακολουθία μη κενών υποσυνόλων του X με {\rm diam}(A_n)\to 0 καθώς n\to \infty, δείξτε ότι το \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n είναι το πολύ μονοσύνολο (έχει το πολύ ένα στοιχείο).

Άσκηση 1.15. Δείξτε ότι ένα υποσύνολο A του μετρικού χώρου (X,\rho) είναι φραγμένο αν και μόνον αν υπάρχουν x_0\in X και r>0 ώστε \rho(a,x_0)\leq r για κάθε a\in A.

Άσκηση 1.16. Θεωρούμε τον χώρο {\cal S} όλων των ακολουθιών πραγματικών αριθμών. Έστω (m_n) ακολουθία θετικών αριθμών, με \sum_{n=1}^{\infty }m_n<+\infty. Ορίζουμε απόσταση d στον {\cal S} ως εξής: αν x=(x_n), y=(y_n)\in {\cal S}, θέτουμε d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty }m_n\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}. Δείξτε ότι ο ({\cal S},d) είναι μετρικός χώρος, και υπολογίστε τη διάμετρό του.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 13:22 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1887
apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.2. Έστω (X,\rho ) μετρικός χώρος. Δείξτε ότι:

(α) |\rho (x,z)-\rho (y,z)| \leq \rho (x,y) για κάθε x,y,z\in X.

(β) |\rho (x,y)-\rho (z,w)| \leq \rho (x,z)+\rho (y,w) για κάθε x,y,z,w\in X.


(α) |\rho (x,z)-\rho (y,z)| \leq \rho (x,y) \Leftrightarrow -\rho (x,y) \leq  \rho (x,z)-\rho (y,z) \leq \rho (x,y) και αποδεικνύουμε κάθε ανισότητα χωριστά

\rho (x,z)-\rho (y,z) \leq \rho (x,y)  \Leftrightarrow \rho (x,z) \leq \rho (x,y)+\rho (y,z) που ισχύει από τριγωνική ανισότητα (τρίτη ιδιότητα μετρικών χώρων)

-\rho (x,y) \leq  \rho (x,z)-\rho (y,z) \Leftrightarrow \rho (y,z)  \leq  \rho (x,z) + \rho (x,y) που ισχύει επίσης από τριγωνική ανισότητα


(β) |\rho (x,y)-\rho (z,w)| \leq \rho (x,z)+\rho (y,w) \Leftrightarrow -\rho (x,z)-\rho (y,w) \leq \rho (x,y)-\rho (z,w) \leq \rho (x,z)+\rho (y,w) και αποδεικνύουμε κάθε ανισότητα χωριστά

\rho (x,y)-\rho (z,w) \leq \rho (x,z)+\rho (y,w) \Leftrightarrow \rho (x,y) \leq \rho (x,z)+\rho (y,w) +\rho (z,w)
που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας αφού \rho (x,y) \leq \rho (x,z)+\rho (y,z) \leq \rho (x,z)+\rho (y,w) +\rho (z,w)

-\rho (x,z)-\rho (y,w) \leq \rho (x,y)-\rho (z,w)  \Leftrightarrow\rho (z,w) \leq \rho (x,y)+\rho (x,z)+\rho (y,w)
που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας αφού \rho (z,w) \leq \rho (z,x)+\rho (x,w) \leq \rho (z,x)+\rho (x,y) +\rho (y,w)

apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.1. Έστω (X,\|\cdot\|) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα \big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\leq \|x-y\| για κάθε x,y\in X.

Η συνάρτηση νόρμα \|\cdot\| :\ X \rightarrow \mathbb{R} είναι άρτια αν και μόνο αν για κάθε x \in X ισχύει \|-x\|=\|x\| που ισχύει λόγω της δεύτερης ιδιότητας της νόρμας αφού \|-x\|=\|(-1)x\|=|-1|\|x\|=\|x\|

Αφού ο χώρος (X,\|\cdot\|) είναι χώρος με νόρμα, η συνάρτηση d: X \times X \rightarrow \mathbb{R} με d(x,y)=\|x-y\|, x,y \in X είναι μετρική.
Αφού ο χώρος (X,\|\cdot\|) είναι χώρος με νόρμα, ο Χ είναι γραμμικός χώρος οπότε έχει μηδενικό στοιχείο. Έτσι η ζητούμενη ανισότητα γράφεται:
|d(x,0)-d(y,0)| \leq d(x,y) που είναι ειδική περίπτωση του α) ερωτήματος της προηγούμενης άσκησης για z=0.

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 14:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2516
Αν γράψετε την απάντηση σε όποια από τις ασκήσεις θέλετε (όπως ο Ηλίας) και συζητήσετε τις απαντήσεις σας όπου υπάρχει πρόβλημα, θα έχετε ένα επιπλέον βοήθημα στη μελέτη σας. Απλά πράγματα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 15:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1887
apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.3. Έστω \emptyset\neq A \subseteq (0,+\infty). Αποδείξτε ότι υπάρχει μετρικός χώρος (X,\rho) ώστε A=\{\rho(x,y):x,y\in X, \, x\neq y\}.

Θεωρώ τον μετρικό χώρο (A,\rho), όπου A το δεδομένο μη κενό υποσύνολο του (0,+\infty). Επιλέγουμε σαν μετρική τη συνάρτηση \rho: A \times A \rightarrow \mathbb{R} με

\rho (x,y)=|x-y|+infA αν x\neq y, x,y\in A και
\rho (x,y)=0 αν x=y

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η παραπάνω συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες της μετρικής. Επίσης το infA υπάρχει και είναι μη αρνητικός αριθμός αφού το Α είναι υποσύνολο του (0,+\infty).
Πρέπει αν δείξουμε ότι A=\{\rho(x,y):x,y\in A, \, x\neq y\} ή διαφορετικά ότι η συνάρτηση \rho (x,y) για x\neq y είναι επί του συνόλου A.

Καταρχήν, όλες οι τιμές της \rho (x,y) για x\neq y ανήκουν στο σύνολο A, καθώς \forall x,y \in A :
|x-y|+infA\geq infA \Rightarrow \rho(x,y) \geq infA και
|x-y| \leq supA-infA \Rightarrow |x-y|+infA \leq supA \Rightarrow \rho(x,y) \leq supA

Πρέπει να δείξουμε επίσης ότι και όλες οι τιμές του συνόλου A είναι τιμές της μετρικής για x\neq y. Σταθεροποιούμε ένα y και παίρνουμε το όριο
\lim_{x\rightarrow infA}{\rho(x,y)}=\lim_{x\rightarrow infA}{(|x-y|+infA)}=

|infA-y|+infA=y-infA+infA=y, \forall y\neq x, y\in A

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 15:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2516
Το A είναι τυχόν μη κενό υποσύνολο του (0,\infty ). Δεν είναι απαραίτητα διάστημα. Όπως έχεις ορίσει την \rho, δείχνεις ότι \inf A\leq\rho (x,y)\leq \sup A, αυτό όμως δεν σου δίνει ότι \rho (x,y)\in A.

Παράδειγμα: A=\{ 1, 3, 8\}. Για την \rho που έχεις ορίσει, \rho (3,8)=|3-8|+1=6\notin A.

Υπάρχει πρόβλημα και στο δεύτερο συλλογισμό, μπορεί για παράδειγμα το A να έχει ελάχιστο στοιχείο το οποίο να είναι και μεμονωμένο σημείο του A (σκέψου το ίδιο παράδειγμα).

Υπόδειξη: Καλά ξεκίνησες με τον ορισμό του συνόλου X. Πάρε X=A\cup\{ 0\}. Για τόν ορισμό της μετρικής, σκέψου περισσότερο τους περιορισμούς που βάζει το πρόβλημα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 17:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1887
Σωστά :oops:. Υπέθεσα ότι το Α είναι διάστημα. Αν υποθέσουμε αυτό όμως, η λύση είναι σωστή? Το \inf A\leq\rho (x,y)\leq \sup A ισχύει με καθαρή ανίσωση αφού x \neq y, οπότε μας δίνει ότι \rho (x,y)\in A στη περίπτωση που A διάστημα, έτσι δεν είναι;

Θα το ξανασκεφτώ. Ευχαριστώ.

apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.4. Στο {\mathbb R} θεωρούμε τη συνάρτηση \sigma:{\mathbb R}\times{\mathbb R}\to {\mathbb R} με \sigma(a,b)=\sqrt{|a-b|}. Αποδείξτε ότι ο ({\mathbb R},\sigma) είναι μετρικός χώρος.

Γενικότερα, δείξτε ότι: αν (X,\|\cdot\|) είναι χώρος με νόρμα και αν θεωρήσουμε την d:X\times X\to {\mathbb R} με d(x,y)=\sqrt{\|x-y\|}, \quad x,y\in X, τότε ο (X,d) είναι μετρικός χώρος.


Θα αποδείξουμε την γενικότερη περίπτωση, και με παρόμοια λογική προκύπτει και η ειδική.
Πρέπει να δείξουμε ότι η συνάρτηση d:X\times X\to {\mathbb R} με d(x,y)=\sqrt{\|x-y\|} ικανοποιεί τις ιδιότητες της μετρικής.

(i) Από ιδιότητες νόρμας, \|x-y\| \geq 0 και \|x-y\| = 0 αν και μόνο αν x=y. Έτσι προκύπτει και ότι d(x,y)=\sqrt{\|x-y\|} \geq 0 και d(x,y)=\sqrt{\|x-y\|} = 0 αν και μόνο αν x=y

(ii) Από ιδιότητες νόρμας, \|x-y\| =  \|(-1)(y-x)\| = |(-1)|\|(y-x)\| = \|y-x\|, οπότε και d(x,y)=\sqrt{\|x-y\|}=d(y,x)=\sqrt{\|y-x\|}

(iii) Πρέπει να δείξουμε ότι d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\forall x,y,z\in X
Δηλαδή πρέπει:
\sqrt{\|x-y\|}\leq \sqrt{\|x-z\|}+\sqrt{\|z-y\|}\Leftrightarrow
\|x-y\| \leq \|x-z\| + \|z-y\| + 2\sqrt{\|x-z\|}\sqrt{\|z-y\|}
που ισχύει αφού \|x-y\| = \|x-z+z-y\| \leq \|x-z\| + \|z-y\| \leq \|x-z\|+ \|z-y\| +2\sqrt{\|x-z\|}\sqrt{\|z-y\|}

Άρα (X,d) μετρικός χώρος.
Τώρα αν θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση όπου X είναι ο \mathbb{R} και νόρμα την \|x\|=|x|, \forall x \in R προκύπτει το πρώτο ερώτημα σαν ειδική περίπτωση της γενικής.

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 17:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2516
eliascm21 έγραψε:
Υπέθεσα ότι το Α είναι διάστημα. Αν υποθέσουμε αυτό όμως, η λύση είναι σωστή? Το \inf A\leq\rho (x,y)\leq \sup A ισχύει με καθαρή ανίσωση αφού x \neq y, οπότε μας δίνει ότι \rho (x,y)\in A στη περίπτωση που A διάστημα, έτσι δεν είναι;


Ναι νομίζω ότι, για την \rho που όρισες, \rho (x,y)\in A αν το A είναι διάστημα (ανοικτό, κλειστό ή ημιανοικτό). Θέλει λίγη προσοχή στον έλεγχο, ανάλογα με την περίπτωση.

Στον αντίστροφο εγκλεισμό η μετρική που όρισες έχει πάντα πρόβλημα αν το A έχει ελάχιστο στοιχείο (ακόμα κι αν είναι διάστημα). Ας πούμε ότι a=\min A. Μπορούμε να βρούμε x\neq y\in A ώστε a=\rho (x,y)=|x-y|+a; Όχι, τότε θα ήταν |x-y|=0, δηλαδή x=y.

Σκεφτείτε την με την ησυχία σας. Η μετρική που θα ορίσετε πρέπει να είναι κάπως διαφορετική.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 21:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.11. Θεωρούμε τους χώρους \ell_p,\,1\leq p\leq\infty και c_0.

(α) Δείξτε ότι: αν 1\leq p<q\leq\infty τότε \ell_p\subseteq\ell_q και ότι ο εγκλεισμός είναι γνήσιος.

(β) Δείξτε ότι: αν 1\leq p<\infty τότε \ell_p\subseteq c_0 και ότι ο εγκλεισμός είναι γνήσιος.

(γ) Να βρεθεί ακολουθία x=(x_n) που συγκλίνει στο 0 αλλά δεν ανήκει σε κανέναν \ell_p, 1\leq p<\infty. Με άλλα λόγια, ο c_0 περιέχει γνήσια την ένωση \bigcup\{\ell_p:1\leq p<\infty\}.

(δ) Να βρεθεί ακολουθία x=(x_n) ώστε x\notin\ell_1 αλλά x\in\ell_p για κάθε p>1.


(α) Αν (x_n)\in\ell_p τότε \sum_{n=1}^{\infty }|x_n|^p<\infty. Από δώ, πρώτα-πρώτα |x_n|\to 0. Από κάποιον n_0 και πέρα έχω |x_n|<1, πάει να πεί |x_n|^q\leq |x_n|^p γιατί p<q. Συγκρίνω τις δυο σειρές και παίρνω \sum_{n=1}^{\infty }|x_n|^q<\infty. Οπότε (x_n)\in\ell_q.

Ο \ell_q είναι γνήσια μεγαλύτερος γιατί αν πάρω x_n=\frac{1}{n^{1/p}} έχω \sum_{n=1}^{\infty }|x_n|^p=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=+\infty και \sum_{n=1}^{\infty }|x_n|^q=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{q/p}}<+\infty (γιατί q/p>1). Αυτή η (x_n) είναι στον \ell_q και δεν είναι στον \ell_p.

(β) Παίρνω ένα p\in [1,\infty ). Αν (x_n)\in\ell_p τότε \sum_{n=1}^{\infty }|x_n|^p<\infty. Είπαμε ότι |x_n|\to 0. Οπότε (x_n)\in c_0.

(γ) Αν πάρω την x_n=\frac{1}{\ln n}, n=2,3,\ldots τότε x_n\to 0. Με το κριτήριο συμπύκνωσης όμως μπορώ να δω ότι για κάθε p\geq 1 έχω \sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{(\ln n)^p}=+\infty (αλλιώς, από την \frac{(\ln n)^p}{n}\to 0 βλέπω ότι είναι μεγαλύτερη από την αρμονική). Πάει να πει, (x_n)\notin\ell_p.

Αυτό δίνει το γνήσιο εγκλεισμό στο (β) και το παράδειγμα στο (γ) μαζί.

(δ) Παίρνω x_n=\frac{1}{n}. Τότε \sum_{n=1}^{\infty }|x_n|=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=+\infty αλλά για κάθε p>1 έχω \sum_{n=1}^{\infty }|x_n|^p=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}<+\infty.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μαρ 2009, 21:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.12. O κύβος του Hilbert {\cal H}^{\infty} είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών x=(x_n) με |x_n|\leq 1 για κάθε n\in {\mathbb N}.

(α) Δείξτε ότι η d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}|x_n-y_n| ορίζει μετρική στο {\cal H}^{\infty}.

(β) Αν x,y\in {\cal H}^{\infty} και k\in {\mathbb N}, θέτουμε M_k=\max\{|x_1-y_1|,\ldots,|x_k-y_k|\}. Δείξτε ότι 2^{-k}M_k\leq d(x,y)\leq 2^{-k+1}+M_{k}.


(α) Αυτό δεν έχει τίποτα, τριγωνικές ανισότητες και όλες οι σειρές συγκλίνουν. Να πάρω (x_n),(y_n),(z_n)\in {\cal H}^{\infty }. Για κάθε n\geq 1 έχω \frac{|x_n-z_n|}{2^n}\leq\frac{|x_n-y_n|}{2^n}+\frac{|y_n-z_n|}{2^n}. Τις προσθέτω ως το N και αφήνω το N να πάει στο άπειρο. Από την \sum_{n=1}^N\frac{|x_n-z_n|}{2^n}\leq\sum_{n=1}^N\frac{|x_n-y_n|}{2^n}+\sum_{n=1}^N\frac{|y_n-z_n|}{2^n} θα πάρω την d(x,z)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{|x_n-z_n|}{2^n}\leq\sum_{n=1}^{\infty }\frac{|x_n-y_n|}{2^n}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{|y_n-z_n|}{2^n}=d(x,y)+d(y,z). Οι άλλες δυο ιδιότητες βγαίνουν ακόμα πιο εύκολα.

(β) Κρατάω το k σταθερό και βρίσκω i\in\{ 1,\ldots ,k\} τέτοιο που M_k=|x_i-y_i|. Πάει να πει, |x_n-y_n|\leq |x_i-y_i| για όλα τα n=1,\ldots ,k.

Πρώτα γράφω d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{|x_n-y_n|}{2^n}\geq \frac{|x_i-y_i|}{2^i}=\frac{M_k}{2^i}\geq\frac{M_k}{2^k} γιατί 2^i\leq 2^k (είπαμε: i\leq k).

Μετά γράφω d(x,y)=\sum_{n=1}^k\frac{|x_n-y_n|}{2^n}+\sum_{n=k+1}^{\infty }\frac{|x_n-y_n|}{2^n}. Για το πρώτο άθροισμα λέω ότι |x_n-y_n|\leq M_k και μετά \sum_{n=1}^k\frac{|x_n-y_n|}{2^n}\leq M_k\sum_{n=1}^k\frac{1}{2^n}\leq M_k (η γεωμετρική σειρά με το 1/2 έχει άθροισμα 1). Για το δεύτερο άθροισμα λέω ότι όλα τα |x_n-y_n|\leq 2 αφού τα |x_n|\leq 1,\,|y_n|\leq 1 και μετά \sum_{n=k+1}^{\infty }\frac{|x_n-y_n|}{2^n}\leq \sum_{n=k+1}^{\infty }\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{k-1}}\sum_{j=1}^{\infty }\frac{1}{2^j}=\frac{1}{2^{k-1}}.

Τα βάζω όλα μαζί και έχω d(x,y)\leq M_k+\frac{1}{2^{k-1}}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2009, 16:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.3. Έστω \emptyset\neq A \subseteq (0,+\infty). Αποδείξτε ότι υπάρχει μετρικός χώρος (X,\rho) ώστε A=\{\rho(x,y):x,y\in X, \, x\neq y\}.


Σύφωνα με την υπόδειξη παίρνω X=A\cup\{ 0\} και ορίζω τη \rho βάζοντας \rho (x,y)=\max\{ x,y\} αν x,y\in X,\,x\neq y και βέβαια \rho (x,x)=0 για όλα τα x\in X.

Η τριγωνική ανισότητα. Αν x,y,z\in X θέλω \rho (x,z)\leq\rho (x,y)+\rho (y,z). Αν x=z έχω το αριστερό μέλος μηδέν. Αν x\neq z μπορώ να πω ότι x<z, πάει να πει \rho (x,z)=z. Τώρα στο δεξιό μέλος, αν y\neq z έχω \rho (x,y)+\rho (y,z)\geq\rho (y,z)=\max\{ y,z\}\geq z=\rho (x,z). Κι αν y=z θέλω την \rho (x,z)+\rho (z,z)\geq\rho (x,z) που ισχύει σαν ισότητα. Τα υπόλοιπα της μετρικής βγαίνουν εύκολα.

Αν x\neq y τότε \rho (x,y)=\max\{ x,y\}\in A (το \max είναι στο X και δεν είναι το 0). Αυτό μου λέει ότι \{\rho (x,y):x,y\in X,\,x\neq y\}\subseteq A.

Αντίστροφα. Αν x\in A τότε x=\max\{ 0,x\}=\rho (0,x)\in\{\rho (x,y):x,y\in X,\,x\neq y\}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2009, 22:22 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 27 Σεπ 2007, 18:07
Δημοσ.: 1920
στάθης έγραψε:
\rho (x,y)=\max\{ x,y\}


βασικα τι ειναι το max(x,y)? στο μχ <Χ,d> ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2009, 22:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1887
apgiannop έγραψε:
Άσκηση 1.6. Αν d_1,d_2 είναι μετρικές στο σύνολο X εξετάστε αν οι d_1+d_2, \max\{d_1,d_2\}, \min\{d_1,d_2\} είναι μετρικές στο X. Αν η d είναι μετρική στο X, είναι η d^2 μετρική στο X;

Θα αποδείξουμε ότι αν d_1,d_2 μετρικές στο σύνολο X, τότε και η \rho(x,y)=d_1(x,y)+d_2(x,y) είναι μετρική στο X:
(i) \rho(x,y) \geq 0 αφού d_1 \geq 0, d_2 \geq 0 (επειδή είναι μετρικές) και \rho(x,y) = 0 αν και μόνο αν x,y=0 (αφού d_1,d_2 μετρικές).
(ii) \rho(x,y) = \rho(y,x) αφού d_1(x,y)=d_1(y,x),d_2(x,y)=d_2(y,x)
(iii) Προσθέτοντας κατά μέλη τις τριγωνικές ανισότητες που προκύπτουν από τις δύο μετρικές, d_1(x,y)\leq d_1(x,z)+d_1(y,z) και d_2(x,y)\leq d_2(x,z)+d_2(y,z) προκύπτει η τριγωνική ανισότητα και για την \rho(x,y), δηλαδή προκύπτει: d_1(x,y)+d_2(x,y)\leq d_1(x,z)+d_1(y,z)+d_2(x,z)+d_2(y,z)\Leftrightarrow \rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(y,z) για κάθε x,y,z \in X
Άρα η d_1+d_2 είναι και αυτή μετρική στο X.


Θα αποδείξουμε ότι αν d_1,d_2 μετρικές στο σύνολο X, τότε και η \rho(x,y)=max\{d_1(x,y),d_2(x,y)\} είναι μετρική στο X:
(i) \rho(x,y) \geq 0 αφού d_1 \geq 0, d_2 \geq 0 και \rho(x,y) = 0 αν και μόνο αν x,y=0 (αφού d_1,d_2 μετρικές).
(ii) \rho(x,y) = \rho(y,x) αφού d_1(x,y)=d_1(y,x),d_2(x,y)=d_2(y,x)
(iii) Πρέπει να δείξουμε ότι ισχύει η τριγωνική ανισότητα \rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(y,z), για κάθε x,y,z \in X ή ισοδύναμα ότι ισχύει:

max\{d_1(x,y),d_2(x,y)\}\leq max\{d_1(x,z),d_2(x,z)\}+max\{d_1(y,z),d_2(y,z)\}

Έστω ότι max\{d_1(x,y),d_2(x,y)\}=d_1(x,y) (ομοίως αν το μέγιστο είναι το άλλο στοιχείο - η περίπτωση επίσης όπου d_1(x,y)=d_2(x,y) μπορεί να ενσωματωθεί σε όποια περίπτωση θέλουμε). Παίρνουμε περιπτώσεις για το δεξί μέλος της προς απόδειξης ανισότητας (4 περιπτώσεις):

Αν max\{d_1(x,z),d_2(x,z)\}=d_1(x,z) και max\{d_1(y,z),d_2(y,z)\}=d_1(y,z) τότε η ανίσωση γίνεται d_1(x,y) \leq d_1(x,z)+d_1(y,z) που ισχύει (τριγωνική ανισότητα για την d_1 μετρική).
Αν max\{d_1(x,z),d_2(x,z)\}=d_2(x,z) και max\{d_1(y,z),d_2(y,z)\}=d_2(y,z) τότε η ανίσωση γίνεται d_2(x,y) \leq d_2(x,z)+d_2(y,z) που ισχύει (τριγωνική ανισότητα για την d_2 μετρική).
Αν max\{d_1(x,z),d_2(x,z)\}=d_1(x,z) και max\{d_1(y,z),d_2(y,z)\}=d_2(y,z) τότε η ανίσωση γίνεται d_1(x,y) \leq d_1(x,z)+d_2(y,z). Όμως από την υπόθεση μας εδώ max\{d_1(y,z),d_2(y,z)\}=d_2(y,z) δηλαδή d_2(y,z)\geq d_1(y,z). Όμως d_1(x,y) \leq d_1(x,z)+d_1(y,z) οπότε από τις τελευταίες δύο ανισότητες προκύπτει η ζητούμενη δηλαδή η d_1(x,y) \leq d_1(x,z)+d_2(y,z).
Αν max\{d_1(x,z),d_2(x,z)\}=d_2(x,z) και max\{d_1(y,z),d_2(y,z)\}=d_1(y,z) τότε η ανίσωση γίνεται d_1(x,y) \leq d_2(x,z)+d_1(y,z). Όμως από την υπόθεση μας εδώ max\{d_1(y,z),d_2(y,z)\}=d_1(y,z) δηλαδή d_1(y,z)\geq d_2(y,z). Όμως d_2(x,y) \leq d_2(x,z)+d_2(y,z) οπότε από τις τελευταίες δύο ανισότητες προκύπτει η ζητούμενη δηλαδή η d_1(x,y) \leq d_2(x,z)+d_1(y,z).
Άρα η max\{d_1(x,y),d_2(x,y)\} είναι και αυτή μετρική στο X.




Αν η d είναι μετρική στο X τότε η d^2 δεν είναι μετρική στο X.
Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο \mathbb{R} με τη συνήθη μετρική d(x,y)=|x-y|. H d^2(x,y)=(x-y)^2 δεν είναι μετρική γιατί δεν ισχύει η τριγωνική ανισότητα για κάθε τριάδα στοιχείων του \mathbb{R}. Αν ίσχυει τότε θα έπρεπε:
(x-y)^2\leq (x-z)^2+(z-y)^2 \Leftrightarrow-2xy\leq 2z^2-2xz-2zy \Leftrightarrowz^2-xz-zy+xy\geq 0 \Leftrightarrow (z-x)(z-y)\geq 0 η οποία δεν ισχύει για κάθε x,y,z \in R (πχ δεν ισχύει για y>z>x>0, πχ y=10, z=5, x=2 )

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Τελευταία επεξεργασία απο eliascm21 την 09 Μαρ 2009, 21:17, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2009, 22:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
panos19 έγραψε:
στάθης έγραψε:
\rho (x,y)=\max\{ x,y\}


βασικα τι ειναι το max(x,y)? στο μχ <Χ,d> ?


Ο X που παίρνουμε είναι υποσύνολο του {\mathbb R}^+ και το \max είναι το \max το κανονικό, π.χ. \max\{ 2,7\}=7,\max\{ 0,3\}=3. Δες το πάλι τώρα κι αν έχεις απορία τη συζητάμε.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Μαρ 2009, 15:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 27 Σεπ 2007, 18:07
Δημοσ.: 1920
στάθης έγραψε:
Ο X που παίρνουμε είναι υποσύνολο του {\mathbb R}^+ και το \max είναι το \max το κανονικό, π.χ. \max\{ 2,7\}=7,\max\{ 0,3\}=3. Δες το πάλι τώρα κι αν έχεις απορία τη συζητάμε.


εχεις δικιο... :oops: δεν προσεξα οτι ειχες παρει Χ=Α U {0}...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις: μετρικοί χώροι (ορισμός και παραδείγματα)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Μαρ 2009, 20:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2516
Ευχαριστούμε πολύ τον Ηλία και το Στάθη. Στην άσκηση 6 χρειάζονται κάποιες παρατηρήσεις. Η τριγωνική ανισότητα για την d=\max\{ d_1,d_2\} αποδεικνύεται χωρίς να διακρίνουμε περιπτώσεις αν μιμηθούμε την απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας για την \|\cdot\|_{\infty }. Έστω x,y,z\in X. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι d(x,z)=d_1(x,z). Η d_1 είναι μετρική, συνεπώς d(x,z)=d_1(x,z)\leq d_1(x,y)+d_1(y,z). Όμως, d_1(x,y)\leq d(x,y) και d_1(y,z)\leq d(y,z). Έπεται ότι d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).

Η \rho =\min\{ d_1,d_2\} δεν είναι απαραίτητα μετρική. Ας πάρουμε X=[0,\infty ), d_1(x,y)=|x-y| και d_2(x,y)=|x^2-y^2|. Η d_1 είναι ο περιορισμός της συνήθους μετρικής του {\mathbb R} στο [0,\infty ) και η d_2 ορίζεται από την 1-1 συνάρτηση f:[0,\infty )\to {\mathbb R}, f(t)=t^2. Επιλέγουμε x=0, y=1/2, z=2. Τότε, \rho (0,2)=\min\{ 2, 4\}=2, \rho (0,1/2)=\min\{ 1/2,1/4\}=1/4 και \rho (1/2,2)=\min\{ 3/2, 15/4\}=3/2. Άρα, \rho (0,2)=2>\frac{7}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\rho (0,1/2)+\rho (1/2,2).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 32 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group