forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Απρ 2014, 14:29

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 177 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5 ... 12  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μάιος 2008, 21:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Σχετικα με το θεμα παντα, βρηκα και παραθετω παρακατω τεσσερες τροπους αποδειξης της γνωστης ισοτητας : 1=0,999...

Στα σημεια που εχω επισημανει υπονοουνται αριθμητικες πραξεις με απειρο πληθος ψηφιων.


1
x=0,999... ==> 10x=9,99... ==> 10x - x=9,99... - 0,999... ==> 9x=9 ==> x=1 ==> 0,999...=1


2
9/9=1 ==> 9*1/9=1 ==> 9*0,111...=1 ==> 0,999...=1


3
1/3=0,333... ==> 3*1/3=3*0,333... ==> 1=0,999...


4
1/3=0,333... ==> 2/3=0,666... ==> 1/3+2/3=0,666...+ 0,333... ==> 3/3=0,999... ==> 1=0,999...


Πως ειναι δυνατο να θεωρουνται εκτελεσιμες αυτες οι πραξεις ;

Και μαλιστα οταν ξεκιναμε την εκτελεση τους απο τα τελευταια ψηφια των αριθμων, τα οποια ουτε καν εμφανιζονται σε αυτους ;

Πως ειναι δυνατο γενικοτερα να θεωρειται μαθηματικα ακριβης μια αριθμητικη παρασταση με αποσιωπητικα ;

π.χ. στην παρασταση 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + . . . τι ακριβως σημαινουν οι τελειες ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μάιος 2008, 22:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
H παρακάτω απόδειξη είναι η σωστή:

Έχουμε [tex]0.9999... = 9 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{n}}= \frac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} = 9\frac{1}{9} = 1[/tex].

_________________
It is not the position you stand, but the direction in which you look.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μάιος 2008, 23:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 367
Σχετικά με τα ερωτήματα για το άπειρο:

1. Το άπειρο είναι ένα σύμβολο, κάτι που το θεωρούμε μεγαλύτερο από κάθε πραγματικό αριθμό.
2. Όχι, το άπειρο δεν είναι αριθμός.
3. Λέγοντας [tex]x\to \infty[/tex], δινοντας ένα παράδειγμα: εννοούμε μία αριθμητική μεταβλητή x η οποία κινείται αυξάνοντας συνεχώς την τιμή της και δεν υπάρχει άνω φράγμα στην τιμή της. Δεν θα γίνει ίση με το άπειρο, αλλά, δοσμένου Μ, κάποτε θα γίνει μεγαλύτερη απο το Μ.

Ως προς τα άλλα ερωτήματα. Το 0,999... είναι απλώς ένα άλλο σύμβολο για την σειρά [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{9}{10^k}[/tex]. Το πρόβλημα που μπορεί να έχει κάποιος εδώ είναι η έννοια της σειράς, να θεωρεί δηλαδή ότι δεν μπορούμε να προσθέσουμε άπειρους όρους, καθώς μετά την αποδοχή της έννοιας της σειράς όλα τα υπόλοιπα έπονται. Όμως, η σύγκλιση ή απόκλιση της σειράς των πχ [tex]a_k[/tex] ορίζεται ως το αν η [tex]\sum_{k=1}^{n}a_k[/tex] συγκλίνει ή αποκλίνει. Άρα πιστεύω ότι η όλη αντίδραση που μπορεί να εμφανιστεί, εμφανίζεται στον ορισμό του ορίου ή στην έννοια του απείρου. Οι αντιδράσεις σας εμφανίζονται ως προς το άπειρο ή ως προς τον ορισμό του ορίου;

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μάιος 2008, 14:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
detnvvp έγραψε:
Άρα πιστεύω ότι η όλη αντίδραση που μπορεί να εμφανιστεί, εμφανίζεται στον ορισμό του ορίου ή στην έννοια του απείρου. Οι αντιδράσεις σας εμφανίζονται ως προς το άπειρο ή ως προς τον ορισμό του ορίου;


Κατ΄ αρχας να διεκρινησω οτι δεν αντιδρω με την κλασικη εννοια της αντιδρασης, αλλά διερευνω.

Αυτο που βρισκω ενδιαφερον με το οριο ειναι ο εντοπισμος των "αξιωματων" που εχουν "χρησιμοποιηθει" κατα τον ορισμο του και τα οποια εχουν "αποσιωπηθει" μη θεωρουμενα αμιγως μαθηματικα, αλλά και ο εντοπισμος εννοιων οι οποιες δεν ειναι καλα ορισμενες και δεν αγγιζονται αν και χρησιμοποιουνται.

Ενα πολυ καλο παραδειγμα που σχετιζεται με τα ορια ειναι αυτο που συζηταμε για το απειρο.

Λες οτι :

Παράθεση:
1. Το άπειρο είναι ένα σύμβολο, κάτι που το θεωρούμε μεγαλύτερο από κάθε πραγματικό αριθμό

και αρα πρεπει να εχει αμεση σχεση με τους αριθμους, πρεπει να ειναι αριθμος...

Διαφορετικα πως μπορει να συγκρινεται με τους πραγματικους αριθμους και να θεωρειται μεγαλυτερο τους ;

Και στη συνεχεια λες για να προλαβεις οποιαδηποτε ενσταση οτι:

Παράθεση:
2. Όχι, το άπειρο δεν είναι αριθμός.


Αλλά τοτε, αν δεν ειναι αριθμος, δεν μπορει καν να συγκρινεται με αριθμους.

Διοτι ειναι σαν να συγκρινουμε τις ωρες με τα λεμονια, λεγοντας οτι οι ωρες ειναι πιο κιτρινες απο τα λεμονια...

Λες ακομα τελος οτι :

Παράθεση:
3. Λέγοντας [tex]x\to \infty[/tex], δινοντας ένα παράδειγμα: εννοούμε μία αριθμητική μεταβλητή x η οποία κινείται αυξάνοντας συνεχώς την τιμή της και δεν υπάρχει άνω φράγμα στην τιμή της. Δεν θα γίνει ίση με το άπειρο, αλλά, δοσμένου Μ, κάποτε θα γίνει μεγαλύτερη απο το Μ.


και υπονοεις οτι το απειρο ειναι μια συντομογραφια της δυνατοτητας συνεχους αυξησης μιας αριθμητικης μεταβλητης...

Η συμπεριφορα ομως των μαθηματικων εναντι του απειρου ( [tex]x\to \infty[/tex] ), ειναι τετοια που να δηλωνει οτι αυτο ειναι κατι το "χειροπιαστο", ενα αντικειμενο που μπορουμε κατα βουληση να το "μετακινουμε" εδω και εκει, μεσω του συμβολου που εχουμε ορισει γι΄αυτο.

Προσεξε δεν λεω οτι οι μαθηματικοι το θεωρουν αντικειμενο αριθμητικο, αλλά οτι του συμπεριφερονται σιωπηρα ως να ειναι αντικειμενο αρυθμητικο.

Κατι που απεχει πολυ απο το να δηλωνει απλα την αεναα αυξητικη ταση μιας μεταβλητης.

Δεν ξερω αν ειναι αρκετα κατανοητος αυτος ο προβληματισμος...

Αλλά το απειρο θεωρω οτι δεν ειναι καλα ορισμενο : ειναι αριθμος, ειναι μαθηματικη διαδικασια ή απλα μια ιδιοτητα που χαρακτηριζει τις αριθμητικες μεταβλητες ;

Λες τελος οτι :

Παράθεση:
Το πρόβλημα που μπορεί να έχει κάποιος εδώ είναι η έννοια της σειράς, να θεωρεί δηλαδή ότι δεν μπορούμε να προσθέσουμε άπειρους όρους, καθώς μετά την αποδοχή της έννοιας της σειράς όλα τα υπόλοιπα έπονται. Όμως, η σύγκλιση ή απόκλιση της σειράς των πχ [tex]a_k[/tex] ορίζεται ως το αν η [tex]\sum_{k=1}^{n}a_k[/tex] συγκλίνει ή αποκλίνει.

και ο τροπος με τον οποιο "χειριζεσαι" μεσα στη φραση το "απειρους" ειναι αυτος του πληθους και αυτο ειναι ολοφανερο και εννοεις αμετρητους, ενα πληθος περα απο καθε γνωστο αριθμο.

Και με τον ιδιο τροπο βεβαιως το χρησιμοποιω κι εγω οταν χρειαζεται.

Μηπως τελικα με τον ορο απειρο εννοουμε ακριβως αυτο ;

Μηπως δηλαδη εξ ορισμου :
    απειρο καλειται ο μεγαλυτερος παντων των αριθμων, ο μη δυναμενος να εχει γνωστο συμβολο ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μάιος 2008, 22:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
είναι το άπειρο αριθμός κατά τη γνώμη σας ;

_________________
It is not the position you stand, but the direction in which you look.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μάιος 2008, 22:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Constantine έγραψε:
είναι το άπειρο αριθμός κατά τη γνώμη σας ;

Αντι αλλης απαντησεως μεταφερω απο τη Θεωρια Αριθμων το ακολουθο θεωρημα ( Ευκλειδης ) :
        Το συνολο των πρωτων αριθμων ειναι απειρο
Τι σημαινει κατα τη γνωμη σου η τελευταια λεξη στο θεωρημα ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μάιος 2008, 23:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
Ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών δεν είναι πεπερασμένο.

Θυμηθείτε ότι ένα σύνολο λέμε ότι είναι άπειρο, αν δεν είναι πεπερασμένο.

βλ. σελ. 82 Συνολοθεωρία του Halmos (μετάφραση στα ελληνικά)

Τώρα σειρά σας να απαντήσετε... :)

_________________
It is not the position you stand, but the direction in which you look.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 06:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Constantine έγραψε:
Ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών δεν είναι πεπερασμένο.

Θυμηθείτε ότι ένα σύνολο λέμε ότι είναι άπειρο, αν δεν είναι πεπερασμένο.

βλ. σελ. 82 Συνολοθεωρία του Halmos (μετάφραση στα ελληνικά)

Τώρα σειρά σας να απαντήσετε... :)

Θα απαντησω, μην ανησυχεις :)

Αλλά ουσιαστικα δεν "απαντησες" λεγοντας οτι : δεν ειναι πεπερασμενο :cry:

Τι σημαινει δεν ειναι πεπερασμενο ;8)

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Τελευταία επεξεργασία απο skapaneas την 14 Μάιος 2008, 19:36, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 10:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 615
Χωρίς νά θέλω να διακόψω....μιά χαρά είναι η απάντηση τού Constantine, ο Ευκλείδης είπε τό εξής :

«Οι πρώτοι αριθμοί πλείους εισί παντός τού προτεθέντος πλήθους πρώτων αριθμών»

όσους κάι να παραθέσεις δηλαδή, υπάρχουν περισσότεροι

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 13:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Apokalyptikos έγραψε:
...μιά χαρά είναι η απάντηση τού Constantine, ο Ευκλείδης είπε τό εξής :

«Οι πρώτοι αριθμοί πλείους εισί παντός τού προτεθέντος πλήθους πρώτων αριθμών»

όσους κάι να παραθέσεις δηλαδή, υπάρχουν περισσότεροι

Και η αποδειξη του ( του Ευκλειδη ) ποια ηταν ;

Και με την ευκαιρια κ. Αποκαλυπτικε ποιος ηταν ο ορισμος των πρωτων απο τον Ευκλειδη ;

Εχετε υποψη σας ;

Συμπιπτει με τον ορισμο που ισχυει σημερα ;

Και μια παρατηρηση με βαση τον ορισμο του Ευκλειδη :

Απο το υπαρχουν περισσοτεροι πρωτοι αριθμοι απο οσους παραθετεις καθε φορα, μεχρι το πληθος των πρωτων αριθμων ειναι απειρο, υπαρχει πολυ μεγαλη διαφορα.

Στην πρωτη περιπτωση λες οτι ανακαλυπτεις νεους πρωτους. ενα τουλαχιστον σε καθε περιπτωση προτεινομενου πληθους...

Μου παρουσιαζεις τρεις, εγω σου ανακαλυπτω και τεταρτο ( τουλαχοιστον )

Μου παρουσιαζεις ν, εγω σου ανακαλυπτω τον ν+1

Ενω στη δευτερη περιπτωση οριζεις οτι το πληθος αυτο τελικα δεν ειναι πεπερασμενο ( συμφωνα με την απαντηση του Constantine για το απειρο ), χωρις ομως να επεξηγεις μαθηματικα ή μαλλον χωρις να οριζεις αυστηρα μαθηματικα τι σημαινει μη πεπερασμενο.

Δηλαδη ισχυριζεσαι, γιατι περι ισχυρισμου προκειται οτι, εγιναν ολες οι δυνατες παρουσιασεις απο μενα των διαφορων πληθων πρωτων και εσυ καταφερες να βρεις και εναν ακομα τουλαχιστον νεο, τον οποιο εγω δεν ειχα καταφερει να ανακαλυψω...

Ποτε ενα συνολο εχει πεπερασμενο πληθος στοιχειων ;

Μηπως οταν το πληθος αυτο ειναι καποιος συγκεκριμενος και αληθινα γνωστος ( ή συμβολιζομενος με κοινα αποδεκτο τροπο ) φυσικος αριθμος ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 14:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 615
«Πρώτος αριθμός εστιν ο μονάδι μόνη μετρούμενος»

Ό,τι μετριέται δηλαδή μόνον από τήν μονάδα.

Η αυθεντική ευκλείδεια απόδειξις, είναι απόδειξις διά τήν είς άτοπον απαγωγής

Προσέξτε...

Τό «άπειρο» είναι κατ’αρχάς μία λέξη, που ο καθ’ένας τήν ερμηνεύει, ανάλογα μέ τά βιώματά του και τίς γνώσεις του. Η λέξη καθ’εαυτό είναι σαφής, εννοεί τό «μή έχον πέρας»

Στά μαθηματικά, (ήδη μέ τά πρώτα βήματα γνωριμίας τους), γεννιέται η αντίληψη, ότι μιλάμε γιά κάτι, που αυξάνεται χωρίς τέλος. Όμως τό «άπειρο» εμπεριέχει όχι μόνο τήν έννοια τής «χωρίς πέρατος αυξήσεως» αλλά και τήν έννοια τής «χωρίς πέρατος μερίσεως»

Υπάρχουν (ιστορικά) 3 τάσεις (όπως ήδη σάς εξηγήθηκε)

α)Εσχατολογία :οι εσχατολόγοι, δέν δέχονται τό άπειρο (τό μή έχον πέρας) και περιορίζονται μόνον στό περατό
β)Εν δυνάμει άπειρον :Εδώ γίνεται αποδεκτό, ότι είναι δυνατόν σέ έναν δοσμένο αριθμό νά βρούμε έναν διάδοχο αριθμό προσθέτοντας τήν μονάδα, χωρίς νά έχουμε τελική κατάληξη. Ικανοποιείται δηλαδή ένας κανόνας συνέχειας Α1, Α2,...που λεκτικά καί πρός χάριν συνεννοήσεως καλείται «μέχρι τό άπειρον»
γ)Πραγματικά άπειρον :Εδώ γίνεται αποδεκτό, ότι τό άπειρο μπορεί να κατανοηθεί από τήν ανθρώπινη νόηση ως οντότης έχουσα αρχή καί τέλος. Δέν είναι κάτι, που «συνεχώς μεγαλώνει», αλλά ένα «όλον». Ο κανόνας συνέχειας Α1,Α2,...ισχύει, αλλά έχει και ένα τέλος, που τίθεται από τήν ανθρώπινη σκέψη.

Ιστορικά εμφανίζεται στό προσκήνιο τών μαθηματικών με τους πυθαγορείους. Άν φέρουμε σ’ένα πεντάγωνο τίς διαγώνιες, παίρνουμε άλλο ένα μικρότερο, καί σ’ αυτό άλλο ένα κοκ....
Η ατέρμονη αυτή διαδικασία μεταφέρεται και στούς αριθμούς, μέ τούς άρρητους. Η μία διαγώνιος χωρίζει τήν άλλη σέ 2 άνισα ευθύγραμμα τμήματα. Μέ απλές σχέσεις εξάγεται, ότι οι διαγώνιοι τέμνονται σέ αναλογία χρυσής τομής (1,61806737....)

Ακολουθεί τό πυθαγόρειο θεώρημα στό τρίγωνο κοκ....

Ακολουθεί ο Ευκλείδης μέ τόν ορισμό τού ευθυγράμμου τμήματος : Τό ΑΒ έχει μέν μήκος (περατό) όμως άπειρα σημεία.
Πάνω εκεί «πατάει» ο Ζήνων και «αντεπιτίθεται» μέ τό γνωστό παράδοξο, τού οποίου τήν λύση τήν διδάσκεται κανείς σήμερα σέ πολύ μικρή ηλικία.
Ο Ευκλείδης είχε δίκηο επομένως, τό «δίδυμο» :
«περατή ευθεία» καί «άπειρα ενδιάμεσα σημεία» δέν αντιφάσκει, όπως δέν αντιφάσκει καί τό «άπειρη σειρά βημάτων» μέ τό «πεπερασμένο μήκος»
Τότε δέν υπήρχε βέβαια Ανάλυση νά τό καταδείξει...

Σήμερα έχουμε τήν περίοδο πρό καί μετά Cantor, που η δεύτερη ειδικά χρήζει ιδιαίτερης συζητήσεως...


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 16:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
skapaneas έγραψε:
Ποτε ενα συνολο εχει πεπερασμενο πληθος στοιχειων ;

Μηπως οταν το πληθος αυτο ειναι καποιος συγκεκριμενος και αληθινα γνωστος ( ή συμβολιζομενος με κοινα αποδεκτο τροπο ) φυσικος αριθμος ;


Nομίζω ότι αν δώσουμε και τον ορισμό του πεπερασμένου συνόλου θα ξεκαθαρίσουν όλα. Ένα σύνολο Α καλείται πεπερασμένο αν υπάρχει φυσικός αριθμός n και μια 1-1 και επι συνάρτηση [tex]f: A \rightarrow \{1,2,...,n\}[/tex].

Αν θέλετε κάτι να εξηγήσω περισσότερο, ευχαρίστως να το κάνω.

_________________
It is not the position you stand, but the direction in which you look.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 20:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Constantine έγραψε:
skapaneas έγραψε:
Ποτε ενα συνολο εχει πεπερασμενο πληθος στοιχειων ;

Μηπως οταν το πληθος αυτο ειναι καποιος συγκεκριμενος και αληθινα γνωστος ( ή συμβολιζομενος με κοινα αποδεκτο τροπο ) φυσικος αριθμος ;


Nομίζω ότι αν δώσουμε και τον ορισμό του πεπερασμένου συνόλου θα ξεκαθαρίσουν όλα. Ένα σύνολο Α καλείται πεπερασμένο αν υπάρχει φυσικός αριθμός n και μια 1-1 και επι συνάρτηση [tex]f: A \rightarrow \{1,2,...,n\}[/tex].


Νομιζω κι εγω με τη σειρα μου οτι, ο ορισμος που δινεις ειναι σε μαθηματικη γλωσσα αυτο που γραφω κι εγω στην παραθεση, μια και ο n δεν μπορει παρα να ειναι γνωστος αριθμος...

Αρα συμφωνουμε στο τι ειναι πεπερασμενο συνολο...

Ειναι το συνολο, αν καταλαβαινω καλα τον ορισμο που δινεις, για το οποιο υπαρχει συγκεκριμενος φυσικος αριθμος n τετοιος ωστε τα στοιχεια του συνολου να αντιστοιχιζονται ενα προς ενα με ολους τους προηγουμενους του n φυσικους αριθμους συμπεριλαμβανομενου και του ιδιου : 1, 2, 3, ..., n

Αυτο σημαιναι οτι το συνολο ειναι καλά ορισμενο ( κατα τη γνωμη μου ), εφ΄οσον εχω τη δυνατοτητα να "κινηθω" επι ενος εκαστου των απαριθμουμενων στοιχειων και να εξακριβωσω τις περιγραφομενες "ιδιοτητες" τους.

Αυτο ειναι αλλωστε και το νοημα της 1-1 αντιστοιχησης των στοιχειων του με τους εν λογω φυσικους αριθμους : 1, 2, 3, 4, ..., n.

Ενα στοιχειο το οποιο δεν εχει τις όποιες ιδιοτητες δεδομενου πεπερασμενου συνολου, δεν ανηκει στο συνολο συτο και αρα δεν μπορει να παρει μερος στην αντιστοιχηση.


Υποθετω λοιπον οτι σε αντιδιαστολη με το πεπερασμενου συνολου, ενα απειροσυνολο οφειλει να οριζεται ως το συνολο εκεινο για το οποιο ενας τουλαχιστον απο τους "ορους" που οριζουν το πεπερασμενο συνολο ( φυσικος αριθμος n, 1-1 συναρτηση Α ) δεν υφισταται.

Επομενως το απειροσυνολο δεν μπορει να θεωρειται καλα ορισμενο ( κατα τη γνωμη μου ), εφ΄οσον δεν μπορουμε να "κινηθουμε" επι ολων του των στοιχειων...

Και το προβλημα εδω προφανως δεν ειναι η 1-1 συναρτηση, αλλά η απουσια γνωστου φυσικου αριθμου ο οποιος να δηλωνει το πληθος των στοιχειων του απειροσυνολου.

Ελπιζω να αντιλαμβανεσαι οτι δεν αντιτιθεμαι πλεον στο συστημα των ( συμβατικων οπως τα αποκαλω ) μαθηματικων εφ΄οσον ειναι αυτο που ειναι, αλλά προσπαθω τωρα να εντοπισω τις παραδοχες που εχουν γινει σχετικα το απειρο.

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 20:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Φεβ 2007, 13:59
Δημοσ.: 131
To οτι υπάρχει ένα άπειρο σύνολο είναι αξίωμα της ZF.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μάιος 2008, 22:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Apokalyptikos έγραψε:
«Πρώτος αριθμός εστιν ο μονάδι μόνη μετρούμενος»

Ό,τι μετριέται δηλαδή μόνον από τήν μονάδα.

Η αυθεντική ευκλείδεια απόδειξις, είναι απόδειξις διά τήν είς άτοπον απαγωγής

Κυριε Αποκαλυπτικε

Σε αλλη συζητηση εχει λεχθει οτι ο Ευκλειδιος ορισμος για τον αριθμο ειναι : συγκειμενο πληθος μοναδων.

Το ερωτημα μου λοιπον ειναι τουτο : το συγκειμενο πληθος αφορα σε πραγματα τα οποια εκλαμβανομενα ενιαια το καθενα ονομαζονται μοναδες και η συνολικη τους φυσικη παρουσια αποτελει τον αριθμο ή θεωρουμενο το καθε πραγμα ενιαια ονομαζεται μοναδα και παριστανεται "καπως" ( ως μια κουκιδα ; ) ωστε μεταξυ των κουκιδων να υπονοειται η πραξη της προσθεσης, η οποια βεβαιως δεν γνωριζω αν ηταν ορισμενη ως πραξη απο τον Ευκλειδη.

Η μετρηση επομενως των αριθμων πως γινεται ;

Με την απλη τοποθετηση αντικειμενων το ενα διπλα στο αλλο ή με την παραθεση των συμβολων τους το ενα διπλα στο αλλο ( θεωρουμενων παντα μοναδων ) και αρα θεωρουμενων τουτων ( των μοναδιαιων συμβολων ) ως ορων αθροισματος ;

Οπως και να εχει το θεμα ομως, ο πρωτος αριθμος, συμφωνα με τον Ευκλειδη στην παραθεση, δεν μπορει να "συντελεστει" παρα μονο με τη συμπαραθεση ευδιακριτων ενιαιων αντικειμενων ή των συμβολων τους και ουδεποτε με τη συμπαραθεση ευδιακριτων και ισοπληθων μεταξυ τους παντα ομαδων περισσοτερων αντικειμενων.

Αρα αφου αυτος ο τροπος "μετρησης" των πρωτων αφορα και στην ιδια τη μοναδα ( η μοναδα μετριεται με τον εαυτο της ), γιατι αυτη εξαιρειται απο τους πρωτους ;

Ενυπαρχει εδω αξιωμα ( παρα το σχετικο ορισμο ) ή οχι ;



Περι του απειρου

Παράθεση:
Υπάρχουν (ιστορικά) 3 τάσεις (όπως ήδη σάς εξηγήθηκε)

α)Εσχατολογία :οι εσχατολόγοι, δέν δέχονται τό άπειρο (τό μή έχον πέρας) και περιορίζονται μόνον στό περατό

β)Εν δυνάμει άπειρον : Εδώ γίνεται αποδεκτό, ότι είναι δυνατόν σέ έναν δοσμένο αριθμό νά βρούμε έναν διάδοχο αριθμό προσθέτοντας τήν μονάδα, χωρίς νά έχουμε τελική κατάληξη. Ικανοποιείται δηλαδή ένας κανόνας συνέχειας Α1, Α2,...που λεκτικά καί πρός χάριν συνεννοήσεως καλείται «μέχρι τό άπειρον»

γ)Πραγματικά άπειρον : Εδώ γίνεται αποδεκτό, ότι τό άπειρο μπορεί να κατανοηθεί από τήν ανθρώπινη νόηση ως οντότης έχουσα αρχή καί τέλος. Δέν είναι κάτι, που «συνεχώς μεγαλώνει», αλλά ένα «όλον». Ο κανόνας συνέχειας Α1,Α2,...ισχύει, αλλά έχει και ένα τέλος, που τίθεται από τήν ανθρώπινη σκέψη.

Παρατηρω οτι και στις τρεις περιπτωσεις που αναφερετε, παιζει πρωτευοντα ρολο η αποδοχη ή μη αποδοχη του απειρου ( του μη εχοντος περας ).

Δηλαδη και στις τρεις περιπτωσεις ειναι ζητημα αξιωματος τον αν θα υπαρχει το απειρο μεσα στο αναπτυσσομενο λογισμο ή οχι.

Και τα ( συμβατικα ) μαθηματικα που χρησιμοποιουμε προφανως ακολουθουν την β' ταση απο οτι μπορω να καταλαβω.

Δεν ξερω αν εχει εδω καποια ιδιαιτερη σημασια, αλλα το απειρο ( το μη εχον περας ) δεν φαινεται να υπαρχει στη φυση, παρα μοναχα ως απορροια της αδυναμιας του ανθρωπου να φτασει πραγματικα ( σωματικα ) εκει που η αντιληψη του μεσω των αισθησεων "πληροφορουμενη" τον βεβαιωνει οτι θα μπορουσε να φτασει αν ειχε τον τροπο.

Δηλαδη ο ανθρωπος πραγματικα δεν μπορει να φτασει οσο μακρια θα ηθελε να φτασει.

Δεν μπορει δηλαδη να αυξησει πραγματικα οσοδηποτε τις διανυομενες αποστασεις...

Τα μαθηματικα ομως παραδεχονται ( αξιωματικα ) οτι αυτο στο χωρο τους μπορει να γινει...



Παράθεση:
Ακολουθεί ο Ευκλείδης μέ τόν ορισμό τού ευθυγράμμου τμήματος : Τό ΑΒ έχει μέν μήκος (περατό) όμως άπειρα σημεία.
Πάνω εκεί «πατάει» ο Ζήνων και «αντεπιτίθεται» μέ τό γνωστό παράδοξο, τού οποίου τήν λύση τήν διδάσκεται κανείς σήμερα σέ πολύ μικρή ηλικία.
Ο Ευκλείδης είχε δίκηο επομένως, τό «δίδυμο» :
«περατή ευθεία» καί «άπειρα ενδιάμεσα σημεία» δέν αντιφάσκει, όπως δέν αντιφάσκει καί τό «άπειρη σειρά βημάτων» μέ τό «πεπερασμένο μήκος»
Τότε δέν υπήρχε βέβαια Ανάλυση νά τό καταδείξει...

Η λυση την οποια διδασκεται ο καθενας σημερα για το παραδοξο του Ζηνωνα, συμφωνα με τα προηγουμενα που εξεθεσα σε αυτα τα οποια λετε περι των τασεων σχετικα με το απειρο, βασιζεται στην αξιωματικη παραδοχη της υπαρξης του απειρου και της εννοιας του οριου.

Επι πλεον εχω να παρατηρησω οτι μπορει να μην αντιφασκουν οπως λετε η απειρη σειρα βηματων με το πεπερασμενο μηκος, στην ουσια ομως το πεπερασμενο μηκος "βασιζεται" πραγματικα στο απειρο, εφ΄οσον το μετρο συγκρισης δεν ειναι τιποτα αλλο απο μια συγκεκριμενη και αυθαιρετα επιλεγμενη απειρια διαδοχικων σημειων η οποια θεωρουμενη ως μοναδα, χρησιμοποιειται κατ΄επαναληψη ( κατα τη διαδικασια της μετρησης ) για να βρεθει ποσες φορες πρεπει να τοποθετηθει διαδοχικα για να αποτελεσει ( αθροιστικα ) την μετρουμενη απειρια.

Δηλαδη γινεται μια αυθαιρετη "συγκεφαλαιωση" καποιας απειριας σημειων σε "μοναδα", για να μπορεσει να υπαρξει μηκος ( περας δηλαδη ) και αρα η αντιστοιχιση μιας αλλης μετρουμενης απειριας με γνωστο αριθμο.

Στην πραγματικοτητα δηλαδη ειναι ενα τρυκ της λογικης, με το οποιο "βαπτιζουμε = μετατρεπουμε" το απειρο σε πεπερασμενο για να μπορεσουμε να χειριστουμε τις καταστασεις...

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Τελευταία επεξεργασία απο skapaneas την 16 Μάιος 2008, 09:32, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 177 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5 ... 12  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group