forum.math.uoa.gr

Στη σελίδα 11 του βιβλίου "σημειώσεις στη συνολοθεωρία" του Γιάννη Ν. Μοσχοβάκη, υπάρχει η απόδειξη από τον Cantor ενός θεωρήματος, με τη χρησιμοποίηση της δεύτερης διαγωνίου μεθόδου (του Cantor).
Το θεώρημα αυτό λέει ότι "το σύνολο των άπειρων δυαδικών ακολουθιών είναι μη αριθμήσιμο".
Πάνω σε αυτό βασιζόμενος ο Cantor αποδεικνείει μετά, ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μη αριθμήσιμο, αφού υπάρχει αντιστοιχία με το σύνολο των άπειρων δυαδικών ακολουθιών.
Όμως, κάθε άπειρη δυαδική ακολουθία α0,α1,α2,α3,α4,... (δηλαδή κάθε ακολουθία με αn=0 ή αn=1 για κάθε n) δεν μπορεί να αντιστοιχηθεί στον δυαδικό αριθμο α0α1α2α3α4... με μοναδικό τρόπο;
και αυτός με τη σειρά του να αντιστοιχηθεί στον φυσικό αριθμό 1*α0+2*α1+4*α2+8*α3+16*α4+... και μάλιστα πάλι με μοναδικό τρόπο;
Άρα το σύνολο των άπειρων δυαδικών ακολουθιών είναι αριθμήσιμο!
Άρα και το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αριθμήσιμο!
Το πιο πιθανό είναι να έχω κάνει λάθος στο ότι υπάρχει αντιστοιχία (1-1 και επί) μεταξύ των άπειρων δυαδικών ακολουθιών και των δυαδικών αριθμών, αλλά δεν το εντοπίζω... σε διαφορετική περίπτωση δεν μπορώ να φανταστώ τις συνέπειες...
μπορείτε να σχολιάσετε;
ευχαριστώ εκ των προτέρων

Καλημερα.



Ποιος ειναι ο 'δυαδικος αριθμος α0α1α2α3α4...' ;

Οι φυσικοι αριθμοι (σε οποιοδηποτε συστημα αριθμησης, παιρνω εδω το δυαδικο) εχουν πεπερασμενη αναπαρασταση (εστω με μια απειρη σειρα μηδενικων). Κατα συνεπεια, μια απειρη δυαδικη ακολουθια, εκτος απο ειδικες (αριθμησιμου πληθους) περιπτωσεις, δε μπορει να αντιστοιχει σε φυσικο αριθμο.

Καλα να περνας,

Δημητρης

Ευχαριστώ κατ' αρχάς για την απάντηση.

Ίσως ήταν λίγο άκομψη η διατύπωση, όπως, ίσως, και η χρήση δυαδικών αριθμών, ενώ δεν τους χρειάζομαι.
θα προσπαθήσω, λοιπόν, να επαναδιατυπώσω. Θα προσπαθήσω να βάλω σε "σειρά" τις άπειρες δυαδικές ακολουθίες:

θεωρώ την αντιστοιχία:

0 --> 00000000000...
1 --> 10000000000...
2 --> 01000000000...
3 --> 11000000000...
...

με αυτόν τον τρόπο δεν εξαντλώ τις άπειρες δυαδικές ακολουθίες;
δεν τις έχω "απαρηθμήσει" λοιπόν;

Οχι. Εχεις απαριθμησει μονο τις απειρες δυαδικες ακολουθιες που περιεχουν πεπερασμενο πληθος απο '1'. Αυτες, πραγματι, ειναι αριθμησιμες το πληθος αλλα, βεβαια, δεν εξαντλουν το πληθος των δυαδικων ακολουθιων. Για παραδειγμα, σε ποιον αριθμο θα αντιστοιχουσε η ακολουθια
01010101010101...;

Ελπιζω να εγινα κατανοητος.

Καλα να περνας,

Δημητρης

αρχικά, θέλω να διευκρινίσω κάτι: σ' ευχαριστώ που ασχολείσαι, και η μόνη μου προσπάθεια είναι να καταλάβω. Είμαι χαρούμενος που κάνουμε αυτή τη συζήτηση, και η όποια διαφωνία, ελπίζω να είναι κατανοητό ότι αφορά στα μαθηματικά και μόνο. Συγγνώμη αν είμαι υπερευαίσθητος, και αγχώνομαι να προλάβω πιθανές παρεξηγήσεις, αλλά η επικοινωνία εξ' αποστάσεως μεταξύ αγνώστων δημιουργεί παρεξηγήσεις...

η ακολουθία 0101010101... αντιστοιχεί στο 2+8+32+128+... δηλαδή 2^1+2^3+3^5+2^7+... δηλαδή στο άπειρο άθροισμα των 2^(2n+1) για n=0 μέχρι άπειρο.

και να προσθέσω ότι όσο νομιμοποιείται κάποιος να γράφει "..." σε μια άπειρη ακολουθία, άλλο τόσο νομιμοποιείται να γράφει "..." σε ένα άθροισμα, από τη στιγμή που είναι απολύτως ξεκάθαρο τί εννοεί με τις τελίτσες

σ' ευχαριστώ, Δημήτρης (επίσης)

Μα δεν υπαρχει αυτο το απειρο αθροισμα ως φυσικος αριθμος! Προκειται για γεωμετρικη προοδο με λογο 4, της οποιας το αθροισμα των απειρων ορων δεν συγκλινει. Μπορεις να υπερβεις οποιονδηποτε φυσικο αριθμο, επιλεγοντας ενα αρκετα μεγαλο πληθος ορων.

Με αλλα λογια, ποτε δε θα φτασεις σε αριθμο που το δυαδικο του αναπτυγμα θα ειναι 01010101.... με την αριθμηση που επελεξες. Αυτο θελω να πω. Και, με οποιαδηποτε αλλη αριθμηση επελεγες, παλι θα υπηρχε μια δυαδικη ακολουθια (για την ακριβεια, υπεραριθμησιμο πληθος απο αυτες) στην οποια δε θα κατεληγες ποτε (αυτη ειναι και η ουσια του θεωρηματος).

Καλα να περνας,

Δημητρης

όταν λές ότι αυτό το άθροισμα αποκλίνει, εννοείς ότι μπορεί και μεγαλώνει οσοδήποτε θέλω. Άρα αυτός ο αριθμός υπάρχει και είναι φυσικός, αλλά είναι πολύ μεγάλος και "μεγαλώνει όλο και με μεγαλύτερη ταχύτητα", όσο εσύ προσθέτεις όρους στην ακολουθία. Όσο δηλαδή εσύ "ξεδιπλώνεις" τις τελίτσες σου, άλλο τόσο μπορώ κι εγώ, χωρίς να τελειώνει αυτή η διαδικασία, να μεγαλώνω συνέχεια τον αριθμό. Εκτός κι αν μου μιλήσεις για ενεργεία άπειρο, οπότε εκεί χρειάζομαι περισσότερες εξηγήσεις... αυτή είναι και η ουσιαστική απορία μου. Τί είναι αυτές οι τελίτσες που τόσο εύκολα βάζουμε στα μαθηματικά; O Cantor μιλάει για δυνάμει άπειρο ή ενεργεία άπειρο; ο ορισμός, σύμφωνα με τον οποίον, ένα σύνολο που δεν έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, έχει άπειρο, σε καλύπτει προσωπικά;

Φίλε Χιλβέρτο, τά λεγόμενα τού Dement είναι και ορθά και σαφή.
Όσον αφορά τό άπειρο και άν είναι εν δυνάμει ή πραγματικό ή εν ενεργεία κτλ. αυτά είναι θέματα που βρίσκονται στά όρια μαθηματικών και φιλοσοφίας. Πρίν αρχίσει όμως κανείς (σάν μαθηματικός) τέτοιες συζητήσεις, πρέπει να είναι σίγουρος, ότι κατέχει καλά τό μαθηματικό τουλάχιστον μέρος.
Ο αριθμός 0,99999.... ισούται π.χ. μέ 1. Γιατί; Ή καλύτερα, άς ρωτήσω, γιατί αρνούνται πολλοί να τό αποδεχθούν;
Ο λόγος είναι απλός, διότι συγχέουν τό όριο μιάς ακολουθίας με τήν ακολουθία τήν ίδια. Ο 0.9999999999.... εννοεί τό άθροισμα τών γεωμετρικών όρων 0.9*(0.1)^n και έχει επομένως άθροισμα 0.9/(1-0.9)=1. Έχουμε δηλαδή συγκλίνον άθροισμα.
Ακριβώς με τό ίδιο σκεφτικό, στήν δικιά σου περίπτωση έχουμε αποκλίνον, δέν αρνείται κανείς, ότι μπορείς να μεγαλώνεις τό άθροισμα προσθέτοντας όρους στήν ακολουθία. Αλλά δέν πρόκειται περί αυτού...έτερον εκάτερον...

Ως πρός τήν «κάλυψη» που ζητάς γιά τά άπειρα σύνολα:
Η δεύτερη διαγώνιος μέθοδος τού Cantor είναι ορθή. Δέν μπορείς να εξαντλήσεις τούς πραγματικούς αριθμούς απαριθμώντας τους με φυσικούς, διότι πάντα θά σού «ξεφεύγουν». Αυτό είναι τό μεγαλειώδες στήν μέθοδο τού Cantor. Είναι διαισθητικά αδύνατο, αλλά μόνο διαισθητικά...Και οι αντίπαλοι τού Cantor αυτό τού προσάπτουν ουσιαστικά: «Όσοι μά όσοι και να είναι αυτοί οι πραγματικοί αριθμοί, πάντα θά υπάρχει ένας φυσικός να τούς καταμετρά»
Δέν είναι όμως έτσι...

Αποκαλυπτικός

συγγνώμη για το μακροσκελές post, αλλά οφείλω να απαντήσω:

η ίδια η συνολοθεωρία του Cantor είναι περί της φύσης του απείρου, οπότε με μια έννοια η συνολοθεωρία είναι οντολογία του απείρου, οπότε προφανώς όταν θέτω ερωτήματα, τα ερωτήματα αυτά είναι κάπου μεταξύ μαθηματικών και φιλοσοφίας.

αν η δεύτερη διαγώνιος μέθοδος του Cantor είναι ορθή απλώς και μόνο λόγω της επίκλησης στην αυθεντία του Cantor, επικαλούμαι κι εγώ τους Αριστοτέλη, Poincare, Leibniz, Berkeley, Locke, Descartes, Spinoza, Gauss, Kant, Cauchy, Kronecker, Hermite, Bair, Borel, Brouwer, Quine, Wittgenstein, Weyl, Luzin, (και προφανώς είναι κι άλλοι) οι οποίοι διαφωνούν κάθετα.

αυτό που ζητώ είναι μια συζήτηση μεταξύ μαθηματικών, με όρους επιχειρηματολογίας και απόδειξης

στο δια ταύτα τώρα:
απαριθμώ τις άπειρες δυαδικές ακολουθίες ως εξής:

α0 --> 00000000000...
α1 --> 10000000000...
α2 --> 01000000000...
α3 --> 11000000000...
α4 --> 00100000000...
α5 --> 10100000000...
...

(κατ’ αντιστοιχία με τους δυαδικούς αριθμούς, που είναι προφανώς αριθμήσιμοι)

σύμφωνα με τη δεύτερη διαγώνια μέθοδο του Cantor, η ακολουθία που δεν έχω συμπεριλάβει είναι η 11111111111...

υπάρχουν τώρα δύο ενδεχόμενα:

1ο: η διαδικασία απαρίθμησης που μου ζητάει ο Cantor τελειώνει κάποτε, οπότε η τελευταία ακολουθία που θα απαριθμηθεί είναι ακριβώς η 11111111111... που ο Cantor υποστηρίζει ότι δεν καταγράφεται

2ο: η διαδικασία δεν τελειώνει, οπότε μπορούμε να την παρακολουθούμε με βήματα και μόνο ενώ εξελλίσεται.
εγώ αριθμώ ακολουθίες και με κάθε ακολουθία που γράφω, ο Cantor προσθέτει ένα καινούριο ψηφίο (το 1 πάντα) στη δικιά του ακολουθία.
οπότε αυτό που κάνει ο Cantor είναι απλώς να βρίσκεται πάντα μπροστά μου (και μάλιστα όλο και πιο μπροστά μου όσο καταγράφω ακολουθίες) και να μου λέει ότι δεν έχω συμπεριλάβει ακόμα μια ακολουθία, την οποία εγώ απλώς πρόκειται να συμπεριλάβω στο μέλλον.

ο μόνος τρόπος για να είναι ορθή η δεύτερη διαγώνια μέθοδος του Cantor, είναι όταν καταγράφω εγώ τις ακολουθίες το άπειρο να «σταματάει», και όταν ξεκινάει ο Cantor να γράψει την ακολουθία του, ξαφνικά το άπειρο να «ξαναποκτά τη δυναμική του».

συγγνώμη γι’ αυτό που θα πω τώρα, αλλά η ισχύς της δεύτερης διαγωνίου μεθόδου του Cantor είναι ανάλογη με το εξής:

είναι δύο άνθρωποι που λένε αριθμούς και κερδίζει αυτός που θα πει τον μεγαλύτερο.

συμπέρασμα: Αυτός που θα μιλήσει πρώτος, αναγκαστικά χάνει!
δεν χάνει, όμως, λόγω της φύσης του απείρου, χάνει λόγω της φύσης του παιχνιδιού…

φιλικά, Δημήτρης

Επιμενεις στην απαριθμηση των δυαδικων ακολουθιων και τη διαγωνια κατασκευη του Cantor ως εναλλασσομενα βηματα μιας διαδικασιας.

Αν καταλαβα καλα, η ενσταση σου ειναι : 'Και γιατι να θεωρησουμε οτι τελειωνει με τον Cantor η διαδικασια, οπου εχει κερδισει εχοντας κατασκευασει μια δυαδικη ακολουθια που δεν εχω συμπεριλαβει; Γιατι να μη θεωρησουμε οτι το τελευταιο βημα το κανω εγω;'

Θα ειχες απολυτο δικιο αν το θεωρημα του Cantor ελεγε :

'Για καθε απαριθμηση των δυαδικων ακολουθιων και ΓΙΑ ΚΑΘΕ φυσικο ΥΠΑΡΧΕΙ δυαδικη ακολουθια τετοια ωστε για καθε .'

Ομως δεν ειναι αυτο το θεωρημα του Cantor. Αυτη η προταση ειναι μια μαλλον προφανης αληθεια, η οποια συνεπαγεται την απειρια, οχι ομως την υπεραριθμησιμοτητα των δυαδικων ακολουθιων.

Το θεωρημα του Cantor διαφερει απο αυτη σε μια μικρη λεπτομερεια, που το καθιστα ομως πιο γενικο και πιο ισχυρο. Συγκεκριμενα, διαφερει στην εναλλαγη του 'ΓΙΑ ΚΑΘΕ' με το 'ΥΠΑΡΧΕΙ' (εξ ου και τα κεφαλαια). Το θεωρημα λεει:

'Για καθε απαριθμηση των δυαδικων ακολουθιων, ΥΠΑΡΧΕΙ δυαδικη ακολουθια τετοια ωστε, ΓΙΑ ΚΑΘΕ φυσικο , για καθε .'

Βλεπεις τη διαφορα; Δεν τιθεται πλεον θεμα διαδικασιας και το παιχνιδι που αναφερεις στο τελος του μηνυματος σου ειναι εκτος θεματος. Ο Cantor δεν περιμενει να πεις 'ακομα μια ακολουθια' για να δημιουργησει 'ακομα ενα ψηφιο' στη δικη του ακολουθια. Περιμενει να τελειωσεις, να ορισεις πληρως την απαριθμηση σου και να μην αφησεις κανεναν αριθμο χωρις αντιστοιχιση. Και, στη συνεχεια, παιρνει την (τελειωμενη πλεον) απαριθμηση σου και δημιουργει την ακολουθια του, που σιγουρα δεν εχεις συμπεριλαβει.

Αυτο ειναι και το μηνυμα. Ο,τι απαριθμηση και να φτιαξεις, οταν την ορισεις πληρως, θα υπαρχει παντα μια ακολουθια που δε θα ειναι εικονα κανενος φυσικου.

Μια συμβουλη: Με τις λεξεις μπορουμε να μιλαμε μεχρι δευτερας παρουσιας. Αν ομως θελεις να κατανοησεις σε βαθος το θεμα, μελετα τα αξιωματα της συνολοθεωριας και προσπαθησε μονος σου να δικαιολογησεις τη διαγωνια μεθοδο του Cantor βασει των αξιωματων και οχι βασει λεξεων. Ετσι θα καταφερεις να φτασεις στο βαθος της και να την κανεις πραγματικα κτημα σου.

Καλα να περνας,

Δημητρης

Αν το ηταν αριθμησιμο τοτε θα ειχε μηδενικο μετρο Lebesgue. ομως περιεγχει συνολο μετρου 1.αρα ειναι υπεραριθμησιμο.