forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2018, 10:00

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 17:48 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 65
Σύμφωνα μετο θεώρημα του euler μια γνήσια ισομετρία του IR^3 με σταθερό σημείο είναι είτε
i) ταυτόητα είτε
ii)στροφή γύρο απο άξονα που διέρχεται απ'το σταθερό σημείο
Έχει αναλοίωτο διάνυσμα έστω το α και αν <u1,α>=0,||α||=||u1||=1 και u2=u1xα τα u1,u2,α αποτελούν μια ορθομοναδιαία βάση του IR^3. Ο πίνακας της ισομετρίας f ώς προς τη βάση u1,u2,α είναι κάπως έτσι:
Af= f(u1) f(u2) f(α)
cosθ -sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1
Το πρόβλημα είναι οτι, σύμφωνα με τις σημειώσεις μου, αν το σταθερό διάνυσμα είναι το e3=(0,0,1) ο πίνακας είναι οπως παραπάνω.
-Αν το σταθερό διάνυσμα είναι το e1=(1,0,0) είναι ο:
Af= f(e1) f(u2) f(u3)
1 0 0
0 cosθ -sinθ
0 -sinθ cosθ
-Άν το σταθερό διάνυσμα είναι το e2=(0,1,0) είναι ο:
Af= f(u1) f(e2) f(u3)
cosθ 0 sinθ
0 1 0
-sinθ 0 cosθ
Δεν καταλαβαίνω,βλέποντας την απόδεξη, γιατί πρέπει να αλλάζουν τα πρόσημα.Μάλιστα στη δεύτερη περίπτωση detAf= cosθ^2- sinθ^2=/=1.Ισχύει όντως αυτό που γράφω?Που στηρίζεται?Ευχαριστώ.


Τελευταία επεξεργασία απο Smn την 24 Αύγ 2018, 20:40, επεξεργάστηκε 2 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 20:29 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 29 Σεπ 2016, 17:15
Δημοσ.: 22
Μάλλον στη δεύτερη περίπτωση ο πίνακας έπρεπε να είναι ο:

1 0 0
0 cosθ -sinθ
0 sinθ cosθ

αντιστοιχεί στη στροφή του επίπεδου yz κατά τον άξονα x. Δηλαδή διατηρεί το διάνυσμα (1,0,0).

Στην πρώτη περίπτωση (με σταθερό διάνυσμα (0,0,1)) ο πίνακας είναι ο

cosθ -sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1

νατιστοιχεί στη στροφή του επιπέδου xy κατά τον άξονα z.

Με κάθε επιφύλαξη! :)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 20:45 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 65
Συγνώμη το ξανάγραψα προσεκτικά.Οπότε σε όλες τις περίπτωσεις έχουμε ένα "-" στο δεύτερο sinθ?Ευχαριστώ.:)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 20:51 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 29 Σεπ 2016, 17:15
Δημοσ.: 22
Νομίζω καλά είναι, απλά ο δεύτερος πίνακας έχει ένα "-" παραπάνω.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 20:54 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 65
Και ο τρίτος έχει το "-" στη λάθος θέση?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 20:55 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 29 Σεπ 2016, 17:15
Δημοσ.: 22
Όχι, καλά μου φαίνεται.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 21:10 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 65
Χμ,στη στήλη του αναλλοίωτου διανύσματος βάσης e2=(0,1,0) γράφουμε f(a)=0*u1+1*e2+0*u2. Για τα υπόλοιπα δυο διανύσματα u1,u2 ισχύει
f(u1)=cosθ*u1 +0*e2 +sinθ*u2 και f(u2)=-sinθ*u1 +0*e2 +cosθ*u2. Οπότε ο πίνακας θα είναι ο:
Af=f(u1) f(e2) f(u2)
cosθ 0 -sinθ
0 1 0
sinθ 0 cosθ
Διαφορέτικος απ'αυτό που παρέθεσα απ'τις σημειώσεις.Όχι?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γνήσιες ισομετρίες IR^3.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2018, 21:15 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 29 Σεπ 2016, 17:15
Δημοσ.: 22
Οκ το ίδιο είναι. Όπως τον γράψατε τώρα νομίζω είναι αριστερή στροφή, ενώ με το "-" κάτω είναι δεξιά.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group