forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Σεπ 2018, 09:30

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Συναρτησιακή Ανάλυση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Απρ 2006, 13:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
[tex]\ell_{p}=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|^{p}<\infty\}, 1\leq p<\infty[/tex]

[tex]\ell_{\infty}=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:(a_{n}) [/tex]φραγμένη[tex]\}[/tex]

[tex]c(\mathbb{N})=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:(a_{n}) [/tex]συγκλίνει[tex]\}[/tex]

[tex]c_{o}(\mathbb{N})})=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:(a_{n}) |a_{n}|\rightarrow 0, n\rightarrow \infty\}[/tex]

[tex]c_{oo}(\mathbb{N})=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:\exists n_{o}\in\mathbb{N}:a_{n}=0, \forall n\geq n_{o}\}[/tex]

Ποιοί από τους παρακάτω χώρους με την αντίστοιχη νόρμα, αποτελούν χώρους Banach;

1. [tex](\ell_{p},\|\cdot\|_{p}), \|x\|_{p}=(\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}[/tex], όπου [tex]x=(x_{n})\in\ell_{p} [/tex]

2. [tex](\ell_{\infty},\|\cdot\|_{\infty})[/tex], [tex]\|x\|_{\infty}=sup_{n\in\mathbb{N}}|x_{n}|[/tex], όπου [tex]x=(x_{n})\in\ell_{\infty} [/tex]

3. [tex]c(\mathbb{N})[/tex], [tex]c_{o}(\mathbb{N})[/tex], [tex]c_{oo}(\mathbb{N})[/tex]

4. [tex](\mathcal{C}([a,b]),|\cdot\|)[/tex], όπου [tex]\|f\|=max\{|f(t)|:t\in[a,b]\}, f\in \mathcal{C}([a,b])[/tex]

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Απρ 2006, 14:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
Οι χώροι 1,2,4 είναι Banach.

Ο χώρος των ακολουθιών που συγκλίνουν στο μηδέν

με την supremum νόρμα είναι επίσης Banach.

Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν

είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Απρ 2006, 16:35 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Constantine έγραψε:
Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν

είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε.


Πώς θα μπορούσαμε να σχετίζεται αυτή η παρατήρηση με το θεώρημα Stone-Weierstrass;

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Απρ 2006, 22:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Constantine: Ορθά.
Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε γιατί έχει αριθμήσιμη βάση Hamel.
Διαφορετικά, αρκεί να δείξουμε ότι ο [tex]c_{oo}[/tex] ως υπόχωρος του [tex]\ell_{\infty}[/tex] δεν είναι κλειστός [Πάρτε π.χ. την ακολουθία [tex]x_{n}=(1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n},0,\ldots)\in c_{oo}(\mathbb{N})[/tex] και
[tex]x=(1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1}\ldots)\in \ell_{\infty}- c_{oo}(\mathbb{N})[/tex].
Τότε [tex]x_{n}\rightarrow x\in\ell_{\infty}- c_{oo}(\mathbb{N})[/tex]].

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Απρ 2006, 00:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
με το Stone-Weierstrass ?

Δεν ξέρω. Θα το σκεφτώ !!

Αρχίζει και αποκτά ενδιαφέρον...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Απρ 2006, 15:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
θεώρημα Weierstrass:
Κάθε [tex]f\in \mathcal{C}([a,b])[/tex] μπορεί να προσεγγισθεί από μια ακολουθία πολυωνύμων.

θεώρημα Stone-Weierstrass:
Στο προηγούμενο Θεώρημα, αντί για το (κλειστό & φραγμένο) [a,b] μπορούμε να πάρουμε ένα συμπαγή χώρο Hausdorff [tex]Κ[/tex] και αντί για το χώρο των πολυωνύμων, παίρνουμε υποάλγεβρες του [tex]\mathcal{C}(Κ)[/tex].

Τώρα, για το αντικείμενό μας, αφού ο [tex](\mathcal{C}([a,b]),\|\cdot\|)[/tex] είναι (άλγεβρα) Banach, ο χώρος των πολυωνύμων είναι υποάλγεβρα του [tex](\mathcal{C}([a,b])[/tex], έστω [tex]Α[/tex], και άρα από το Θ. Weierstrass, η υποάλγεβρα αυτή είναι πυνκή στο [tex]\mathcal{C}([a,b])[/tex], δηλ. [tex]\overline{A}=\mathcal{C}([a,b])[/tex].

Τώρα, όσον αφορά το:

Παράθεση:
Constantine έγραψε:
Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν

είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε.


Πώς θα μπορούσαμε να σχετίζεται αυτή η παρατήρηση με το θεώρημα Stone-Weierstrass;


ίσως αν πάρουμε τους όρους της τελικά μηδενικής ακολουθίας ως συντελεστές σε ένα πολυώνυμο...
ή ας σκεφτούμε ότι οι ακολουθίες είναι συναρτήσεις και ακολουθίες [tex]\leftrightarrow[/tex] σειρές...

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιούλ 2006, 01:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Απρ 2006, 10:23
Δημοσ.: 357
θεωρούμε τον [tex]c_{00}[/tex] ως υπόχωρο του [tex]\ell_{\infty}[/tex]

θεωρούμε την [tex]x_{n}=(0,...,0,\frac{1}{n^{2}},0,...)[/tex] και

παρατηρούμε ότι η [tex] \sum_{n=1}^{\infty}||x_{n}||_{\infty}[/tex]

συγκλίνει στον [tex]c_{00}[/tex] αλλά η [tex] \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}[/tex] όχι.

Τι συμπέρασμα προκύπτει;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Συναρτησιακή Ανάλυση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιούλ 2006, 14:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}||x_{n}||=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<\infty[/tex].
Τα μερικά αθροίσματα είναι
[tex]S_{k}=x_{1}+\ldots+x_{k}=(1,\frac{1}{2^{2}},\ldots,\frac{1}{k^{2}},0,\ldots)[/tex][tex]\rightarrow x=(\frac{1}{n^{2}})_{n}\in\ell_{\infty}-C_{oo}\mathbb(N)[/tex].
Βρήκαμε λοιπόν μια σειρά στο [tex]C_{oo}\mathbb(N)[/tex] η οποία συγκλίνει απολύτως αλλά δε συγκλίνει (απλά).
Συνεπώς, ο [tex](C_{oo}\mathhb(N),||.||_{\infty})[/tex] δεν είναι Banach.

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group