forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 04:00

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: 5 μεγάλα μαθηματικά προβλήματα που λύθηκαν πολύ πρόσφατα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Σεπ 2006, 00:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Etsw d(x) h synarthsh pou gia kathe fysiko x apeikonizei to plhthos twn prwtwn paragontwn tou.
Estw Σ to athroisma twn timwn ths d(x) apo to 1 mexri to enan fysiko n>1
Estw S to athroisma twn antistrofwn twn prwtwn arithmwn pou einai mikroteroi apo enan fysiko n>1
Boreite na deixete oti

lim (S - Σ/ν) = 0 ?????????
ν->+00


PROKLHSH


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Δεκ 2007, 02:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
stranger έγραψε:
Etsw d(x) h synarthsh pou gia kathe fysiko x apeikonizei to plhthos twn prwtwn paragontwn tou.
Estw Σ to athroisma twn timwn ths d(x) apo to 1 mexri to enan fysiko n>1
Estw S to athroisma twn antistrofwn twn prwtwn arithmwn pou einai mikroteroi apo enan fysiko n>1
Boreite na deixete oti

lim (S - Σ/ν) = 0 ?????????
ν->+00


PROKLHSH

(Καταρχάς το post είναι λίγο άκυρο εδώ που εμφανίζεται)
Έστω ν(n) το πλήθος των πρώτων διαιρετών του n,τότε αυτό που ζητείται είναι να δείξουμε ότι lim _{ x\rightarrow\infty} \sum_{p\leq x}\frac{1}{p}-\frac{\sum_ {n\leq x}v(n)}{x}=0. Στο δεύτερο άθροισμα,κάθε ν(n) συνεισφέρει ν(n) μονάδες,όπου κάθε μία προέρχεται από κάποιον πρώτο p που διαιρεί το n,άρα κάθε μονάδα του αθροίσματος αυτού προέρχεται από κάποιον πρώτο p μικρότερο ή ίσο του x,και κάθε τέτοιος πρώτος συνεισφέρει τόσες μονάδες όσα και τα πολλαπλάσια του που είναι μικρότερα ή ίσα του x,δηλαδή [\frac{x}{p}],άρα \sum_ {n\leq x}v(n) =\sum_{p\leq x}[\frac{x}{p}].Λαμβάνοντας υπόψιν την x-1<[x]\leq x η παράσταση μέσα στο όριο είναι θετική και μικρότερη του κλάσματος \frac{\pi(x)}{ x},όπου π(x) είναι το πλήθος των πρώτων μικρότερων ή ίσων του χ.Για να δείξουμε ότι το κλάσμα τείνει στο 0 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μερική άθροιση και τις ανισότητες του Chebychev (ή από το θεώρημα των πρώτων αριθμών)ή διαφορετικά με μία ωραία και πιο απλή ιδέα :
Η σχέση lim\frac{\pi(x)}{x}=0 που προσπαθούμε να αποδείξουμε σημαίνει ότι οι πρώτοι μικρότεροι του x είναι πολυ λιγότεροι του x για μεγάλες τιμές του x.Η ιδέα είναι να βρούμε κάποιον όσο γίνεται μικρότερο αριθμό R με όσο γίνεται περισσότερους διαιρέτες ,οπότε κάθε πρώτος που θα μετράται στο π(x) και δεν θα βρίσκεται στην παραγοντοποίηση του R ,θα είναι σχετικά πρώτος με το R,άρα θα μετράται στο φ(R),που είναι το πλήθος των σχετικά πρώτων με το R.Πιο συγκεκριμένα εάν R=\prod_{p\leq y}p, δηλαδή το γινόμενο όλων των πρώτων μικρότερων ή ίσων του y , για μεγάλα x,τότε \pi(x)\leq R + \phi(R)([\frac{x}{R}]+1) \leq R +2x\frac{\phi(R)}{R} γιατί σε καθεμία R-άδα 2R,2R+1,...,3R-1 ή 3R,3R+1,..4R-1 μέχρι και ([x/R]-1)R,([x/R]-1)R+1,...,([x/R]-1)R+(R-1) ένας πρώτος p που προσμετράται στο π(χ) θα υπάρχει και στο φ(R) ως σχετικά πρώτος με το R.Επίσης (\frac{\phi(R)}{R})^{-1}=\prod_{p\leq y}(1-\frac{1}{p})^{-1}=\prod_{p\leq y}(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...)=\sum\frac{1}{n}, όπου το τελευταίο άθροισμα περιλαμβάνει όλους τους n που διαιρούνται από κάποιον πρώτο p μικρότερο ή ίσο του y,και άρα όλους τους n μικρότερους ή ίσους του y,έτσι το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του logy και \frac{\pi(x)}{x}\leq \frac{R}{x}+\frac{2}{logy}.Τώρα ξεκινώντας με κάποιο ε θετικό βρίσκουμε κάποιο y ώστε \frac{2}{logy}<\frac{\epsilon}{2} και κρατώντας σταθερό το y,και άρα το R,για x μεγαλύτερο του 2R/ε ισχύει π(x)/x < ε .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Πρόκληση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Νοέμ 2011, 22:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Μαρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 302
Τοποθεσια: Κερατσίνι
από μεταφορά...

_________________
Ζήσε τα μαθηματικά σου!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group