forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 16 Δεκ 2017, 20:43

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Απορία Πραγματικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Ιουν 2017, 20:24 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Ιουν 2017, 20:08
Δημοσ.: 3
Ισχύει ότι σε έναν μη-πλήρη μετρικό χώρο (Χ,ρ) το σύνολο των σημείων μιας βασικής ακολουθίας που δεν συγκλίνει στον Χ είναι κλειστό?
Αν θεωρήσουμε τον μετρικό χώρο ως υπόχωρο της πλήρωσης του, τότε το παραπάνω σύνολο μαζί με το σημείο που συγκλίνει η ακολουθία, (που ανήκει στην πλήρωση) είναι κλειστό στην πλήρωση (γνωστή πρόταση). Άρα η τομή του συνόλου των σημείων της ακολουθίας μαζί με το σημείο που συγκλίνει με το Χ είναι κλειστό στον Χ (γνωστή πρόταση). Η τομή αυτή είναι τα σημεία της ακολουθίας. Σωστή δεν είναι η συλλογιστική?? Μου κάνει εντύπωση γιατί δεν το συνάντησα πουθενά αυτό το αποτέλεσμα, ούτε στο μάθημα ούτε στις σημιώσεις γιαννόπουλου, ενώ φαίνεται αρκετά χρήσιμο...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία Πραγματικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιουν 2017, 11:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Η τομή είναι κενή αφού το όριο δεν είναι στο σύνολο των όρων της ακολουθίας (αν τέμνεις με το μονοσύνολο του ορίου).

Το συμπέρασμα δεν ισχύει, π.χ. πάρε το \left\{\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N}\right\} στον (0,2). Αυτό δεν είναι κλειστό γιατί \frac{1}{n}\to 0 και το 0 δεν είναι εντός του συνόλου σου.

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία Πραγματικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιουν 2017, 11:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 368
Τοποθεσια: Lvov
AmpalosMathimatikos έγραψε:
Το συμπέρασμα δεν ισχύει, π.χ. πάρε το \left\{\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N}\right\} στον (0,2). Αυτό δεν είναι κλειστό γιατί \frac{1}{n}\to 0 και το 0 δεν είναι εντός του συνόλου σου.


Σκέφτηκα κι εγώ κάποια τέτοια αντιπαραδείγματα αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα: Το 0 δεν είναι εντός του μετρικού χώρου γενικά. Δηλαδή, μπορούσες αντίστοιχα να πεις ότι θα πάρω ακολουθία ρητών που να συγκλίνει στο \sqrt{2} οπότε θα είναι βασική και το \sqrt{2} είναι σημείο συσσώρευσης που δεν ανήκει στο σύνολο των όρων της ακολουθίας. Όμως, δεν ανήκει ουτε στον μετρικό χώρο οπότε δεν μπορείς να πεις ότι βρήκες σημείο συσσώρευσης που δεν ανήκει στο σύνολο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία Πραγματικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιουν 2017, 12:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 368
Τοποθεσια: Lvov
Νομίζω ότι είναι σωστό: Έστω x_n βασική ακολουθία του X η οποία δεν συγκλίνει και έστω A=\{x_n:n\in\mathbb{N}\}. Θα δείξω ότι το X\backslash A είναι ανοικτό.

Έστω x\neq x_n για κάθε n. Αν το x δεν είναι εσωτερικό σημείο του X\backslash A τότε για κάθε \epsilon>0 υπάρχει στοιχείο y του A ώστε d(x,y)<\epsilon. Για \epsilon=1,1/2,\dots, 1/n και επιλέγοντας κατάλληλα όρους μπορώ να βρω υπακολουθια της x_n που να συγκλίνει στο x. Αφού η x_n είναι βασική και έχει συγκλίνουσα υπακολουθία θα συγκλίνει, άτοπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία Πραγματικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιουν 2017, 12:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Ναι, λάθος.

Σωστό είναι, αλλά όχι επειδή τέμνεις με τον X. Ο X δεν είναι κλειστός στην πλήρωση του, αφού είναι πυκνός στην πλήρωση του (η εικόνα του X μέσω της ισομετρίας για την ακρίβεια).

Πάρε την (x_n)_n βασική και A=\left\{x_n : n\in \mathbb{N}\right\}. Αν (y_n)_n\subseteq A με y_n\to y\in X, τότε μπορείς να βρεις υπακολουθία (y_{k_n})_n της (y_n)_n με y_{k_n}=x_{\lambda_n} όπου (x_{\lambda_n})_n υπακολουθία της (x_n)_n.

Τότε x_{\lambda_n}\to y\in X, και εφόσον η (x_n)_n είναι βασική θα έπρεπε x_n\to y\in X -άτοπο.

Άρα οι μόνες συγκλίνουσες του A είναι οι τελικά σταθερές του. Άρα το A είναι κλειστό.

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία Πραγματικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιουν 2017, 12:33 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Ιουν 2017, 20:08
Δημοσ.: 3
Σωστοί φαίνονται και οι συλλογισμοί σας (νομίζω είναι ίδιοι). Και με την τομή βγαίνει, δές τον χαρακτηρισμό των σχετικά κλειστών συνόλων.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία Πραγματικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιουν 2017, 23:26 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Φεβ 2017, 21:12
Δημοσ.: 4
Σωστό είναι το αποτέλεσμα.
Δείτε το 2ο θέμα της εξέτασης του Φεβρουαρίου, για παράδειγμα (eclass).
Και η απόδειξη του sam είναι επίσης σωστή.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group