forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Δεκ 2017, 23:24

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 13:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
Για να αποδείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών πινάκων \mathcal{M}(m \times n, \mrathbb{R}) με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, ότι είναι μια mn πολλαπλότητα, το ''βλέπουμε'' ως ένα διανυσματικό χώρο και το αιτιολογούμε κάπως έτσι;

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 13:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 15 Σεπ 2007, 17:12
Δημοσ.: 174
Τοποθεσια: Ν.Σμυρνη
Ειναι \mathbb{R}^{nm}\simeq M(n\times m, \mathbb{R})
αρα μπορεις να μεταφερεις τις δομες μεσω του ισομορφισμου,
ισως να γινεται και αλλιως δεν εχω ιδεα..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 13:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
Χμμμμ.. Εννοούσα για απόδειξη ορίζοντας χάρτες. Αλλά οκ. Για την ώρα μου κάνει.

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 13:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
Christiano έγραψε:
Για να αποδείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών πινάκων \mathcal{M}(m \times n, \mathbb{R}) με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, ότι είναι μια mn πολλαπλότητα, το ''βλέπουμε'' ως ένα διανυσματικό χώρο και το αιτιολογούμε κάπως έτσι;

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 13:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Σεπ 2009, 16:40
Δημοσ.: 367
Τοποθεσια: πειραιάς
αν δεν κάνω λάθος απλά έπερνες μια απεικόνιση που έστελνε τον πίνακα σε διάνυσμα με τα στοιχεία του...
πχ αν είναι 2Χ2 πίνακα με Α11=α Α12=β Α21=γ και Α22=δ τότε η εικόνα του ήταν το διανυσμα του R^4
(α,β,γ,δ)
Σόρρυ αλλά περάσαν χρόνια

_________________
"Το ζήτημα δεν είναι να είσαι αιχμάλωτος,το να μην παραδίνεσαι αυτό είναι"
Ναζίμ Χικμέτ
http://www.youtube.com/watch?v=bStwaOGxy_Q&feature=related


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 14:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Πραγματι η ιδεα ειναι να δειξεις οτι το Μ(mxn,R) με νορμα τη sup ειναι ισομορφη με τον R^mn, μεσω της f:M(mxn,R)->R^mn οπου f(A)=(a11,a12,...,a1n,a21,...,aij,...,amn). Ευκολα φαινεται οτι ειναι ισομορφισμος (οπου ειναι ισχυροτερος του ομοιομορφισμου σε διανυσματικους χωρους πεπερασμαενης διαστασης). Επομενο βημα ειναι να παρεις τον (υπαρκτο και μοναδικο απο θεωρημα) διαφορικο ατλαντα Α απο τον χαρτη ((Μ(mxn),R),f) (ειναι χαρτης αφου ειναι 1-1 επι συνεχης και ανοικτη). Οποτε το (Μ(mxn,R),A) ειναι πολλαπλοτητα nm. Αυτη ειναι μια αιτιοολογιση
Μια παρατηρηση ειναι οτι η τοπολογια που οριζει ο ατλαντας Α ειναι ιδια με αυτη που απαγει η sup στο Μ(mxn,R) οποτε δεν ειναι απραραιτητο να την αναφερουμε. Συνεπως αρκει να δειξεις οτι ο χαρτης της f ειναι 1-1 επι ενος ανοιχτου υποσυνολου R^mn.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 18:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Ένας άλλος ωραίος τρόπος, που είναι πολύ χρήσιμος για να δείχνεις ότι διάφορα υποσύνολα πινάκων είναι πολλαπλότητες είναι να χρησιμοποιείς το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης.

Εάν η F:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n είναι διαφορίσιμη με διαφορικό σταθερής τάξης και έχουμε ένα a\in\mathbb{R}^n τότε το f^{-1}(a) είναι πολλαπλότητα.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση δε σε βοηθάει και πάρα πολύ, γιατί είναι εύκολο να δείξεις το ζητούμενο με το χάρτη, όπως σου λένε τα παιδιά παραπάνω.

Αλλά αν θέλεις να δείξεις π.χ. ότι η ορθογώνια ομάδα O(n)=\{g\in\;M_n(\mathbb{R})\mid\;g^Tg=I_n\}, τότε ορίζοντας την απεικόνιση F:M_n(\mathbb{R})\rightarrow S_n(\mathbb{R}), όπου S_n(\mathbb{R}) είναι ο διανυσματικός χώρος των n\times n συμμετρικών πινάκων, έχεις ότι I_n\in S_n(\mathbb{R}),\;O(n)=F^{-1}(I_n). Μετά υπολογίζεις το διαφορικό
\frac{d}{dt}F(g+tA)\mid_{t=0}=\frac{d}{dt}(g+tA)^T(g+tA)\mid_{t=0}=...=g^TA+A^Tg
και δείχνεις ότι είναι επί του S_n(\mathbb{R}), οπότε έχεις δείξει ότι η ορθογώνια ομάδα είναι πολλαπλότητα. Παρεμπιπτόντως είναι και ομάδα Lie, για να στο συνδέσω με το ερώτημα που έθιξες στο άλλο θέμα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πολλαπλότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Φεβ 2011, 19:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
Ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις.

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group