forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 12 Νοέμ 2018, 20:23

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση Γεωμετρίας - Τριγωνομετρίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιαν 2007, 14:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3025
Έστω [tex]m>4[/tex]. Θεωρούμε ένα πολύγωνο [tex]P[/tex] με [tex]m[/tex] κορυφές: ας τις πούμε [tex]K_1,\ldots ,K_m[/tex]. Συμβολίζουμε με [tex]\ell_j[/tex] την πλευρά του [tex]P[/tex] που έχει άκρα [tex]K_jK_{j+1}[/tex] (φυσιολογικά, [tex]\ell_m=K_mK_1[/tex]).

Τώρα, για κάθε [tex]j=1,\ldots ,m[/tex], θεωρούμε το τρίγωνο [tex]T_j(P)[/tex] που έχει πλευρές την [tex]\ell_j[/tex] και τις προεκτάσεις των δύο γειτονικών προς αυτήν πλευρών του [tex]P[/tex] (των [tex]\ell_{j-1},\ell_{j+1}[/tex]). Το τρίγωνο αυτό είναι "έξω" από το [tex]P[/tex].

Γράφουμε [tex]|P|[/tex] για το εμβαδόν του [tex]P[/tex] και [tex]|T_j(P)|[/tex] για το εμβαδόν του [tex]T_j(P)[/tex] (αυτό μπορεί να απειρίζεται αν οι [tex]\ell_{j-1},\ell_{j+1}[/tex] είναι παράλληλες).

Δείξτε ότι:

[tex]\min_{1\leq j\leq m}\frac{|T_j(P)|}{|P|}\leq\frac{2\sin^2(\pi /m)}{m\cos (2\pi /m)}[/tex]

με ισότητα αν το [tex]P[/tex] είναι κανονικό [tex]m[/tex]-γωνο.

Υπάρχει κάποια απλή απόδειξη; Αν όχι, μπορείτε να δώσετε απλό άνω φράγμα της τάξης του [tex]1/m^3[/tex] για μεγάλα [tex]m[/tex];


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιαν 2007, 16:42 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Θέλουμε το πολύγωνό μας να είναι κυρτό; Γιατί αν πάρουμε το παρακάτω
Εικόνα
τότε κάθε [tex]\ell_{i-1},\ell_{i+1}[/tex] είναι παράλληλα μεταξύ τους.

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιαν 2007, 16:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3025
eirik έγραψε:
Θέλουμε το πολύγωνό μας να είναι κυρτό;


Γεια σου Eirik, καλή χρονιά. Εννοώ κυρτό πολύγωνο του Θεού. Ο περιορισμός [tex]m>4[/tex] χρειάζεται γιατί, όπως λες κι εσύ, αν πάρω ένα παραλληλόγραμμο [tex]P[/tex] τότε όλα τα "τρίγωνα" έχουν άπειρο εμβαδόν και το ζητούμενο δεν ισχύει.

Να πώ ότι πραγματικά με ενδιαφέρει να δώ αν υπάρχει απλή λύση, ξέρω ότι αυτό που σας ρωτάω ισχύει. Ο ευρών αμειφθήσεται.

ΥΓ: Μακάρι να μπορούσα να φτιάξω κι εγώ σχήματα, θα χρειαζόμουνα λιγότερα λόγια. Ελπίζω να είναι σαφές τώρα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιαν 2007, 17:04 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Καλη χρονιά, επίσης :)

Μια απορία ακόμα.. Μπορούμε να κάνουμε την υπόθεση ότι το πολύγωνό μας είναι εγγράφεται σε κύκλο;

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιαν 2007, 17:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3025
eirik έγραψε:
Μια απορία ακόμα.. Μπορούμε να κάνουμε την υπόθεση ότι το πολύγωνό μας είναι εγγράφεται σε κύκλο;


Όχι, αυτό θα ήταν "θείο δώρο". Δοκιμάστε το όμως, αν θέλετε, πρώτα με αυτήν την επιπλέον υπόθεση: μάλλον θα προκύπτει κάποιο σχετικά απλό πρόβλημα απειροστικού λογισμού. Δεν νομίζω όμως ότι το ειδικό θα βοηθούσε για το γενικό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group