forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 12:40

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 27 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεώρημα Πληρότητας και Αξίωμα Επιλογής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2007, 01:28 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Ποιά σχέση μπορεί να έχουν το θεώρημα Πληρότητας και το Αξιώμα Επιλογής?
Για παράδειγμα,μήπως το αξίωμα επιλογής είναι συνέπεια του Θεωρήματος Πληρότητας ή μήπως συμβαίνει το αντίστροφο??Υπάρχει περίπτωση να ισχύουν και τα 2,δηλαδή AC \Leftrightarrow Completeness Theorem?

Ποιά είναι η γνώμη σας?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεώρημα Πληρότητας και Αξίωμα Επιλογής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2007, 22:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Khelben έγραψε:
Ποιά σχέση μπορεί να έχουν το θεώρημα Πληρότητας και το Αξιώμα Επιλογής?
Για παράδειγμα,μήπως το αξίωμα επιλογής είναι συνέπεια του Θεωρήματος Πληρότητας ή μήπως συμβαίνει το αντίστροφο??Υπάρχει περίπτωση να ισχύουν και τα 2,δηλαδή AC \Leftrightarrow Completeness Theorem?

Ποιά είναι η γνώμη σας?

Μηπως θα ηταν καλυτερα να παραθεσεις και τα δυο, ωστε να "εχει" η συζητηση ορατο το βασικο της αντικειμενο και στους μη ειδικους;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Νοέμ 2007, 10:39 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
ΑΞΙΩΜΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ:

Για καθε συνολο μη κενων ξενων μεταξυ τους συνολων A_i (i \in I) υπαρχει συνολο E τετοιο ωστε, για καθε i \in I ισχυει |E \cap A_i| = 1

Πιο απλα: Για καθε συνολο μη κενων ξενων μεταξυ τους συνολων υπαρχει τουλαχιστον ενα συνολο που περιεχει ακριβως ενα στοιχειο απο το καθενα.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ:

(στη μορφη που μοιαζει λιγο στο Αξιωμα της Επιλογης):

Καθε συνεπης θεωρια πρωτης ταξεως εχει τουλαχιστον ενα μοντελο.

Πιο απλα: Αν μια μαθηματικη θεωρια δεν περιεχει αντιφασεις, υπαρχει τουλαχιστον ενας τροπος με τον οποιο οι 'οντοτητες' της (συνολα, αριθμοι η οτιδηποτε αλλο) μπορουν να 'ερμηνευθουν' ετσι ωστε ολες οι 'ερμηνειες' των προτασεων της θεωριας να αληθευουν.

Π.χ., ενα μοντελο της Ευκλειδιας επιπεδομετριας ειναι η ερμηνεια των σημειων ως διατεταγμενων ζευγων πραγματικων αριθμων, των ευθειων ως των εξισωσεων της μορφης Ax + By + C = 0 με |A| + |B| \neq 0 και τα λοιπα (εχοντας ορισει καταλληλα τη δομη των πραγματικων).

Προφανως το θεωρημα της πληροτητας ειναι συνεπεια του αξιωματος της επιλογης, αφου δε νομιζω ο Goedel να χρησιμοποιησε αλλα αξιωματα απο την ZFC στην αποδειξη του! Για το αντιστροφο, δεν εχω ιδεα... :shock:

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Νοέμ 2007, 18:54 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Το "προφανώς" θέλει απόδειξη γιατί ο Heinkin μπορεί να χρησιμοποίησε το Zorn's Lemma (Μιλάω πάντα για την ισχυρή έκδοση της Πληρότητας) αλλά μπορεί κάποιος να ισχυριστεί ότι έχει αποδείξει το Θεώρημα Πληρότητας χωρίς αυτό.

Φυσικά δεν εννοώ ότι θέλω να το αποδείξεις,απλά αυτό που λέμε είναι απλά μια ένδειξη και η πλήρης απόδειξη είναι δύσκολη...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Δεκ 2007, 20:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
dement έγραψε:
ΑΞΙΩΜΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ:

Για καθε συνολο μη κενων ξενων μεταξυ τους συνολων A_i (i \in I) υπαρχει συνολο E τετοιο ωστε, για καθε i \in I ισχυει |E \cap A_i| = 1

Πιο απλα: Για καθε συνολο μη κενων ξενων μεταξυ τους συνολων υπαρχει τουλαχιστον ενα συνολο που περιεχει ακριβως ενα στοιχειο απο το καθενα.


Αγαπητε Δημητρη

Γνωριζοντας τι ενδεχομενως μπορει να επακολουθησει, θα τολμησω να θεσω ενα ερωτημα για το Αξιωμα Της Επιλογης.

Θεωρω λοιπον ως μη ειδικος οτι ειναι "λαθος" με την εξης εννοια.

Τα μαθηματικα οφειλουν ως γνωστον να βρισκουν "ανταποκριση" στη φυση ή γενικοτερα στην πραγματικοτητα...

Και ισως αυτο σχετιζεται με το Θεωρημα Της Πληροτητας περι του Ισομορφισμου ( δικος μου ορος που σημαινει αντιστοιχιση εκφραστικη ) μιας συνεπους θεωριας σε ενα αλλο χωρο με αποτελεσμα την "παραγωγη" ενος μοντελου, οπως αναφερεις.

Αν θεωρησουμε λοιπον τα εξης συνολα:

    το συνολο των ψαριων

    το συνολο των φρουτων

    το συνολο των πλανητων του ηλιακου μας συστηματος

    το συνολο των κατοικων της χωρας μας
τοτε συμφωνα με το Αξιωμα Της Επιλογης μπορω να παρω ενα γαυρο, ενα λεμονι, τον Ερμη και σενα και να ορισω ενα συνολο.

Τι κοινο ομως υπαρχει στα τεσσερα αυτα στοιχεια απο ξενα μεταξυ τους συνολα, ωστε να μπορουν να αποτελουν με τη σειρα τους ενα νεο συνολο;

Δηλαδη εκτος απο την αναγραφη των στοιχειων του συνολου αυτου, δεν ειναι αναγκαιο να υπαρχει και περιγραφικος τροπος παρουσιασης των στοιχειων του νεου συνολου, οπως αυτος που φαινεται στα τεσσερα αρχικα συνολα που δινω παραπανω;

Με την εννοια αυτη, και αν το παραπανω παραδειγμα μου ειναι ατυχες..., ειναι βεβαιο οτι σε καθε περιπτωση συνολου μη κενων και ξενων μεταξυ τους συνολων μπορει να δημιουργηθει συνολο με περιγραψιμα στοιχεια;

Ελπιζω να μη σε "ξενερωνω", αλλά μια και δεν βλεπω "κινηση", ειπα να βαλω ενα χερακι με ενα μη "ειδικου" ερωτημα :wink:

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2007, 01:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 374
Παράθεση:
Τι κοινο ομως υπαρχει στα τεσσερα αυτα στοιχεια απο ξενα μεταξυ τους συνολα, ωστε να μπορουν να αποτελουν με τη σειρα τους ενα νεο συνολο;

Το ίδιο παράδειγμα μπορείς να το εφαρμόσεις και στο αξίωμα του ζεύγους καθώς και σε αυτό της ένωσης.
Αξίωμα του ζεύγους: Για κάθε δύο σύνολα υπάρχει σύνολο που περιέχει ως στοιχεία του αυτά τα δύο σύνολα και μόνο αυτά.
Αξίωμα της ένωσης: Για κάθε σύνολο x υπάρχει ένα σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία των στοιχείων του x.

Εφαρμόζοντας αυτά τα 2 αξιώματα παίρνεις το ακόλουθο θεώρημα:
Για κάθε σύνολα x, y υπάρχει το σύνολο x \cup y.
Εφαρμόζοντας αυτό το θεώρημα σε δύο από τα σύνολα που ανέφερες, έχεις πάλι ένα σύνολο με ανόμοια αντικείμενα.

Προφανώς η ένστασή σου για το αξίωμα της επιλογής αφορά στο γεγονός ότι η συνάρτηση επιλογής δεν είναι ορισμένη με έναν αυστηρό τρόπο, και όχι στο ότι πιθανόν να επιλέγει ανόμοια πράγματα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2007, 12:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
1/2rizax έγραψε:
Προφανώς η ένστασή σου για το αξίωμα της επιλογής αφορά στο γεγονός ότι η συνάρτηση επιλογής δεν είναι ορισμένη με έναν αυστηρό τρόπο, και όχι στο ότι πιθανόν να επιλέγει ανόμοια πράγματα.

Απο μαθηματικη αποψη μαλλον εχεις δικιο στη διατυπωση.
Κατι που για μενα ηταν δυσκολο να πραξω με αυτη τη συγκεκριμενη ορολογια. :)

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2007, 23:22 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Μού φαίνεται, ότι έτσι δέν μπορεί να γίνει συζήτηση. Ο φίλος Khelben δείχνει να έχει εμβαθύνει στό θέμα, ο τρόπος του όμως δέν καρποφορεί, δέν μάς μεταδίδει κάτι από τήν γνώση του.
Μπορεί ο ίδιος να ξέρει, τί λέει, εγώ όμως π.χ. δέν μπορώ να ακολουθήσω....Ποιός είναι ο Heinkin π.χ. και γιατί είναι η απόδειξή του τόσο σημαντική; Γνωρίζω, ότι είμαστε σέ forum και όχι σε επιστημονικό συνέδριο, αυτό όμως δέν μπορεί να είναι άλλοθι, νά μή δίνουμε εξηγήσεις. Σκοπός μου δέν είναι βέβαια να αρχίσω τα παράπονα, αλλά να βοηθήσω να γίνει συζήτηση...
Επειδή όλα αυτά τά θέματα είναι κατά κάποιον τρόπο αλυσιδωτά, προτείνω λοιπόν νά αρχίσουμε από τό Αξίωμα τής επιλογής και να φτάσουμε βαθμηδόν και στά υπόλοιπα.

Γιά τό Αξίωμα τής επιλογής ακούμε π.χ. ότι ούτε αποδεικνύεται αλλά και ούτε καταρρίπτεται. Αυτό μοιάζει μέ τό «άν θέλετε ισχύει» «άν θέλετε δέν ισχύει» Τελικά εσείς τί λέτε; Έχουμε λόγους να τό απαρνηθούμε; Ή λόγους να τό ενστερνηθούμε;

Είναι δήλαδή θέμα προσωπικής επιλογής, άν θά αποδεχθούμε τό αξίωμα τής επιλογής;

Ο Κος Σκαπανέας, έδωσε ήδη ένα απλό παράδειγμα.

«Τό Αξίωμα τής επιλογής μάς λέει λοιπόν, ότι σέ κάθε μή κενό σύνολο από μή κενά σύνολα, υπάρχει μία συνάρτηση επιλογής».

Αυτό ακούγεται, άν μή τί άλλο, εύλογο. Ερωτώ λοιπόν, μπορούμε να φανταστούμε (ως άνθρωποι) σύνολα, που να μήν έχουν, ούτε μία συνάρτηση επιλογής; Τί άλλου είδους νομοτέλεια, θά μπορούσε να υπεισέλθει στή θέση του;
Άν υποθέσουμε δηλαδή, ότι πρόκειται περί Αρχής, τής Αρχής τής επιλογής, ερωτώ:

Μπορώ νά δεχτώ κατά βούληση τήν Αρχή αυτή ώς αξίωμα; ή τήν άρνησή της ώς αξίωμα; Τί λέτε;
Είναι όπως τό πέμπτο αξίωμα τής παραλληλίας; Τό δέχομαι, είμαι σέ ευκλείδειο χώρο, δέν τό δέχομαι είμαι σέ ελλεπτικό ή παραβολικό.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2007, 11:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Μα ακομα κι αν το θεωρημα πληροτητας αποδειχθηκε χωρις χρηση του αξιωματος της επιλογης, δηλαδη εχουμε ZF \vdash CT, απο αυτο επεται τετριμμενα οτι ZF \vdash \left( AC \Longrightarrow CT \right) οποτε παλι ισχυει. Ειτε χρησιμοποιηθηκε το αξιωμα της επιλογης στην αποδειξη ειτε οχι, ισχυει παντα οτι το θεωρημα της πληροτητας ειναι συνεπεια του αξιωματος της επιλογης μεσα στη θεωρια ZF.

Προς skapanea : (Εννοια σου, χρειαζεται πολλη δουλεια για να με ξενερωσεις!) Πραγματι, το αξιωμα της επιλογης μας λεει απλως οτι υπαρχει μια συναρτηση επιλογης. Οχι μονο δε μας λεει πως να την κατασκευασουμε, δε μας εγγυαται καν οτι θα ειναι κατασκευασιμη.

Οσον αφορα στα πεπερασμενα συνολα, δε χρειαζεται το αξιωμα : Η υπαρξη της συναρτησης επιλογης επεται απο την υπολοιπη συνολοθεωρια. Ξεχωριστο αξιωμα χρειαζεται μονο για τα απειρα συνολα. Εχει συμπεριληφθει στη συνολοθεωρια επειδη ακουγεται 'λογικο' να ισχυει για ολα τα συνολα.

Παρ'ολο το 'προφανες' του αξιωματος της επιλογης, οδηγει ενιοτε σε παραξενα συμπερασματα (δες, π.χ. το παραδοξο Banach-Tarski το οποιο συζητηθηκε σ'αυτο το forum προ ολιγου). Εξ ου και το κειμενακι της υπογραφης μου, το οποιο ειναι μεν χιουμοριστικο, δινει ομως τροφη για σκεψη δεδομενου οτι οι τρεις προτασεις στις οποιες αναφερεται ειναι ολες ισοδυναμες στην κλασικη συνολοθεωρια...

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2007, 13:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Ακριβώς, αυτό είναι τό θέμα. Αυτό που λέει ο Dement είναι κατ’εμέ και η ουσία τού θέματος:

«Είτε χρησιμοποιήθηκε τό αξίωμα τής επιλογής στήν απόδειξη είτε όχι, ισχύει πάντα, ότι τό θεώρημα τής πληρότητας είναι συνέπεια τού αξιώματος τής επιλογής μέσα στή θεωρία ZF»

Στά πεπερασμένα σύνολα, ανεξάρτητα που ακούγεται «λογικό», αποδεικνύεται κιόλας (προσωπικά αδυνατώ να φανταστώ σύνολο, όπου δέν θα ίσχυε), ότι υπάρχει πάντα μία συνάρτηση επιλογής. (υπάρχουν πολλές μάλιστα):

Εάν S1 μή κενό σύνολο, τότε υπάρχει ένα χ στό S1 και επομένως μία συνάρτηση επιλογής επί τού {S1}, η f(S1)=χ. Δεδομένης μίας συνάρτησης επιλογής fn επί τού {S1,..., Sn}, τότε περιέχει η Sn+1#Φ (μή κενό), ένα στοιχείο χ καί η:

fn+1(Sk) := {fn(Sk) άν k<=n καί

fn+1(Sk) := {χ άν k=n+1

είναι μία συνάρτηση επιλογής επί τού {S1,..., Sn+1}.

Ενώ, λοιπόν τά παραδείγματα τείνουν να πιστοποιούν τήν «γενική Υπόθεση» υπάρχουν και αντιρρήσεις.
Από μία συνάρτηση επιλογής γιά τή Pot(R) \ {Φ} μπορεί να κατασκευαστεί μία «καλή διάταξη» επί τού R. Τό πρόβλημα είναι, ότι κανείς δέν μπορεί να τήν παρουσιάσει. Ο Lebesgue έλεγε: «Τήν ύπαρξη ορισμένων αντικειμένων μπορούμε να τήν ισχυριστούμε, εάν είμαστε σε θέση να τά επιδείξουμε»

Όσον αφορά τό παράδοξο τών Banach-Tarsky, όπως είπαμε και αλλού, η διάσπαση τών σφαιρών είναι αδύνατος, εάν τά μέρη είναι μετρήσιμα. Οπότε δέν υπάρχει ουσιαστικό πρόβλημα. Στό σημείο βέβαια αυτό, οι επικριτές τού αξιώματος τής επιλογής προσάπτουν, τό:
«Η σαφής παρουσίασις ενός μή μετρήσιμου συνόλου καθιστά εύλογη τήν ύπαρξή τους και όχι η απλή αναφορά τους»

Άρα, πρέπει να δούμε, τί είδους σύνολα μπορούμε, εν γένει, να παρουσιάσουμε.

Όταν παρουσιάζουμε ή ορίζουμε κάτι, τότε δηλώνουμε μία Α(χ) μέ έναν άγνωστο, τέτοιας μορφής, ώστε η Α(χ ) να καθίσταται αληθής γιά ένα καί μόνο ένα χ. Όταν εισάγουμε μία φορμαλιστική γλώσσα (μέσω τής οποίας θά εκφράζονται τά πάντα), τότε δέν έχουμε και πολλές επιλογές. Χρησιμοποιούμε τά γνωστά σύμβολα τής Λογικής, όπως «γιά κάθε», «υπάρχει τουλάχιστον ένα» κτλ. επίσης αριθμήσιμα πολλά ονόματα γιά μεταβλητές, σύνολα αριθμών, σύνολα συνόλων κτλ. κτλ. Ως πρός τους «γραμματικούς κανόνες» (ποιές αλυσίδες συμβόλων αποτελούν προτάσεις και ποιές όχι) δέν υπεισέρχεται θέμα συζητήσεως, είναι σαφές.
Σημαντικό είναι να συνειδητοποιήσουμε, ότι υπάρχουν πολλά σύμβολα, αλλά πάντα πεπερασμένα και επομένως πολλοί ορισμοί, αλλά πάντα πεπερασμένοι. Αυτό υπονοεί, ότι μόνο «λίγοι» πραγματικοί αριθμοί μπορούν να οριστούν (σύνολα πραγματικών αριθμών, σχέσεις διάταξης επί τού R κτλ).
Σαφώς και υπάρχουν επομένως και σύνολα που δέν ορίζονται. Άν είναι δηλαδή όλα τά υποσύνολα τού R, που μπορούμε να ορίσουμε, μετρήσιμα, τότε αυτό δέν αποτελεί και επιχείρημα, ότι όλα τά υποσύνολα τού R είναι και μετρήσιμα.
Νομίζω, ότι μία πρόταση που αφορά ύπαρξη, δέν δίνει αυτόματα και τό δικαίωμα να απαιτήσει κανείς και παράδειγμα. Θά έλεγα, ότι είναι περισσότερο προτροπή πρός κατασκευή.
Σάν παράδειγμα δίδω τήν ύπαρξη μή ορισμένων πραγματικών αριθμών. Υπάρχει εδώ ένα λεπτό σημείο νομίζω:
Μέ τήν διαγώνιο μέθοδο απαρίθμησης τών πραγματικών αριθμών, τού Cantor, θά μπορούσαμε να πιστέψουμε π.χ. ότι είμαστε σε θέση να κατασκεύασουμε έναν μή ορίσιμο αριθμό, νά τόν «ορίσουμε» μάλιστα, κάτι που ακούγεται παράδοξο.
Στήν πραγματικότητα όμως, δέν μπορούμε να εκφράσουμε με τήν γλώσσα περιγραφής που χρησιμοποιούμε, τί είδους ψηφιακή αλυσίδα (κωδικοποιημένη με αριθμούς π.χ.) θά είναι αυτή, που θα καλείται «Ορισμός»
Δέν είναι δηλαδή εκφράσιμο, τό τί θά πεί, «μία αλυσίδα συμβόλων» είναι μία αληθής δήλωση (στό R)
Άς τό δούμε λίγο διαφορετικά. Άν αφαιρέσουμε από τήν «περιγραφική γλώσσα» τήν έννοια «πραγματικοί», τότε μπορούμε ακόμη και τότε να εκφράσουμε τίς γνωστές μας μαθηματικές προτάσεις, δίδοντας με σαφήνεια τίς τρέχουσες προϋποθέσεις.Π.χ. «Έστω τό R ένα πλήρες αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα, τότε....» ή «Από τά αξιώματα τού Peano συνεπάγεται...» Από αυτές τίς προτάσεις, δέν μπορεί δηλαδή κανείς να απαιτήσει απάντηση στό ερώτημα: Είναι αληθείς ή ψευδείς; Διότι αυτό εξερτάται από τήν ερμηνεία που δίδουμε στά σύμβολα. Μερικές προτάσεις είναι αληθείς γιά κάθε ερμηνεία, άλλες αποτελούν ταυτολογίες τής λογικής ανωτέρας τάξεως.
Άς πάρουμε π.χ. τό σύμβολο «Pot» και τό αποδυναμώσουμε, ώστε να μήν ερμηνεύεται πλέον ως «δυναμοσύνολο» (αφήνουμε όμως τά άλλα σύμβολα με τήν ίδια ερμηνευτική ισχύ), τότε ορισμένες Ταυτολογίες χάνουν τό status τους, άλλες όμως τό διατηρούν: οι «Ταυτολογίες τής Λογικής πρώτης τάξεως»
Αυτό είναι ενδιαφέρον, διότι υπάρχει ένας αλγόριθμος, ο οποίος από μία Πρόταση Α και μία πεπερασμένη ακολουθία προτάσεων ( Βn ), μάς δίδει πάντα και σέ πεπερασμένο χρόνο απάντηση στό ερώτημα : «Είναι η ( Βn ) «απόδειξη» τής Α;» Τό ίδιο συμβαίνει μάλιστα γιά τίς ταυτολογίες τής Λογικής πρώτης τάξεως. Γιά τήν Λογική ανωτέρας τάξεως δέν υπάρχει τέτοιος αλγόριθμος. Αυτά, κατά Goedel, όπως γνωρίζετε.

Από τήν άλλη πλευρά οι «ερμηνείες ανωτέρας τάξεως» κατά τίς οποίες τά αξιώματα τού Peano (που μιλάνε γιά ένα άγνωστο σύνολο Ν καί μία άγνωστη απεικόνιση τού επόμενου στοιχείου) είναι αληθή, είναι ισόμορφες, κάτι που μάς δίδει τό δικαίωμα να μιλάμε γιά τό σύνολο Ν.
Παρομοίως όλες οι ερμηνείες ανωτέρας τάξεως, τών «πλήρων αρχιμηδείων διατεταγμένων σωμάτων» είναι ισόμορφες.

Αυτό δέν ισχύει όμως γιά τήν Λογική πρώτης τάξεως, όπου ακόμη και άν γιά κάθε φυσικό αριθμό ορίζουμε και ένα ξεχωριστό σύμβολο, γιά κάθε σύνολο συνόλων επίσης ένα κτλ.κτλ. ή ακόμη και άν θεωρήσουμε ΟΛΕΣ τίς αληθείς προτάσεις, ως αξιώματα, ακόμη και τότε λοιπόν δέν είναι όλες οι ερμηνείες ισόμορφες. Δέν είναι αλληλένδετες, δέν μπορούμε δηλαδή «πατώντας» στήν μία να φτάσουμε στήν άλλη. Αυτό τό απέδειξαν ο Loewenheim , αργότερα ο Skolem και ακόμη αργότερα ο Maltsev.

Επιστρέφουμε τώρα στό αξίωμα τής επιλογής.
Η χρήση τών αξιωμάτων είναι βέβαια εκείνη που θά προκαθορίσει τίς ερμηνείες ανωτέρας τάξεως (αλήθεια ή όχι), καθώς και τήν αποδεικτική μέθοδο, τήν οποία θά ακολουθήσουμε. Κατ’αυτόν τόν τρόπο έχουμε και έναν συνεχή συστηματικό έλεγχο τής απόδειξής μας. Μόνο που μ’αυτόν τόν τρόπο, δέν μπορούμε να εξάγουμε ΟΛΕΣ τίς αλήθειες. Είμαστε επομένως αναγκασμένοι να προσθέτουμε νέες προτάσεις ή νέα αξιώματα, παρ’ότι από τήν πλευρά τής Λογικής ανωτέρας τάξεως δέν είναι αναγκαίο.

Έ, στό αξίωμα τής επιλογής περί αυτού ακριβώς πρόκειται. Δέν μπορούμε να τό εξάγουμε με στοιχειώδη τρόπο από τά υπόλοιπα αξιώματα, τά οποία προκαθορίζουν ήδη μονοσήμαντα τά μοντέλλα τους ανωτέρας τάξεως, όπως έδειξε ο Cohen τήν δεκαετία τού 60.

Άρα τό αξίωμα τής επιλογής είναι κατά άλλον τρόπο «αληθές ή ψευδές» απ’ότι τό πέμπτο ευκλείδειο αξίωμα π.χ.
Όποιος επομένως «αυθαίρετα» επιλέγει, να χρησιμοποιείι τό ίδιο ή τήν άρνησή του ως αξίωμα, κινδυνεύει να βρεθεί στήν άσχημη κατάσταση, αντί να μιλάει γιά Συνολοθεωρία, νά μιλάει γιά μή standard μοντέλλο κατά Skolem-έννοια.
Δέν είναι τυχαίο, που όσοι τό χρησιμοποιούν , τό δηλώνουν πάντα με σαφή τρόπο. Καί δέν είναι τυχαίο, που αυτή η «Αρχή τής επιλογής» εμφανίζεται πάντα ως αξίωμα. Κακώς πάντως επικρατεί η γνώμη, ότι κάτι πάει «στραβά» με αυτό....

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2007, 20:04 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Συνέπειες του Αξιώματος Επιλογής θεωρούμε προτάσεις που δεν αποδεικνύονται χωρίς την χρήση του...Δεν καταλαβαίνω πόσο πιο σαφές μπορεί να γίνει αυτό.Και αφού με τα μαθηματικά δεν βγάζουμε άκρη θα απαντήσω και εγώ με φιλοσοφία...

ZFC\vdash όλα τα μαθηματικά,άρα όλα τα μαθηματικά είναι συνέπειες του AC...Ελπίζω να έγινα σαφής...

Επίσης το σημαντικό ήταν το Zorn's Lemma όχι ο Heinkin απλά έτυχε να ξέρω ποιος έκανε την απόδειξη...

Και η πρωτοβάθμια λογική είναι αναποκρίσιμη...Δηλαδή δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει αν μια πρόταση αποδεικνύεται με άλλα λόγια το σύνολο \{\phi| \vdash \phi\} είναι απλά αναδρομικά απαριθμητό και όχι αναδρομικο...

Και το ότι μπορούμε να αποφασίσουμε ότι κάτι είναι απόδειξη δεν είναι συνέπεια του ότι ορισμένες ταυτολογίες διατηρούν το "status" τους.Αυτό συμβαίνει γιατί απαιτούμε σε κάθε αποδεικτικό σύστημα να ισχύει η αποκρισιμότητα για αποδείξεις.Αλλίως δεν θα είχε νόημα ένα αποδεικτικό σύστημα που δεν μπορούμε να αποφασίσουμε πότε κάτι είναι απόδειξη...

Ακόμα δεν έχω πολυκαταλάβει την κουβέντα σχετικά με την ορισιμότητα κτλ .Τα πράγματα είναι πολύ απλά και σαφή...γνωρίζουμε πότε κάτι είναι ορίσιμο σε μια δομή και πότε κάτι είναι εκφράσιμο σε μία θεωρία...Μπορούμε να ορίσουμε τους πραγματικούς χωρίς να ορίσουμε τον καθένα ξεχωριστά δεν χρειαζόμαστε άπειρους ορισμούς...

Και ερμηνείες ανώτερης τάξης δηλαδή μοντέλα των αξιωμάτων Peano είναι ισόμορφα???Υπάρχει κάποια απόδειξη πάνω σε αυτό???Τα αξιώματα Peano είναι σαφώς ορισμένα σε πρωτοβάθμια λογική ούτε μιλάνε για κάποιο Ν ούτε για απεικονίσεις επομένου ,οι φυσικοί μαζί με την απεικόνιση του επομένου εικάζεται ότι είναι ένα μοντέλο τους...

Ακόμα "αν από την αριθμητική Peano μπορούμε να συμπεράνουμε το Α" τότε το Α είναι αλήθεια σε οποιοδήποτε μοντέλο της αριθμητικής Peano και βασικά εκεί μας ενδιαφέρει να είναι...

Με όλα αυτά θέλω να κάνω φανερό ότι υπάρχουν κάποια πράγματα που όσο και να τα έχουμε κάνει "κτήμα" μας δεν μπορούμε να τα απλοποιήσουμε τόσο ώστε να δώσουμε σε κάποιον που δεν είναι μυημένος ,τουλάχιστον στα στοιχειώδη,να καταλάβει...Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να γράφουμε ασάφειες να πλατειάζουμε και γενικά να γράφουμε πράγματα που μπορούν να ερμηνευτούν με πολλούς τρόπους και να δημιουργούνται παρεξηγήσεις..ελπίζω οι παραπάνω παρατηρήσεις να είναι αποτέλεσμα παρεξήγησης...

Όσον αφορά στο AC (αν και δεν ήταν αυτό το θέμα) για μένα ισχύει αυτό που έχει αποδειχθεί δηλαδή είτε πάρουμε αυτό είτε την άρνηση του έχουμε μία συνεπή θεωρία αυτό μου φτάνει και ως εκεί μπορώ να καταλάβω...

Τέλος το αξίωμα επιλογής είναι ισοδύναμο με το Θεώρημα Πληρότητας...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Δεκ 2007, 15:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Khelben έγραψε:
Συνέπειες του Αξιώματος Επιλογής θεωρούμε προτάσεις που δεν αποδεικνύονται χωρίς την χρήση του...Δεν καταλαβαίνω πόσο πιο σαφές μπορεί να γίνει αυτό.Και αφού με τα μαθηματικά δεν βγάζουμε άκρη θα απαντήσω και εγώ με φιλοσοφία...

ZFC\vdash όλα τα μαθηματικά,άρα όλα τα μαθηματικά είναι συνέπειες του AC...Ελπίζω να έγινα σαφής...


Πραγματι, ετσι ειναι σχεδον αλλα δεν το διατυπωσες σωστα. Δεν ειναι ολα τα μαθηματικα 'συνεπειες του AC'. Ολα τα μαθηματικα ειναι 'συνεπειες του AC μεσα στην ZF.'

Ξερουμε οτι, για οποιεσδηποτε προτασεις A, B η προταση A \Longrightarrow \left( B \Longrightarrow A \right) ειναι αξιωμα της πρωτοβαθμιας λογικης. Αν, κατα συνεπεια, ειμαστε σε θεση να αποδειξουμε την X χρησιμοποιωντας ZF, τοτε ειμαστε σε θεση να αποδειξουμε και την AC \Longrightarrow X και, κατα συνεπεια, η X ειναι, εξ ορισμου, συνεπεια του AC μεσα στην ZF.

Χρησιμοποιω παντα τον ορισμο T \vdash \left( A \Longrightarrow B \right) για να πω οτι το Β ειναι συνεπεια του Α μεσα στη θεωρια Τ, οπως τον εχω μαθει. Αν εσυ χρησιμοποιεις τον ορισμο T \vdash \left( A \Longrightarrow B \right) \wedge (T \nvdash B) καλως, απλως δεν ειναι αυτος που γνωριζω.

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Δεκ 2007, 22:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Φίλε Khelben, δέν σού έκανα παρατηρήσεις, λάθος τό εννόησες. Απλά ήθελα να δώ, πού «κρατιέσαι», να σέ «κόψω» λιγάκι που λέμε. Έβαλα μάλιστα στά όσα έγραψα και μία μικροπαγίδα (άκακη ωστόσο), ελπίζω, να μή μού θυμώσεις. Τά κίνητρά μου είναι πάντα καλοπροαίρετα.
Λοιπόν έχεις ένα ορθογραφικό λάθος και εκεί πιάστηκα, αλλά δέν επεκτάθηκες. Ο Heinkin που αναφέρεις, είναι ο γνωστός Leon Henkin και η απόδειξή του θεωρείται standard (Άν κοιτάξεις και τήν σελίδα τού Podniek πρέπει να τόν αναφέρει)

Επειδή, λοιπόν τόν ανέφερες, αισθάνομαι τήν ανάγκη να αναφερθώ λίγο σέ αυτή τή πολύ σημαντική του απόδειξη, που είναι γνωστή ως : Henkins Model Existence Theorem

Εισαγωγή
Οι αντίπαλοι τών φορμαλιστών είχαν πάντα τό εξής επιχείρημα:
«Η συνέπεια μιάς θεωρίας δέν εγγυάται, ότι η θεωρία έχει «νόημα». Μπορεί η θεωρία να είναι «συντακτικά» ορθή (συνεπής) και παρ’όλα αυτά να στερείται νοήματος»

Η απάντηση τού Henkin μέ τό «Model Existence Theorem»:
«Εάν μία φορμαλιστική θεωρία πρώτου βαθμού είναι συνεπής, τότε έχει ένα αριθμήσιμο μοντέλλο»

Αυτό μάς λέει δηλαδή, ότι η συνέπεια μιάς θεωρίας ΑΡΚΕΙ γιά νά θεωρήσουμε, ότι περιγράφει μία, (έστω και μόνο μαθηματική) πραγματικότητα.

Ως παράδειγμα μπορούμε να θεωρήσουμε τήν ευκλείδεια γεωμετρία, η οποία τότε είναι και και αυτή «άνευ νοήματος», αφού δέν περιγράφει τόν χώρο με 100% ορθές ιδιότητες. Αυτό όμως δέν μπορεί νά είναι πρόβλημα τού Ευκλείδη ή τής θεωρίας του. Άς χρησιμοποιήσουμε άλλη θεωρία!

Τό ίδιο θεώρημα, απέδειξε σχεδόν παράλληλα, και ο γερμανός Gisbert Hasenjaeger, (καθηγητής σήμερα στή Βόννη) που είχε σχετικά άλλη αντίληψη γιά τήν έννοια τού μοντέλλου και άσκησε μάλιστα επίσημα κριτική στή μέθοδο τού Henkin:

«Άν Τ είναι μία φορμαλιστική θεωρία και J μία ερμηνεία τής γλώσσας της, τότε η J καλείται (παραδοσιακά) μοντέλλο τής T, εάν καθιστά αληθή όλα τά αξιώματα τής Τ (και επομένως όλα τά θεωρήματα). Στούς παραδοσιακούς κλάδους τής επιστήμης οι θεωρίες χρησιμεύουν σά βάση, γιά να φτιαχτούν μοντέλλα φυσικών φαινομένων ή τεχνικών διατάξεων. Στή μαθηματική Λογική ωστόσο, μού φαίνεται, ότι οι ρόλλοι έχουν αναστραφεί.»

Αυτά τά ολίγα, φίλε Khelben, κατανοώ τό πρόβλημα που αναφέρεις εκεί με τους «μυημένους» και μπορώ να πώ συμφωνώ, γενικά, μαζί σου. Σύμφωνο με βρίσκει όμως και τό τελευταίο μήνυμα τού Dement, γιά λόγους που θα σού αναφέρω άλλη φορά...

Αποκαλυπτικός

ΥΓ
Είμαι σίγουρος, δέν είσαι τόσο άγριος όπως ο Arunsun


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2007, 01:28 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Μάλλον λάθος το εννόησες εσύ ,φίλε Αποκαλυπτικέ, οι παρατηρήσεις που γράφω (πάντα καλοπροαίρετα) αφορούν το προηγούμενο post σου.

Εντάξει όσον αφορά το Henkin απλά τον έγραψα όπως τον προφέρω δεν ήταν και τόσο τραγικό,τουλάχιστον όχι όσο το Banach- Tarsky :P

Ήθελες να με "κόψεις"? να δείς από που κρατιέμαι???Δηλαδή είσαι ο υπεράνω που μπορείς να καταλάβεις τις γνώσεις και από που κρατιέται κάποιος???

Αν είναι έτσι σε παρακαλώ αποκάλυψέ μας τα εξής:

Apokalyptikos έγραψε:
Άς πάρουμε π.χ. τό σύμβολο «Pot» και τό αποδυναμώσουμε, ώστε να μήν ερμηνεύεται πλέον ως «δυναμοσύνολο» (αφήνουμε όμως τά άλλα σύμβολα με τήν ίδια ερμηνευτική ισχύ), τότε ορισμένες Ταυτολογίες χάνουν τό status τους, άλλες όμως τό διατηρούν: οι «Ταυτολογίες τής Λογικής πρώτης τάξεως»
Αυτό είναι ενδιαφέρον, διότι υπάρχει ένας αλγόριθμος, ο οποίος από μία Πρόταση Α και μία πεπερασμένη ακολουθία προτάσεων ( Βn ), μάς δίδει πάντα και σέ πεπερασμένο χρόνο απάντηση στό ερώτημα : «Είναι η ( Βn ) «απόδειξη» τής Α;» Τό ίδιο συμβαίνει μάλιστα γιά τίς ταυτολογίες τής Λογικής πρώτης τάξεως. Γιά τήν Λογική ανωτέρας τάξεως δέν υπάρχει τέτοιος αλγόριθμος. Αυτά, κατά Goedel, όπως γνωρίζετε.

Όπως αναφέρω και στο προηγούμενο post μου αυτός ο αλγόριθμος υπάρχει γιατί απαιτούμε να υπάρχει όχι επειδή κάποιες ταυτολογίες διατηρούν το "status" τους.Δεν έχει νόημα ένα αποδεικτικό σύστημα αν δεν είναι αποκρίσιμο για αποδείξεις.

Επίσης για τις ταυτολογίες της πρωτοβάθμιας λογικής δεν υπάρχει κανένας αλγόριθμος όπως ξαναέγραψα.Το σύνολο \{\phi|\vdash\phi\} είναι απλά αναδρομικά απαριθμητό και όχι αναδρομικό...(αυτό το έδειξε ο Church όχι ο Godel)

Επιπλέον
Apokalyptikos έγραψε:
Από τήν άλλη πλευρά οι «ερμηνείες ανωτέρας τάξεως» κατά τίς οποίες τά αξιώματα τού Peano (που μιλάνε γιά ένα άγνωστο σύνολο Ν καί μία άγνωστη απεικόνιση τού επόμενου στοιχείου) είναι αληθή, είναι ισόμορφες, κάτι που μάς δίδει τό δικαίωμα να μιλάμε γιά τό σύνολο Ν.

Για τα non-standard μοντέλα της αριθμητικής Peano ισχύει:\mathcal{M}\ncong\mathcal{N}...

Ακόμα
Apokalyptikos έγραψε:
Αυτό δέν ισχύει όμως γιά τήν Λογική πρώτης τάξεως, όπου ακόμη και άν γιά κάθε φυσικό αριθμό ορίζουμε και ένα ξεχωριστό σύμβολο, γιά κάθε σύνολο συνόλων επίσης ένα κτλ.κτλ. ή ακόμη και άν θεωρήσουμε ΟΛΕΣ τίς αληθείς προτάσεις, ως αξιώματα, ακόμη και τότε λοιπόν δέν είναι όλες οι ερμηνείες ισόμορφες. Δέν είναι αλληλένδετες, δέν μπορούμε δηλαδή «πατώντας» στήν μία να φτάσουμε στήν άλλη. Αυτό τό απέδειξαν ο Loewenheim , αργότερα ο Skolem και ακόμη αργότερα ο Maltsev.


Η πρωτοβάθμια λογική έχει ακριβώς ένα μοντέλο...Κάθε πλήρης θεωρία έχει ακριβώς ένα μοντέλο και μάλιστα ισχύει και το αντίστροφο κάθε θεωρία που έχει ακριβώς ένα μοντέλο είναι πλήρης...

Τέλος στο ερώτημα που "καίει" και ανυπομονώ να ακούσω τους λογούς που συμφωνείς με τον dement....Ας μην παίζουμε με τις λέξεις,όπως πολύ σωστά αναφέρθηκε το AC είναι ένα αμφιλεγόμενο αξίωμα γι αυτό το λόγο όπως πολύ σωστά ανέφερε ο Apokalyptikos πολλοί αναφέρουν πότε το χρησιμοποιούν.Επομένως θέλουμε να είναι ξεκάθαρο πότε κάτι είναι συνέπεια του AC και πότε μπορούμε να "αποφύγουμε" την χρήση του AC...άρα όταν λέμε ότι κάτι είναι συνέπεια του AC εννούμε ότι δεν αποδεικνύεται χωρίς την χρήση του AC...αν δεν συμφωνήσουμε τουλάχιστον σε αυτό δεν έχει νόημα να συζητάμε...
Τέλος
dement έγραψε:
Πραγματι, ετσι ειναι σχεδον αλλα δεν το διατυπωσες σωστα. Δεν ειναι ολα τα μαθηματικα 'συνεπειες του AC'. Ολα τα μαθηματικα ειναι 'συνεπειες του AC μεσα στην ZF.'

Έξω από την ZF τι γίνεται???δεν ισχύει αυτό που λέω???Μην ξεχνάς ότι το αξίωμα που χρησιμοποίησες είναι αξίωμα της προτασιακής λογικής όχι της ZF...Για παράδειγμα έχουμε την εξής απόδειξη:
Αν AC τότε A...όπου A μία αποδεδειγμένη μαθηματική πρόταση(με ή χωρίς το AC)
Aυτή η απόδειξη πού είναι ??μέσα στην ZF ή έξω?Τελικά είναι όλες οι μαθηματικές προτάσεις συνέπειες του AC (μέσα ή έξω από την ZF) ή όχι???

Βασικά εκτός από την κεντρική διαφωνία μας θα ήθελα και την άποψη του dement (αν φυσικά θέλει και αυτός) πάνω στις απόψεις ,κυρίως τις quoted,του φίλου Apokaluptikou


Υ.Γ Ας με συγχωρέσει η Mystra...δεν θέλω να ξεφύγει το θέμα από την ουσία του που είναι το φανταστικό για μένα αποτέλεσμα ότι AC αν-ν Θεώρημα Πληρότητας αλλά ειπώθηκαν πράγματα που με θίξανε...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2007, 09:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Φίλε Khelben, τό πρόβλημα που έχει ο καθένας τό έχω και εγώ. Δέν είμαι «υπεράνω», απλά προσπαθώ να κρατηθώ στό πνεύμα τού εκάστοτε συνομιλητή (τό άν πετυχαίνει είναι άλλο θέμα). Είναι «νόμιμο» πιστεύω. Αναγνωρίζω, ότι έχεις εμβαθύνει στό θέμα και προσπάθησα να αποσπάσω περισσότερες πληροφορίες....τίποτε πάραπάνω...

Όσον αφορά τόν Tarsky, ο άνθρωπος είναι πολωνός και στά πολωνικά γράφεται απλά έτσι. Γιατί να ακολουθήσω τόν αμερικάνικο τρόπο γραφής; Δέν υπάρχουν τραγικά στοιχεία εδώ...

Άν υπάρξει χρόνος τό βράδυ θα σού απαντήσω επί τής ουσίας

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 27 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group