forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 25 Σεπ 2017, 10:00

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 27 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2007, 13:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Khelben έγραψε:

dement έγραψε:
Πραγματι, ετσι ειναι σχεδον αλλα δεν το διατυπωσες σωστα. Δεν ειναι ολα τα μαθηματικα 'συνεπειες του AC'. Ολα τα μαθηματικα ειναι 'συνεπειες του AC μεσα στην ZF.'

Έξω από την ZF τι γίνεται???δεν ισχύει αυτό που λέω???


Προφανως οχι. Αν παρουμε τη θεωρια (στη γλωσσα της ZF) μονο με, π.χ., extensionality (χωρις κενο συνολο, αδιατακτα ζευγη και τα λοιπα) θα εχουμε μια πολυ φτωχη θεωρια στην οποια δε θα μπορει να αποδειχθει πρακτικα τιποτα.

Ενα τετριμμενο επακολουθο του ορισμου που χρησιμοποιω (οπως τον εχω δει, π.χ. στο βιβλιο των Just και Weese) ειναι οτι, οποιαδηποτε δυο αξιωματα της ZF ειναι ισοδυναμα μεταξυ τους μεσα στην ZF με την ιδια εννοια που το αξιωμα της επιλογης ειναι ισοδυναμο με το λημμα του Zorn. Π.χ. το αξιωμα του κενου συνολου ειναι ισοδυναμο, μεσα στην ZF, με αυτο του δυναμοσυνολου.

Μια αλλη τετριμμενη συνεπεια ειναι οτι, για καθε προταση που αποδεικνυεται στην ZF, ολες οι προτασεις στη γλωσσα της ZF (αποδειξιμες, καταρριψιμες, οτιδηποτε) ειναι συνεπειες της αρνησης της.

Το θεμα ειναι οτι οι τετριμμενες περιπτωσεις δεν εχουν ενδιαφερον και δε συζητουνται καν. Αντιθετα, σε προτασεις ανεξαρτητες της ZF οπως το AC και το ZL, η ισοδυναμια αποτελει αξιοσημειωτο αποτελεσμα.

Παράθεση:

Μην ξεχνάς ότι το αξίωμα που χρησιμοποίησες είναι αξίωμα της προτασιακής λογικής όχι της ZF...Για παράδειγμα έχουμε την εξής απόδειξη:
Αν AC τότε A...όπου A μία αποδεδειγμένη μαθηματική πρόταση(με ή χωρίς το AC)
Aυτή η απόδειξη πού είναι ??μέσα στην ZF ή έξω?


Συμφωνα με οσο ξερω, μεσα. Σε μια πρωτοβαθμια θεωρια, τα αξιωματα της πρωτοβαθμιας λογικης θεωρουνται δεδομενα. Αλλιως πως θα μπορουσαμε να πουμε π.χ. (οπως το λεμε) οτι, σε μια ασυνεπη θεωρια, καθε προταση αποδεικνυεται; Αυτο δεν ειναι συνεπεια του αξιωματος \left( \neg A \right)  \Longrightarrow \left( A \Longrightarrow B \right) της πρωτοβαθμιας λογικης;

Παράθεση:
Τελικά είναι όλες οι μαθηματικές προτάσεις συνέπειες του AC (μέσα ή έξω από την ZF) ή όχι???


Μεσα στην ZF, ναι. Εξω απο την ZF, οχι απαραιτητα. Εξαρταται απο τη θεωρια.

Θα προσπαθησω να τοποθετηθω και ως προς τις θεσεις του Αποκαλυπτικου, αν και οι πιο 'φιλοσοφικες' πτυχες του θεματος δεν ειναι το φορτε μου... Υπομονη...

Παράθεση:
Υ.Γ Ας με συγχωρέσει η Mystra...δεν θέλω να ξεφύγει το θέμα από την ουσία του που είναι το φανταστικό για μένα αποτέλεσμα ότι AC αν-ν Θεώρημα Πληρότητας αλλά ειπώθηκαν πράγματα που με θίξανε...


Κι εμενα μου φαινεται φανταστικο ως αποτελεσμα. Ποτε αποδειχθηκε;

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2007, 13:40 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Έξω από την ZF εννοώ στα μεταμαθηματικά και όχι έξω από την ZF και μέσα σε οποιαδήποτε άλλη μαθηματική θεωρία...Με άλλα λόγια όπως και σε κάθε post μου εννοώ αυτά που γράφω και απο την αρχή έγραψα ότι AC\Leftrightarrow Θεώρημα Πληρότητας...

Με άλλα λόγια για να συννενοηθούμε εννοείς ότι έπρεπε να γράψω ότι το Θεώρημα Πληρότητας είναι μη-τετριμμένη συνέπεια του AC???

Επίσης και εγώ διευκρινίζω αυτό που επισημαίνεις δηλαδή οποιοδήποτε προτασιακό αξίωμα ισχύει σε οποιαδήποτε θεωρία γι'αυτο και στο παράδειγμα που σου παραθέτω το χρησιμοποιώ στα μεταμαθηματικά...

@Apokalyptikos:Έχεις δίκιο για τον Tarsky,αναγνωρίζω ότι έχεις εμβαθύνει στα Πολωνικά :P

Επίσης δυσκολεύτηκα αρκετά να καταλάβω ότι εννοείς τον Malcev,χωρίς να είμαι ειδικός στα Ρώσσικα νομίζω ότι μία καλύτερη μετάφρασή του σε λατινικούς χαρακτήρες είναι Mal'tsev...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2007, 19:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Τα μεταμαθηματικα δεν ειναι παρα κωδικοποιηση των μαθηματικων μεσα στην ZFC, απο την οποια δεν ξεφευγουμε. Και το AC και το θεωρημα πληροτητας σε τελικη αναλυση δεν ειναι παρα προτασεις στη γλωσσα της ZFC.

Οπως λες, για να 'συνεννοηθουμε', δεν ειχες παρα να γραψεις οτι 'το θεωρημα πληροτητας ειναι ανεξαρτητο απο την ZF'. Προφανως (αλλα οχι τετριμμενα) και ειναι συνεπεια της ZFC, οποτε και συνεπεια του AC μεσα στην ZF, αλλιως δε θα ηταν γνωστο θεωρημα (οπωσδηποτε η αποδειξη του καθε αλλο παρα προφανης ειναι). Και, για να ολοκληρωθει η ισοδυναμια, οτι το AC ειναι συνεπεια του θεωρηματος πληροτητας. (Στην ZF, γιατι στη ZFC ισχυει τετριμμενα).

Εν παση περιπτωσει, οπως το βλεπω, ολη η διαφωνια μας ειναι σε θεματα ορισμων οποτε ας μην το πολυζαλιζουμε...

Δε μου ειπες ακομα ποτε αποδειχθηκε η ισοδυναμια!

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Δεκ 2007, 11:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Επι της ουσιας : Εισαι σιγουρος για την αντιστροφη συνεπαγωγη, οτι δηλαδη το αξιωμα της επιλογης επεται απο το θεωρημα της πληροτητας στην ZF ;

Γιατι μολις διαβασα οτι το θεωρημα της πληροτητας ειναι ισοδυναμο με το ultrafilter lemma (οτι καθε γνησιο φιλτρο ειναι υποσυνολο ενος ultrafilter), απο το οποιο (απ' ο,τι διαβαζω, ετσι; ) δεν μπορει να αποδειχθει το αξιωμα της επιλογης.

Εχουμε, με αλλα λογια, ZF \vdash \left( CT \Longleftrightarrow UL \right) καθως επισης και ZF \nvdash \left( UL \Longrightarrow AC \right), οποτε πως γινεται να εχουμε ZF \vdash \left( CT \Longrightarrow AC \right) ; Εχω καταλαβει κατι λαθος;

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Δεκ 2007, 11:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Dement, άνοιξες τό κουτί τής Πανδώρας μού φαίνεται.
Ποιό βιβλίο διαβάζεις, άν επιτρέπεται, διότι απ’ότι γνωρίζω, τό λήμμα αυτό αποδεικνύεται ΜΟΝΟ με τό αξίωμα τής επιλογής!

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Δεκ 2007, 12:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Το αγαπημενο μου βιβλιο γι'αυτα τα θεματα ειναι των Winfried Just και Martin Weese, 'Discovering Modern Set Theory' το οποιο εκτος απο συνολοθεωρια πραγματευεται και λογικη.

Πραγματι, το Ultrafilter Lemma αποδεικνυεται σχετικα ευκολα με το λημμα του Zorn (οποτε και με το αξιωμα της επιλογης). Απ' ο,τι φαινεται, ομως, το αντιστροφο δεν ισχυει: το αξιωμα της επιλογης δε μπορει να αποδειχθει μονο με την ZF + UL. Αφου λοιπον το θεωρημα πληροτητας (και το θεωρημα συμπαγειας) ειναι ισοδυναμα με το ultrafilter lemma στην ZF, δε βλεπω πως θα μπορουσε το αξιωμα της επιλογης να αποδειχθει απο το θεωρημα πληροτητας.

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Δεκ 2007, 16:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Όταν μιλάμε στή Λογική γιά πληρότητα, τί εννούμε ακριβώς; και τό κυριώτερο τί ΔΕΝ εννοούμε;
Εννοούμε, ότι τό αξιωματικό σύστημα περιέχει αρκετά αξιώματα και κανόνες, που αρκούν γιά να αποδείξουμε ΟΛΕΣ τίς αληθείς προτάσεις. Ως πρός τά συμπεράσματα τώρα (δηλαδή κάθε φορά που γράφουμε τό σύμβολο «έπεται») μάς «βεβαιώνει» τό θεώρημα πληρότητας, ότι ΟΛΕΣ οι προτάσεις που ισχύουν σέ ΚΑΘΕ μοντέλλο μιάς θεωρίας, αποδεικνύονται μέ τά αξιώματα και τούς κανόνες τού αξιωματικού συστήματος τού ίδιου.
Από αυτό ΔΕΝ έπεται όμως αναγκαστικά, ότι όλες οι θεωρίες είναι πλήρεις. Θά έλεγα μάλιστα, ότι αυτό είναι «ευχής έργο», ώστε να μπορούμε πάντα νά «επιτρέπουμε» μοντέλλα, όσο γίνεται μάλιστα πιό πολλά, μέ (πολύ) διαφορετικά χαρακτηριστικά (όπως οι αλγεβρικές θεωρίες ομάδων, δακτυλίων ή σωμάτων).
Γιά να αποδείξουμε όμως τό θεώρημα τής πληρότητας (στή Λογική) χρειαζόμαστε τήν έννοια τής «πλήρους θεωρίας» και τήν δυνατότητα να μπορούμε μία οποιαδήποτε συνεπή θεωρία να τήν επεκτείνουμε σέ μία «μέγιστη» συνεπή θεωρία.

Αυτό μάς τό εγγυάται τό θεώρημα τού Lindenbaum:

«Έστω Τ μία συνεπής θεωρία τής αριθμήσιμης γλώσσας Γ. Τότε υπάρχει μία μεγίστη συνεπής επέκταση Τε τής Τ μέσα στήν ίδια τήν Γ»
Άν μελετήσουμε τήν απόδειξη, θά δούμε:

1.Η ύπαρξη μιάς «επι»πληρότητας (επέκταση τής πληρότητας) εξαρτάται από τό πώς επιλέγουμε τίς προτάσεις τής γλώσσας. Μία θεωρία (συνεπής αλλά και η ίδια μή πλήρης) έχει λοιπόν πολλές πάρα πολλές επεκτάσεις. (και καλά κάνει που έχει!)
2.Η Τ είναι συνεπής καί πλήρης «ακριβώς τότε όταν» C(T):={ σ | T |- σ} είναι μία μέγιστη συνεπής θεωρία.
3.Γιά να αποδειχτεί τό θεώρημα τού Lindenbaum γιά μία τυχαία γλώσσα, πρέπει επομένως να δειχθεί, ότι κάθε συνεπής θεωρία μπορεί να επεκταθεί σέ μία συνεπή θεωρία. Άρα χρειαζόμαστε (σέ υπεραριθμήσιμες γλώσσες τουλάχιστον) τό Αξίωμα τής επιλογής. (υπό μορφή λήμματος τού Zorn π.χ.)

Αυτά τά αναφέρω, γιατί από τήν άλγεβρα τού Lindenbaum περνάμε στήν άλγεβρα τού Bool και τά φίλτρα (έτσι τα πρωτοέμαθα εγώ τουλάχιστον), όπου οι έννοιες «φίλτρο» και «ultra-φίλτρο», είναι γιά μένα έννοιες δυϊκές μέ τίς έννοιες «ιδεώδες» και «prim-ιδεώδες» (άν ανταλλάξουμε τόν τελεστή ^ μέ τόν v).
Τό BPI (Bool primideal) εξάγεται κιαυτό από τό AC (μιάς και τό αναφέραμε)

Έστω τώρα Σ ένα σύνολο προτάσεων και σ μία πρόταση. Τότε ισχύει τό θεώρημα τής συμπάγειας:

1.T |= σ --> Υπάρχει ένα πεπερασμένο Το στό Τ μέ Tο |= σ
2.Άν έχει κάθε πεπερασμένο Σο στό Σ ένα μοντέλλο, τότε έχει και τό Σ ένα μοντέλλο.

Πραφανώς ισχύουν και τά αντίστροφα.

Από τό θεώρημα συμπάγειας εξάγεται, ότι η θεωρία στήν οποία ισχύουν τα Peano αξιώματα, (η Peano Αριθμητική δηλαδή), περιέχει καί non standard μοντέλλα, (δηλαδή μοντέλλα που περιέχουν και απείρως μεγάλους αριθμούς) και επομένως δέν είναι ισόμορφα με τά standard μοντέλλα. Αυτό τό λέω γιά τόν φίλο Khelben, που πρόβαλλε ενστάσεις, σ’αυτά που είπα τήν άλλη φορά.
Είναι όντως δύσκολο, στά θέματα αυτά, να εκφραστεί κανείς έτσι, που να μήν απομείνουν αμφιβολίες ή ασάφειες. Ειδικά εγώ που χρειάζομαι πάντα πολλές λέξεις, είμαι ιδιαίτερα ευάλωτος, όμως αυτό πρέπει να τό επεξηγήσω:

Παίρνουμε λοιπόν τά Peano αξιώματα δευτέρου βαθμού. Εδώ, έχουμε αυτόματα ένα πρόβλημα. Στή Λογική 2ου βαθμού (αντίθετα με τήν 1ου) δέν υπάρχει πλήρες αξιωματικό σύστημα (τουλάχιστον όχι, όσο απαιτούμε αποκρισιμότητα τών αξιωμάτων) και τά περισσότερα τών υπολοίπων αποτελεσμάτων ΔΕΝ μεταφέρονται στίς επεκτάσεις τής γλώσσας. (Ουσιαστικά θά έλεγα μάλιστα, ότι αυτό τό θεώρημα συμπάγειας είναι, που μάς οδηγεί στά non standard μοντέλλα)

Τό θέμα είναι, υπάρχει διέξοδος από τό αδιέξοδο ή όχι; Έ λοιπόν υπάρχει.

Τό Peano αξιωματικό σύστημα 2ου βαθμού μπορεί να «ερμηνευτεί» μέ μεθόδους τής συνολοθεωρίας και μπορούμε μέσα σ’αυτό τό πλαίσιο νά δείξουμε, ότι έχει ΑΚΡΙΒΩΣ ένα μοντέλλο, μέχρι ισομορφίας.
Δέν ξέρω άν αυτό είναι επαρκώς κατανοητό. Εννοώ δηλαδή, ότι η θεωρία αυτή είναι κατηγορηματική μέ τήν έννοια:
«Κάθε μοντέλλο τού PA² είναι ισόμορφο πρός τό standard μοντέλλο (Ν’, ,Ο)»

Από τήν άλλη πλευρά υπενθυμίζω, ότι η συνολοθεωρία αξιωματοποιείται στήν Λογική 1ου βαθμού, κατά τέτοιον τρόπο, που ΔΕΝ είναι κατηγορηματική (δέν περιέχει δηλαδή ισόμορφα μοντέλλα)

Ελπίζω νά λύθηκε η παρεξήγηση....

Κλείνοντας θά ήθελα ακόμη να πώ:

Τά υπόλοιπα είναι ισοδύναμα.
(1)Τό θεώρημα τής πληρότητας (γιά οιασδήποτε τυχαίες γλώσσες)
(2)Τό θεώρημα τού Lindenbaum (γιά οιασδήποτε τυχαίες γλώσσες)
(3)Τό θεώρημα συμπάγειας (γιά οιασδήποτε τυχαίες γλώσσες)
(4)Τό θεώρημα τού Bool γιά τά prim ιδεώδη
(5) Τό ανάλογο γιά τά φίλτρα, ultra-φίλτρα

Όλα αυτά έπονται τού AC (είναι ασθενέστερα αυτού) αλλά όχι αντιστρόφως.

Φίλε Khelben, γνωρίζω, ότι άν θές, μπορείς νά βρείς στά τόσα που έγραψα, άλλες τόσες ασάφειες. Όμως αυτό έχει να κάνει περισσότερο με τήν εκφραστική μου δύναμη και λιγώτερο μέ ότιδήποτε άλλο.
Θά σέ παρακαλούσα να δώσεις κάποια πηγή, γιαυτό που ισχυρίζεσαι. Στόν τομέα αυτό συμβαίνουν πολλά σέ καθημερινή σχεδόν βάση....


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Δεκ 2007, 20:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Φίλε Khelben, άφησα μία ακόμη ερώτηση ανοικτή.

Είπα τοίς προάλλες :
«
Άς πάρουμε π.χ. τό σύμβολο «Pot» και άς τό αποδυναμώσουμε, ώστε να μήν ερμηνεύεται πλέον ως «δυναμοσύνολο» (αφήνουμε όμως τά άλλα σύμβολα με τήν ίδια ερμηνευτική ισχύ), τότε ορισμένες Ταυτολογίες χάνουν τό status τους, άλλες όμως τό διατηρούν: οι «Ταυτολογίες τής Λογικής πρώτης τάξεως»
Αυτό είναι ενδιαφέρον, διότι υπάρχει ένας αλγόριθμος, ο οποίος από μία Πρόταση Α και μία πεπερασμένη ακολουθία προτάσεων ( Βn ), μάς δίδει πάντα και σέ πεπερασμένο χρόνο απάντηση στό ερώτημα : «Είναι η ( Βn ) «απόδειξη» τής Α;» Τό ίδιο συμβαίνει μάλιστα γιά τίς ταυτολογίες τής Λογικής πρώτης τάξεως. Γιά τήν Λογική ανωτέρας τάξεως δέν υπάρχει τέτοιος αλγόριθμος. Αυτά, κατά Goedel, όπως γνωρίζετε
.
»

Μού απαντάς:
«
Ο αλγόριθμος αυτός υπάρχει γιατί τό απαιτούμε να υπάρχει, όχι επειδή κάποιες ταυτολογίες διατηρούν τό status τους.»
Μετά μού λές επίσης:
«
Αυτό τό έδειξε ο Church όχι ο Goedel
»

Λοιπόν, άλλο εννοούσα μέ τό παράδειγμα τού δυναμοσυνόλου, άλλο κατάλαβες (ίσως και δικαίως, δέν μπορείς, να μπείς στό κεφάλι μου). Εκτός τούτου επιμένω ως πρός τόν Goedel. Έπρεπε ίσως να τό εκφράσω στό τέλος ως :
«Ο αλγόριθμος αυτός είναι σέ θέση να μάς πεί, άν δέχεται τήν απόδειξη ως απόδειξη»

(Αυτό τό θεωρώ σημαντικό, διότι δείχνει, ότι ο διπλά μή κατασκεύασιμος χαρακτήρας τού «λογικώς ισχύοντος τύπου» είναι εν μέρει κατασκεύασιμος)

Από αυτό εξάγεται, ότι σέ ΚΑΘΕ γλώσσα 1ου βαθμού τό σύνολο όλων τών ισχυόντων (λογικώς εννοείται) τύπων είναι αριθμήσιμο. Υπολογιστικά εννοείται. Άν έχουμε δηλαδή τήν γλώσσα Γ, μπορούμε να γράψουμε έναν αλγόριθμο (που θα δουλεύει επ’άπειρον) και που θα μάς εκτυπώνει όλους τούς λογικούς τύπους που ισχύουν.

Ο Church απέδειξε ΑΡΓΟΤΕΡΑ, ότι ορισμένες τουλάχιστον γλώσσες 1ου βαθμού, ΔΕΝ επιτρέπουν σ’έναν αλγόριθμο να αποφανθεί, εάν ο τύπος είναι λογικά ισχύων ή όχι.

Έχεις λοιπόν, άν μή τί άλλο, και εσύ τό δίκηο σου.

Άς ξεκαθαρίσουμε τώρα και τό πρώτο, μέ τό δυναμοσύνολο (Τί τό ήθελα τό ρημάδι τό παράδειγμα; Τήν διαφορά Λογικής 1ου και 2ου βαθμού ήθελα, απλά νά δείξω).
Γιά νά μήν μακρηγορήσω, θά τό αποδώσω υπό μορφήν υποθετικών ερωτήσεων, όπου θά απαντώ ο ίδιος.

Ερ.1 Είναι δυνατόν να έχουμε έναν φορμαλιστικό ορισμό τής Συνολοθεωρίας;
Απ.1 Ναί, παράδειγμα η ZFC. Μέ τόν τρόπο μάλιστα που παραθέτει τά αξιώματά της, ορίζει και τήν έννοια τού ίδιου τού συνόλου.

Ερ.2 Ποιά γλώσσα χρειαζόμαστε γιά να ορίσουμε τήν Συνολοθεωρία;
Απ.2 Η Συνολοθεωρία είναι γλώσσα 1ου βαθμού, άρα χρειαζόμαστε τήν Λογική 1ου βαθμού. Αυτή είναι σέ θέση λοιπόν, νά μάς «φτιάξει» μία γλώσσα, που θά αρκεί γιά όλες (σχεδόν) τίς ανάγκες μας.

Ερ.3 Πώς ορίζονται οι αριθμοί στήν γλώσσα τής Συνολοθεωρίας;
Απ.3
0:=Φ (κενό)
1:={Φ}
2:={Φ{Φ}}
...................
n+1:=n U {n}

Ερ.4 Αποτελεί η γλώσσα τής Συνολοθεωρίας ένα «γενικό» εργαλείο, στό οποίο μπορούμε να ανάγουμε τά Μαθηματικά ΠΛΗΡΩΣ;
Απ.4 Όχι. Αντιπαράδειγμα η CH (Υπόθεση τού συνεχούς). Δέν αποδεικνύεται ούτε αληθής, ούτε ψευδής.

Ερ.5 Στά μαθηματικά μπορούμε επομένως να μιλάμε μόνο γιά αριθμήσιμα σύνολα (ή και μόνο πεπερασμένα)
Απ.5 Όχι, στήν Συνολοθεωρία μπορούμε να μιλήσουμε γιά όλα τά είδη μαθηματικών συνόλων, αλλά εάν είναι αυτά άπειρα, ΔΕΝ μπορούμε να εκφράσουμε τά πάντα γιαυτά, μέσα στήν ZFC.
Διαφορετικά διατυπωμένο :«Κάθε πρόταση, που είναι αληθής γιαυτά τά σύνολα, δέν εξάγεται υποχρεωτικά από τήν ZFC»

Συμπεράσματα
Οι εκφραστικές ικανότητες τής Λογικής 1ου βαθμού, είναι περιορισμένες (CH π.χ). Πόσο περιορισμένες δηλαδή;
Γιά να βρούμε κριτήριο, ορίζουμε:
«Ένα σύνολο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΕΤΑΙ μέσω μιάς γλώσσας, εάν μπορεί να περιγραφεί ΠΛΗΡΩΣ μέσα σ’αυτή τή γλώσσα, από τά ίδια τά αξιώματα τής γλώσσας»
Έτσι φτάνουμε στό θεώρημα Loewenheim-Skolem (σέ απλοϊκή γλώσσα):
«Κάθε σύνολο, που μπορεί να χαρακτηριστεί στή Λογική 1ου βαθμού, είναι πεπερασμένο»

Μπορούμε δηλαδή να μιλάμε γιά φυσικούς και πραγματικούς αριθμούς στά πλαίσια τής Λογικής 1ου βαθμού, αλλά ΔΕΝ μπορούμε, στά ίδια πλαίσια, να χαρακτηρίσουμε αυτά τά σύνολα μέ τρόπο, που να ικανοποιεί ΠΛΗΡΩΣ τίς μαθηματικές μας απαιτήσεις.

Πώς τότε;
Έ, μέ τήν Λογική 2ου βαθμού. Αφού, τό 3ο και πιό σημαντικό αξίωμα τού Peano, αυτό τής επαγωγής, δέν τυποποιείται εύκολα. Η τυποποίησή του (φορμαλισμός) θά περιέχει πάντα μία κατηγορηματική μεταβλητή. Ο τύπος θά είναι επομένως, τύπος Λογικής 2ου βαθμού.
Τώρα μπορούμε νά χαρακτηρίσουμε και τούς πραγματικούς αριθμούς.

Λύθηκε επομένως τό πρόβλημα;
Εν μέρει μόνον. Διότι η Λογική 1ου βαθμού δέν μάς αρκεί, όπως είπαμε, και η Λογική 2ου βαθμού δέν είναι πλήρης! Άρα χρειαζόμαστε πρώτα απ’όλα μία «γέφυρα» ανάμεσα στίς 2 Λογικές. Αυτήν μάς τήν δίνουν οι προτάσεις τού Lindstroem:

(α) Γιά καμμία Λογική, που έχει περισσότερες εκφραστικές δυνατότητες από τήν Λογική 1ου βαθμού, δέν ισχύουν οι περιορισμοί, που μάς θέτει τό θεώρημα τών Loewenheim-Skolem.

(β) Ουδεμία Λογική, που έχει περισσότερες εκφραστικές δυνατότητες από τήν Λογική 1ου βαθμού, είναι πλήρης.

Ελπίζω τώρα νά έγινε κατανοητό, τί εννοούσα. Η έννοια Pot είναι στή Λογική 1ου βαθμού σάν «άψυχο σώμα». Ακόμη και άν τήν αποδυναμώσεις δέν αλλάζει τίποτε. Στήν Λογική 2ου βαθμού τά πράγματα διαφέρουν....

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Δεκ 2007, 22:31 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Βλέπω έχω 2-3 μέρες να μπώ και τα γεγονότα με πρόλαβαν...Λοιπόν για τα διαδικαστικά:
Khelben έγραψε:
Όπως αναφέρω και στο προηγούμενο post μου αυτός ο αλγόριθμος υπάρχει γιατί απαιτούμε να υπάρχει όχι επειδή κάποιες ταυτολογίες διατηρούν το "status" τους.Δεν έχει νόημα ένα αποδεικτικό σύστημα αν δεν είναι αποκρίσιμο για αποδείξεις.

Επίσης για τις ταυτολογίες της πρωτοβάθμιας λογικής δεν υπάρχει κανένας αλγόριθμος όπως ξαναέγραψα.Το σύνολο \{\phi|\vdash\phi\} είναι απλά αναδρομικά απαριθμητό και όχι αναδρομικό...(αυτό το έδειξε ο Church όχι ο Godel)


Το δεύτερο το απέδειξε ο Church το πρώτο το απαίτησε ο Godel...(Μάλλον με το απέδειξε εννοείς ότι το έκανε προφανές)...Επομένως συμφωνούμε σε αυτό...Ελπίζω να καταλαβαίνεις ότι σαν σλόγκαν "Υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει τις ταυτολογίες τις πρωτοβάθμιας λογικής" είναι λάθος...Έτσι όπως διατύπωσες το αποτέλεσμα του Church είναι σαν να λες ότι γενικά η πρωτοβάθμια λογική είναι αποκρίσιμη αλλά υπάρχουν και 2-3 εξαιρέσεις πρωτοβάθμιων γλωσσών (μάλλον ασήμαντες) που είναι αναποκρίσιμη...άρα καταλαβαίνεις την ένστασή μου...

Επίσης νομίζω ότι ξεδιάλυνες αρκετά το θέμα με την δευτεροβάθμια λογική(που είναι πολύ της μόδας) και τα αξιώματα Peano γιατί πραγματικά δν ήθελα να πιστέψω αυτό που έβλεπα...

Μένει ένα ερώτημα ακόμα "η πρωτοβάθμια λογική έχει μη-ισόμορφα μοντέλα",ξέρω ότι μπορείς να το ξεδιαλύνεις και αυτό,αν θες κάντο και δεν το λέω ειρωνικά...

Γενικά στο αφαιρετικό επίπεδο που κινείσαι μία ερώτηση έχει νόημα και φυσικά δεν είναι μαθηματική,για μένα είναι η εξής:"Γιατί να υπάρχει κάτι και όχι τίποτα?"

Τέλος αν θές δώσε μία απόδειξη του Lindenbaum για αριθμήσιμες γλώσσες για ύπεραριθμήσιμες είναι 4-5 γραμμές(αν θες χωρίς να το ερμηνεύεις φιλοσοφικά)...

Ακόμα βιάστικα να γράψω το αποτέλεσμα που είδα,που ήταν το εξής Strong Completeness \Leftrightarrow AC...ενθουσιασμένος νόμισα ότι με το strong completeness ο συγγραφέας εννοούσε την πληρότητα από την σκοπιά του Henkin(συνήθως έτσι γράφεται) αλλά προφανώς(λόγω των όσων γράφετε πιο πρίν) εννοούσε κάτι ισχυρότερο που το παραθέτω εδώ:

Κάθε συνεπής θεωρία είτε έχει πεπερασμένο μοντέλο είτε άπειρα μοντέλα κάθε διατακτικότητας...

Τί λέτε θα σας ξεγελούσα αν διατύπωνα με αυτό τον τρόπο το CT ή οχί???

Θα επανέλθω με την απόδειξη του απο πάνω (είναι περίπου 3-4 γραμμές) γιατί και αυτή ,αν και δεν είναι το διαμάντι που νόμιζα, είναι ενδιαφέρουσα...Αν και είναι κάπως προφανής...θα αφήσω κάποιο περιθώριο γιατί νομίζω μπορεί να την κάνει κάποιος χωρίς να την έχει διαβάσει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Δεκ 2007, 18:44 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
H απόδειξη είναι η εξής:
Έστω Σ=\{s,\exists^{\geq 2}\}, όπου η s έχει μοντέλο πληθικότητας α αν-ν a^2=a (η πρόταση είναι αρκετά πολύπλοκη και η πλήρης διατύπωσή της δεν προσφέρει τίποτα ουσιαστικό στην απόδειξη).Τότε επειδή \aleph_0^2=\aleph_0 η Σ έχει μοντέλο πληθικότητας \aleph_0 επομένως είναι συνεπής και λόγω της ισχυρής πληρότητας έχει μοντέλο για κάθε a\geq \aleph_0.Επομένως για κάθε πληθικό αριθμό α ,α^2=a,αυτό όμως είναι ισοδύναμο με το αξίωμα της επιλογής...

Σημειώσεις:
1.Στην ισχυρή πληρότητα όχι διατακτικότητα αλλά πληθικότητα...
2.Η πρόταση \exists^{\geq 2} είναι η "υπάρχουν τουλάχιστον 2 στοιχεία"

Επίσης για το Lindenbaum Lemma δεν μπορώ να φανταστώ μία απόδειξη χωρίς το αξίωμα επιλογής γι αυτό ήθελα να δω αν γνωρίζεις κάτι για τις αριθμήσιμες γλώσσες...

Μάλλον ποιό ενδιαφέροuσες είναι οι ισοδυναμίες των Upward και Downward Skolem Theorems με το αξίωμα επιλογής παρά η ισχυρή πληρότητα (που ουσιαστικά είναι ο συνδυασμός Πληρότητας και Skolem)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Δεκ 2007, 14:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Όπως είπα και στό προηγούμενο:

Από τό θεώρημα τής Συμπάγειας, εξάγεται, ότι η PA (Peano Αριθμητική) περιέχει και μή standard μοντέλλα, δηλαδή μοντέλλα που δέν είναι ισόμορφα μέ τό standard μοντέλλο, καθώς έχουν «απείρως μαγάλους» αριθμούς.
Σέ γενικότερη μορφή:

«Υπάρχει ένα (αριθμήσιμο) μοντέλλο τής PA,τό N*, τό οποίο είναι μή ισόμορφο μέ τό Ν»

Άς τό αποδείξουμε αυτό (Ουσιαστικά, σέ κάθε άπειρο πληθάριθμο υπάρχει ένα μή standard μοντέλλο)
Απόδειξη

Επεκτείνουμε τήν γλώσσα τής ΡΑ κατά μία νέα σταθερά c, γιά ένα «απείρως μεγάλο» στοιχείο και δημιουργούμε τήν επεκταμένη θεωρία

PA* : = PA U {c#0, c#S0, c#SS0,...}

Επειδή υπάρχουν απείρως πολλοί φυσικοί αριθμοί, μπορούμε, στό standard μοντέλλο, να εκπληρώσουμε πολλές (πεπερασμένες) επιπρόσθετες προτάσεις, επιλέγοντας γιά τήν c, επαρκώς μεγάλους αριθμούς. Κατ’ αυτόν τόν τρόπο έχει κάθε πεπερασμένη υποθεωρία τής PA* ένα μοντέλλο, άρα, σύμφωνα μέ τό θεώρημα τής Συμπάγειας, έχει και ένα μοντέλλο
N* |= PA*
H N* εκπληροί τά Ρ1 (Sx # 0) και Ρ2 (Sx = Sy --> x = y), άρα η απεικόνιση τών όρων {0,S0,SS0,...} επί τών ερμηνειών στό N* είναι ερριπτική (ένα πρός ένα). Αναγνωρίζουμε, επομένως, σ’ άυτήν τούς «συνήθεις» φυσικούς αριθμούς. Αυτό όμως μάς λέει, ότι τό Ν*, περιέχει ακόμη και τό στοιχείο c^N* (ερμηνεία τής c στήν N*), τό οποίο όμως πρέπει να είναι διαφορετικό απ’ όλους τούς «συνήθεις» φυσικούς αριθμούς (εφ’ όσον τό N* εκπληροί καί τά νέα αξιώματα τού ΡΑ* γιά τήν c)

Τό ίδιο αποτέλεσμα παίρνουμε, άν αντικαταστήσουμε τήν ΡΑ μέ τήν θεωρία τού standard μοντέλλου. Πάλι θά έχουμε ένα μή ισόμορφο (αριθμήσιμο) μοντέλλο N*, που θα εκπληροί ωστόσο, όλες τίς προτάσεις που ισχύουν και στό standard μοντέλλο.
Μ’ ένα τέτοιο μοντέλλο (σάν τού Robinson π.χ) θά έχουμε μία (μή standard) θεωρία, στήν οποία θά ισχύουν όλες οι γνωστές προτάσεις, που ισχύουν στούς «συνήθεις» πραγματικούς αριθμούς, αλλά σ’ αυτούς θά περιέχονται επιπλέον και τά λεγόμενα απειροελάχιστα.

(Τό ότι θά υπάρχει πάντα και ένα μή standard μοντέλλο μπορούμε να τό δούμε καί σάν απόρροια τού θεωρήματος τού Loewenheim)

Εδώ καλό είναι νά τονιστεί τό εξής:
«Έστω Θ μία θεωρία, η οποία έχει «κατά βούλησιν» πολλά πεπερασμένα μοντέλλα (γιά κάθε δηλαδή φυσικό αριθμό n, η Θ έχει ένα μοντέλλο μέ τουλάχιστον n στοιχεία). Τότε έχει η Θ καί ένα άπειρο μοντέλλο»
Αυτό αποδεικνύεται εύκολα.

Πρίν προχωρήσω, θά ήθελα να ξεκαθαρίσω μερικές παρεξηγήσεις. Γράφεις φίλε Khelben:

«Επίσης νομίζω, ότι ξεδιάλυνες αρκετά τό θέμα με τήν δευτεροβάθμια λογική και τά αξιώματα Peano γιατί πραγματικά δέν ήθελα να πιστέψω αυτό που έβλεπα....»

Πρόσεξε τώρα σέ παρακαλώ, μέ αφορμή αυτά που είπες, ξεκαθαρίζω τό εξής, γιά να ξέρουμε γιά τί μιλάμε:
Από τό θεώρημα Loewenheim-Skolem και από τό παράδοξό τους (που όπως είπαμε, δέν είναι παράδοξο) εξάγουμε:
«Η συνολοθεωρία (1ου βαθμού) δέν είναι σέ θέση νά «πιάσει» μέ τρόπο μονοσήμαντο τούς πραγματικούς αριθμούς. Υπάρχουν διάφορα μοντέλλα τής συνολοθεωρίας (επομένως και περιγραφές τών πραγματικών αριθμών) που δέν είναι ισότιμα μεταξύ τους. Δέν είναι δηλαδή ισόμορφα. Υπάρχει δέ ΠΑΝΤΑ ένα αριθμήσιμο μοντέλλο»
Αντιπαράθεση:
«Στούς φυσικούς αριθμούς τά πράγματα είναι διαφορετικά. Αυτούς τους «πιάνει» η συνολοθεωρία ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΑ, καθ’ό,τι όλα τά μοντέλλα τών φυσικών αριθμών (που μάς δίδονται μέσω τών προτάσεων τού Peano) είναι ΙΣΟΜΟΡΦΑ μεταξύ τους.(Μή ξεχνάμε τήν πρόταση ισομορφίας τού Dedekind, (που η αμερικάνικη βιβλιογραφία αρέσκεται να ονομάζει categoricity theorem)). Αυτό που ισχύει εδώ γιά τούς φυσικούς αριθμούς ΔΕΝ ισχύει (όπως είδαμε) γιά τήν Peano-Αριθμητική»
Έχει διαφορά δηλαδή τό «ΣΥΝΟΛΟΘΕΩΡΙΑ φυσικών αριθμών» και «Peano ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ»

Άς δούμε τώρα και τό θεώρημα τού Lindenbaum:

«Έστω Τ μία συνεπής θεωρία τής αριθμήσιμης γλώσσας Γ. Τότε υπάρχει μία μεγίστη συνεπής επέκταση Τε τής Τ μέσα στήν ίδια τήν Γ»

Απόδειξη
Η Γ είναι αριθμήσιμη, άρα υπάρχει μία απαρίθμηση ( σn|n E N)όλων τών προτάσεών της Θέτουμε (αναδρομικά):

To = T καί

Tn+1 = Τn, εάν Tn |- σn ή
Tn+1 = Τn[άρνηση σn] αλλού
Ακόμη:

Tv : = UnEN Tn

Tότε ισχύει:

Τn |- σn ή Tn+1 |- άρνηση σn, έτσι ώστε ακόμη
Tv |- σn ή Tv |- άρνηση σn
Άρα η Tv είναι πλήρης θεωρία.

Γιά τήν απόδειξη τής συνέπειας τής Tv δείχνουμε επαγωγικά, ότι όλα τά Τn είναι συνεπή:
Είναι η Τn συνεπής, τότε είναι συνεπής και η Τn+1

Επειδή έχω αυτό τό καιρό πίεση χρόνου, άργησα να απαντήσω και είδα, ότι με πρόλαβες. Θα σού απαντήσω εκ νέου, αλλά προκαταβολικά σού λέω (κάτι που άφησα όμως να εννοηθεί):

«Στήν περίπτωση αριθμήσιμων γλωσσών αποδεικνύεται τό θεώρημα Lindenbaum (επομένως και τό θεώρημα πληρότητος) ΧΩΡΙΣ τήν χρήση τού AC. Σ’αυτήν τήν περίπτωση μάλιστα, αναφέρεται και τό θεώρημα τού Loewenheim, που ουσιαστικά μάς λέει:

«Είναι η Θ μία συνεπής θεωρία σέ μία αριθμήσιμη γλώσσα;
Τότε κατέχει ένα απαριθμήσιμο μοντέλλο»

Στό επανειδείν

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Δεκ 2007, 14:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Δέν ξέρω τί διαβάζεις, αλλά μού θυμίζει Shelah, όπως και νά έχει, θά συμφωνήσω μέ αυτά που λές γιά upward καί downward Skolem.
Αλλά άς δούμε λίγο τό AC, καθ’ότι αναφέροντας τόν Shelah, θυμήθηκα τήν αναστάτωση, που επέφερε η δημοσίευση τών (Shelah-Soifer) τού 2003

Εισαγωγικά
1960. O Solovay αποδεικνύει, ότι τό AC επί τής ZF οδηγεί και στήν ύπαρξη μή μετρήσιμων συνόλων.
(Υπεισέρχεται θέμα επομένως, τί γίνεται άν αξιώσουμε AC + Lebesgue μετρησιμότητα)

1950. Ένας 18χρονος (Edward Nelson, καθηγητής σήμερα στό Princeton) θέτει τό εξής πρόβλημα.
«Άν θεωρήσουμε όλα τά πραγματικά σημεία στό επίπεδο, πόσα χρώματα χρειαζόμαστε, γιά να χρωματίσουμε τά σημεία, έτσι, που αυτά που έχουν τήν ίδια απόσταση ματαξύ των, να έχουν και διάφορο χρώμα»

2003. Οι Shelah καί Soifer ασχολούνται με τό πρόβλημα χρωματισμού σημείων επί τής ευθείας τών πραγματικών:
«Δύο σημεία χρωματίζονται διαφορετικά, άν έχουν μία ορισμένη απόσταση μεταξύ τους» (Οι αποστάσεις τίθενται σάν πολλαπλάσιο τού ρίζα(2) σύν έναν ρητό αριθμό)

Εδώ τό paper:

http://www.uccs.edu/~asoifer/books/AXIO ... %20JCT.pdf

(Άν σβύσει κανείς τά τελευταία, μπαίνει στήν ιστοσελίδα τού Soifer)

Μιά μικρή γεύση:
1.Έστω, ότι ισχύει τό AC. Θεωρούμε μία απείρως μεγάλη τάξη μαθητών. Τούς τελευταίους τούς στοιχίζουμε. Τό AC μάς λέει, ότι υπάρχει ένας πρώτος μαθητής και τά υπόλοιπα αξιώματα, μάς επιτρέπουν νά βρούμε τήν απόσταση κάθε μαθητή από τόν πρώτο. Ανάλογα τού άν αυτή είναι άρτιος αριθμός ή περιττός, αντιστοιχούμε σέ κάθε μαθητή ένα χρώμα και τό πρόβλημα τού χρωματισμού λύνεται μέ δύο χρώματα.
2.Αφήνουμε τό AC και απαιτούμε Lebesgue μετρησιμότητα. Θεωρούμε ένα σύνολο από απείρως μικρά σπίρτα. Ουδέν σπίρτο είναι εξέχον, άρα η προηγούμενη μέθοδος δέν εφαρμόζεται. Υποθέτουμε λοιπόν, ότι χρειαζόμαστε n χρώματα και διατάσσουμε τά σπίρτα έτσι, ώστε όλα τά σπίρτα, που έχουν ίδιο χρώμα νά ανήκουν στήν ίδια τάξη (μία από τίς n). Λόγω τής Lebesgue μετρησιμότητας, είμαστε σέ θέση να αποδώσουμε τό μέγεθος τών τάξεων. Οι Shelah καί Soifer δείχνουν, ότι οι χρωματικές τάξεις, στό δικό τους παράδειγμα, έχουν μέγεθος μηδέν. Επειδή ο συνδυασμός μηδενικών συνόλων, αποδίδει πάλι ένα μηδενικό σύνολο, καταλήγουν στό συμπέρασμα, ότι ο συνδυασμός τών n χρωμάτων (αδιάφορο πόσο μεγάλο είναι τό n) δέν αρκεί, γιά να χρωματίσουν όλα τά σπίρτα.

Τά υπόλοιπα τά βρίσκει κανείς στό paper (είναι μία σειρά από αυτά, απλά, αυτό είναι τό κυρίως)

Συμπέρασμα:

Άλλο αποτέλεσμα παίρνουμε με αποδοχή τού AC, άλλο χωρίς....

Τί λέτε, αξίζει νά συζητηθεί; (Είναι δύσκολο θέμα, τό Lebesgue μέτρο έχει πολλές κακοτοπιές)

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 27 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group