forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 12:39

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 15 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Πυκνή Διάταξη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Νοέμ 2007, 18:37 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Αποδείξτε ότι το σύνολο των Μιγαδικών επιδέχεται πυκνή διάταξη ή ακόμα καλύτερα οποιοδήποτε σύνολο πληθικότητας \geq \mathbb{N}_0 επιδέχεται πυκνή διάταξη.Δηλαδή για κάθε x,z\in K έτσι που x<z , \exists y\in K έτσι που x<y<z.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2007, 11:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Καλημερα. Για το συνολο των μιγαδικων ειναι απλα τα πραγματα:

z_1 < z_2 \Longleftrightarrow \left[ |z_1| < |z_2| \vee \left( |z_1| = |z_2| \wedge Arg(z_1) < Arg(z_2) \right) \right] και ξεμπερδεψαμε, πυκνη και γραμμικη.( - \pi < Arg(z) \leq \pi )

Οσο για το τυχαιο απειροσυνολο, δεν θετεις τον περιορισμο της γραμμικοτητας. Ετσι μπορω να σου δωσω ως λυση την O = \emptyset που ειναι τετριμμενα πυκνη αλλα μαλλον δεν εννοουσες κατι τετοιο.

Αν θες μια διαταξη πυκνη στην οποια να υπαρχουν τουλαχιστον δυο στοιχεια a, b με a < b, παιρνουμε μια συναρτηση επι f:K \longrightarrow \mathbb_{Q} και οριζουμε a_1 < a_2 \Longleftrightarrow f(a_1) < f(a_2). Πυκνη, οχι απαραιτητα γραμμικη αλλα με τουλαχιστον δυο διαφορετικα συγκρισιμα στοιχεια.

Αν παλι θες να αποδειξουμε οτι υπαρχει πυκνη, γραμμικη διαταξη για οποιοδηποτε απειροσυνολο τοτε, ας με διορθωσει καποιος αν κανω λαθος, αλλα νομιζω οτι αποδειχθηκε σχετικα προσφατα οτι αυτη ειναι συνεπεια του Αξιωματος της Επιλογης, οποτε ειναι μαλλον ασκοπο να περιμενεις απαντηση τυπου forum...

Καλα να περνας,

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2007, 12:22 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Ναι έχεις δίκιο,όπως το διατύπωσα είναι λίγο ασαφές,προφανώς εννοώ ότι η πυκνή "κουβαλάει" όλες τις προηγούμενες καλές ιδιότητες της γραμμικής διάταξης.

Επίσης,ό,τι είναι συνέπεια του AC δεν είναι κατ' ανάγκη απλησίαστο.Το περίερο θα ήταν μια τέτοια πρόταση να μην ήταν συνέπεια του AC.

Καλά περνάω


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2007, 12:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Αυτο που το καθιστα μαλλον απλησιαστο δεν ειναι φυσικα το γεγονος οτι ειναι συνεπεια του AC αλλα το γεγονος οτι αποδειχθηκε προσφατα (απο τον Gonzalez αν δεν κανω λαθος). Αλλα αυτο με καθε επιφυλαξη...

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2007, 12:49 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Είναι δύο διαφορετικά πράγματα αυτά τα δύο.Το ότι ήταν δύσκολο να αποδειχθεί ότι δεν αποδεικνύεται χωρίς την χρήση AC δεν σημαίνει ότι το ίδιο είναι δύσκολο να αποδειχθεί (όχι ότι δεν είναι,τουλάχιστον χωρίς λίγο "προχωρημένη" λογική,όσον αφορα στην απόδειξη που έχω υπόψη μου).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2007, 12:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Τωρα σ'εχασα. Αν υπαρχει (σχετικα) ευκολη αποδειξη της προτασης σου (την εχω δει να ονομαζεται DO) απο την ZFC, αυτο δε συνιστα και μια ευκολη αποδειξη του (AC) => (DO) στην ZF;;; (που ειναι και το προσφατο αποτελεσμα στο οποιο αναφερομαι).

Εν παση περιπτωσει, αν δε σε πειραζει κανε εναν κοπο να ποσταρεις τουλαχιστον το σκελετο της αποδειξης να δουμε πως ειναι...

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2007, 18:32 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Χμμμ...ZFC\vdash DO δεν συνεπάγεται κατ' ανάγκη ότι AC\vdash DO...υπάρχει και η περίπτωση ZF\vdash DO και έτσι προκύπτει η "δυσκολία" της απόδειξης που αναφέρεις...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2007, 19:35 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Η απόδειξη είναι απλή και θα την αναφέρω (σχεδόν) ολόκληρη.
Παίρνω μία Θεωρία Τ με προτάσεις τις προτάσεις που χρείαζομαι για να είναι μία διάταξη πυκνή π.χ
1.\forall x(x\leq x)
2.\forall x,y(x\leq y \land y\leq x \rightarrow x=y)
κ.τ.λ
Το \mathbb{Q} με την συνήθη διάταξη είναι μοντέλο αυτής της θεωρίας.Σύμφωνα με το Upward Skolem Lowenheim Theorem η θεωρία μας έχει μοντέλο οποιασδήποτε πληθικότητας \geq card(\mathbb{Q})=\mathbb{N}_0.Απο εδώ και μετά η απόδειξη είναι προφανής, έστω σύνολο Χ πληθικότητας κ, παίρνω το αντίστοιχο μοντέλο με την ίδια πληθικότητα ,έστω Α, και έχω μία συνάρτηση 1-1 f:X\rightarrow A ορίζω την διάταξη στο Χ ως εξης x<_X y \Leftrightarrow f(x)<_A f(y)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2007, 00:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Μαρ 2006, 14:43
Δημοσ.: 2767
Τοποθεσια: White Hart Lane
Khelben θα σε παρακαλούσα να μικρίνεις το μέγεθος του avatar σου.. :)

_________________
Lab Radio


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Νοέμ 2007, 13:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Ωραιο! Ομολογω οτι δεν το ηξερα σε βαθος το θεωρημα Lowenheim-Skolem, μονο εξ ακοης...

Αυτη ομως μου φαινεται μια σχετικα απλη αποδειξη της υπαρξης πυκνης γραμμικης διαταξης για καθε απειροσυνολο, αφου οι πυκνες γ.δ. μπορουν να αξιωματοποιηθουν με γλωσσα πρωτης ταξεως. Οποτε τι ηταν αυτη η προσφατη αποδειξη που ειχα δει εγω;;; :shock:

Μια περιπτωση ειναι το ουσιωδες αποτελεσμα να μην ηταν το ZF \vdash (AC \Longrightarrow DO) αλλα το ZF \nvdash (DO \Longrightarrow AC). Ηταν κι αυτο μεσα στο αρθρο και μαλλον αυτο ηταν το σημαντικο. Chi sa, που λενε κι οι Ιταλοι...

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: πεπερασμ'ενο πλήθος διατάξεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2007, 12:22 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 02 Μάιος 2007, 00:56
Δημοσ.: 40
Μέρα!
Μια βλακειούλα που σκέφτηκα μετά την τρίτη μπύρα: Αν το πλήθος των διατάξεων που μπορούν να οριστούν επί ενός συνόλου είναι πεπερασμένο, τότε αυτό το πλήθος είναι ένας περιττός αριθμός.
Too easy μήπως;

Επίσης: Βρήκα λάθος σε βιβλίο του Hausdorff!!! (εξτρεμιστική υπερεκτίμηση παράβλεψης εξτρεμιστικής περίπτωσης μάλλον). Λέει ότι ένα πυκνό σύνολο είνια πάντα άπειρο αλλά, πρέπει να περιέχει και τουλάχιστον δύο σημεία (και το μονοσύνολο με την τετριμένη διάταξη, πυκνό είναι. Με το κενό μην μπλέξουμε καλύτερα, μήπως πέσει και μας πλακώσει).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Νοέμ 2007, 10:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Κατι ακομα :

Με την ιδια μεθοδο (Lowenheim-Skolem) μου φαινεται οτι μπορουμε οχι απλως να αποδειξουμε την υπαρξη ΠΓΔ (πυκνης γραμμικης διαταξης) σε καθε απειροσυνολο αλλα και οποιοδηποτε ειδος ΠΓΔ οσον αφορα τα ακροτατα (με ακροτατα, χωρις ακροτατα, με ελαχιστο-χωρις μεγιστο και χωρις ελαχιστο-με μεγιστο), αφου ολα αυτα τα χαρακτηριστικα αξιωματοποιουνται σε first order και μπορουμε παντα να επισυναψουμε τα \pm \infty στο \mathbb_Q ωστε να φτιαξουμε ενα αντιστοιχο απειρο μοντελο.

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Νοέμ 2007, 13:23 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Σωστά,ακόμα μπορούμε να δείξουμε ,το πιο εύκολο, ότι κάθε άπειρο σύνολο είναι καλά διατάξιμο...Μπορούμε να βρούμε που "κρύβεται" το AC σε αυτή την απόδειξη?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Νοέμ 2007, 22:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Όλα αυτά, που ο Cantor θεωρούσε λίγο πολύ ως αυτονόητα π.χ : «Από δύο μή ισοδύναμα σύνολα τό ένα έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο», «κάθε σύνολο είναι καλώς διατάξιμο», αποδεικνύονται με τό AC.
Κατ’αναλογίαν, τό θεώρημα Loewenheim-Skolem, προϋποθέτει τήν ύπαρξη μοντέλλου, δέν μάς λέει όμως, πώς τό κατασκεύαζουμε. Η ύπαρξη τού μοντέλλου είναι επομένως εγγυημένη, κατά «αδύναμο» τρόπο, όπως λέμε (η θεώρηση μή ύπαρξης οδηγεί σε αντίφαση), αλλά δέν είναι σίγουρο, ότι τό μοντέλλο κατασκεύαζεται. Σέ ορισμένες περιπτώσεις (αριθμητική τού Peano) γίνεται, αλλά υπάρχει πάντα κατασκευή;
Η προσπάθεια π.χ. να φτιαχτεί ένα μοντέλλο τής ZF-συνολοθεωρίας μέσα στήν ίδια τήν ZF οδήγησε και στό «παράδοξο» τών Loewenheim-Skolem (που σήμερα ξέρουμε, ότι δέν είναι παράδοξο, φορμαλιστικά τουλάχιστον).

Εκεί βλέπω λοιπόν, τήν αναλογία μέ τό AC, στήν ύπαρξη τού μοντέλλου, όπως βλέπω καί μία αναλογία μεταξύ θεωρήματος Loewenheim-Skolem και τού θεωρήματος τής μή πληρότητας τού Goedel, παρ’ότι τό καθένα ερμηνεύει διαφορετικά τά φορμαλιστικά γλωσσικά στοιχεία.

Τόν Podniek (Introduction to Mathematical Logic) θεωρώ ιδιαίτερα καλό, επί αυτών τών θεμάτων

http://linas.org/mirrors/www.ltn.lv/200 ... s/gta.html


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Νοέμ 2007, 18:36 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Φυσικά το "παράδοξο" είναι προφανές μόλις διατυπωθεί το downward Skolem Theorem(χωρίς τις προσπάθειες μοντελοποίησης της ZFC μέσα στην ίδια την ZFC) .Εφόσον η ZFC έχει υπεραριθμήσιμο μοντέλο τότε από το παραπάνω θεώρημα θα έχει αριθμήσιμο.Πως όμως υπάρχει αριθμήσιμο μοντέλο μιας θεωρίας που προβλέπει μη-αριθμήσιμα σύνολα.Η απάντηση είναι απλή, το μοντέλο μας είναι τόσο ασθενές που αδυνατούμε σε αυτό να κατασκευάσουμε συνάρτηση ώστε να δείξουμε ότι f:A\rightarrow \mathbb{N} επομένως το Α είναι υπεραριθμήσιμο στο μοντέλο μας παρ'οτι εκτός μοντέλου υπάρχει μία τέτοια f.

Τώρα για το κύριο ερώτημα μου,προφανώς το AC δεν κρύβεται πάντα εκεί που δεν υπάρχει κατασκευαστική διαδικασία και σίγουρα δεν κρύβεται στην υπόθεση του LS Theorem.

Στην συγκεκριμένη απόδειξη,χρησιμοποιήσαμε το ULS Theorem,για να αποδείξουμε το ULS χρησιμοποιούμε συμπάγεια και DLS,για να αποδείξουμε την συμπάγεια χρησιμοποιούμε Θεώρημα Πληρότητας,για να αποδείξουμε το Θεώρημα Πληρότητας χρησιμοποιούμε το Zorn's Lemma που είναι ισοδύναμο με το AC.

Φυσικά η παραπάνω αλυσίδα δεν δείχνει τίποτα γιατί κάλλιστα κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι γνωρίζει μία απόδειξη του ULS που δεν χρησιμοποιεί την Συμπάγεια....κ.ο.κ...

Μάλλον πρέπει να είναι κατανοητό ότι μια φορμαλιστική απόδειξη ότι το AC κρύβεται τουλάχιστον στο Θεώρημα Πληρότητας ξεφεύγει αρκετά από το να μπορεί να γραφτεί στο Forum...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 15 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group