forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Νοέμ 2017, 22:14

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 58 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 16:55 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
@Γιώργος:Λάθος...αν και η προσσέγγιση μέσω της υπερβολής είναι σωστή...έχεις λάθος στην πιθανότητα του Β εξάλλου εκείνη την στιγμή και η πιθανότητα του Α είναι 1/2...αφήνω λίγο χρόνο για όποιον άλλον επιθυμεί να ασχοληθεί και θα σου απαντήσω με περισσότερη λεπτομέρεια...

@heliasv:ένα tip... μπορείς να σκεφτείς πόσες φορές θα κέρδιζε ο διαγωνιζόμενος αν αντάλλαζε και πόσες αν παρέμενε στην αρχική του επιλογή...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 16:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Σεπ 2006, 15:07
Δημοσ.: 1294
Τοποθεσια: Ελευσίνα
Νομίζω η πιθανότητα είναι 1/3 να κερδίσει αν έμενε στην αρχική του επιλογή αλλά δεν είμαι καλός σε αυτά... :oops:

_________________
http://soundcloud.com/iliasvafeiadis/
God is absence. God is the solitude of man.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 17:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Khelben έγραψε:
εκείνη την στιγμή και η πιθανότητα του Α είναι 1/2


Σωστά, αλλά άν ο παίκτης αγνοήσει την προτροπή του καραγκιόζη, τότε η πιθανότητα είναι (1/10^6)*(1/2) ενώ εάν αλλάξει η πιθανότητα είναι 1/2. Αυτό γιατί ο καραγκιόζης δεν πρόκειται να ανοίξει την κουρτίνα με το αυτοκίνητο...

διόρθωση: η πιθανότητα παραμένει 1/10^6 εάν ο παίκτης δεν αλλάξει


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 17:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Το σκέφτηκα καλύτερα :)

Η πιθανότητα (αρχικά) να μην πέσουμε πάνω στο αυτοκίνητο, είναι (10^6-1)/10^6 = 0,999999.

Επομένως η πιθανότητα αν αλλάξουμε είναι 0,999999*0,5 = 0,4999995

Ενώ εάν επιμεινουμε στην επιλογή μας η πιθανότητα θα είναι 1/10^6 = 0,000001


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 17:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Εφαρμόζοντας τα παραπάνω στην περίπτωσή μας, έχουμε

α) Ο παίκτης ακούει τον καραγκιόζη και αλλάζει Π_Α = (2/3)*(1/2) = 1/3
β) Ο παίκτης δεν ακούει τον καραγκιόζη και παραμένει σταθερός Π_Β = 1/3

άρα μάλλον είναι αδιάφορο :o


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 19:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Το προβλημα με τις κουρτινες δεν θεωρειται παραδοξο


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 21:06 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Πράγματι δεν πρόκειται για παράδοξο με την κλασσική έννοια διότι έχει λύση απλά η λύση του είναι ενάντια στην διαίσθηση...η διαίσθηση όπως όλοι φανταζόμαστε είναι ότι στην δεύτερη επιλογή που μας δίνει ο Monty έχουμε 50% και για τις 2 κουρτίνες επομένως όποια και να επιλέξουμε είναι το ίδιο...αυτό σύμφωνα με το παρακάτω σκεπτικό είναι λάθος...

Από την στιγμή που επιλέγουμε το Α ο Monty πρέπει να διαλέξει μεταξύ Β και Γ και μάλιστα μία κουρτίνα που έχει κατσίκα.Μπορεί να ήταν στην θέση όπου μπορεί να διαλέξει όποια κουρτίνα θέλει ή έπρεπε να διαλέξει την κουρτίνα Γ(ή Β).Αρχικά η πιθανότητα το αυτοκίνητο να είναι είτε στη Β είτε στη Γ ήταν 2/3.Έτσι η πιθανότητα η επιλογή του να ήταν αναγκαία είναι 2/3(Αυτό είναι το δύσκολο σημείο).Η επιλογή του όμως θα ήταν αναγκαία μόνο εάν το αυτοκίνητο ήταν πίσω από την κουρτίνα Β(ή Γ).Επομένως αν αλλάξουμε την επιλογή μας έχουμε 2/3 πιθανότητα να πετύχουμε το αυτοκίνητο.

Κατά κάποιο τρόπο η κουρτίνα που απομένει "συσσωρεύει" τις πιθανότητες των Β,Γ λόγω της γνώσης του Monty...

Ένας άλλος τρόπος να το δούμε είναι ότι αν παίζαμε το παιχνίδι πολλές φορές τότε αν παραμέναμε στην αποφασή μας(την κουρτίνα Α) θα κερδίζαμε 1 στις 3.Όμως στα 2/3 των περιπτώσεων το αυτοκίνητο θα βρισκόταν σε μία από τις Β,Γ και κάθε φορά ο Monty θα μας έδειχνε την κουρτίνα εκείνη που δεν κρύβει το αυτοκίνητο.Δηλαδή αν αλλάζαμε την στρατηγική θα κερδίζαμε στα 2/3 των περιπτώσεων...(Νομίζω με την δεύτερη ανάλυση είναι περισσότερο κατανοητό,τουλάχιστον για μένα)

Επομένως αν αυξήσουμε τις κουρτίνες στις 10^6 έχουμε \frac{10^6-1}{10^6} πιθανότητα να κερδίσουμε (αν αλλάξουμε στρατηγική)...που είναι τεράστια...και όχι 1/2.

Για περισσότερα http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2007, 21:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Πράγματι έχεις δίκιο. Όμως δεν το αντιλαμβάνομαι όπως το διατυπώνεις. Αυτό που κατάλαβα τώρα είναι ότι:

- Στην περίπτωση που επιμείνουμε στην επιλογή μας η πιθανότητα είναι 1/3

- Στην περίπτωση όμως που αλλάξουμε συμβαίνει το εξής:

Αν έχουμε κάνει λάθος, αλλάζοντας παίρνουμε σίγουρα το αυτοκίνητο, άρα, εφόσον η πιθανότητα να έχουμε κάνει λάθος είναι 2/3, η πιθανότητα τελικά είναι (2/3)*1, και όχι (2/3)*(1/2), όπως λανθασμένα είπα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2007, 01:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Ναι γιατι αρχικως ο δειγματικος χωρος εχει 3 στοιχεια,ενω μετα μονο 2.Δεν εχουμε κοινο δ.χ.
Αυτη δεν ειναι η ουσια;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2007, 10:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Σεπ 2006, 15:07
Δημοσ.: 1294
Τοποθεσια: Ελευσίνα
Απλά σκέψου ότι είναι μεγαλύτερη η πιθανότητα να έχεις κάνει λάθος στην πρώτη σου επιλογή!

_________________
http://soundcloud.com/iliasvafeiadis/
God is absence. God is the solitude of man.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2007, 10:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
Περιγράφεται αρκετά διασκεδαστικά το συγκεκριμενο πρόβλημα στο "Ποιος σκότωσε το σκύλο τα μεσάνυχτα". Κάνω μια μικρή αντιγραφή:

101. Mr. Jeavons said that I liked maths because it was safe. He said I liked maths because it meant solving problems, and these problems were difficult and interesting but there was always a straightforward answer at the end. And what he meant was that maths wasn't like life because in life there are no straightforward answers at the end. I know he meant this because this is what he said.
This is because Mr. Jeavons doesn't understand numbers.
Here is a famous story called The Monty Hall Problem which I have included in this book because it illustrates what I mean.
There used to be a column called Ask Marilyn in a magazine called Parade in America. And this column was written by Marilyn vos Savant and in the magazine it said that she had the highest IQ in the world in the Guinness Book of World Records Hall of Fame. And in the column she answered maths questions sent in by readers. And in September 1990 this question was sent in by Craig F. Whitaker of Columbia, Maryland (but it is not what is called a direct quote because I have made it simpler and easier to understand)

You are on a game show on television. On this game show the idea is to win a car as a prize. The game show host shows you three doors. He says that there is a car behind one of the doors and there are goats behind the other two doors. He asks you to pick a door. You pick a door but the door is not opened. Then the game show host opens one of the doors you didn't pick to show a goat (because he knows what is behind the doors). Then he says that you have one final chance to change your mind before the doors are opened and you get a car or a goat. So he asks you if you want to change your mind and pick the other unopened door instead. What should you do?

Marilyn vos Savant said that you should always change and pick the final door because the chances are 2 in 3 that there will be a car behind that door.
But if you use your intuition you think that chance is 50-50 because you think there is an equal chance that the car is behind any door.
Lots of people wrote to the magazine to say that Marilyn vos Savant was wrong, even when she explained very carefully why she was right. Of the letters she got about the problem, 92% said that she was wrong and lots of these were from mathematicians and scientists. Here are some of the things that they said

I'm very concerned with the general public's lack of mathematical skills. Please help by confessing your error.
-- Robert Sachs, Ph.D., George Mason University

There is enough mathematical illiteracy in this country, and we don't need the world's highest IQ propagating more. Shame!
-- Scott Smith, Ph.D., University of Florida

I am in shock that after being corrected by at least three mathematicians, you still do not see your mistake.
-- Kent Ford, Dickinson State University

I am sure you will receive many letters from high school and college students. Perhaps you should keep a few addresses for help with future columns.
-- W. Robert Smith, Ph.D., Georgia State University

You are utterly incorrect... How many irate mathematicians are needed to get you to change your mind?
-- E. Ray Bobo, Ph.D., Georgetown University

If all those Ph.D.'s were wrong, the country would be in very serious trouble.
-- Everett Harman, Ph.D., U.S. Army Research Institute

But Marilyn vos Savant was right. And here are 2 ways you can show this.
Firstly you can do it by maths like this
Let the doors be called X, Y and Z.
Let Cx be the event that the car is behind door X and so on.
Let Hx be the event that the host opens door X and so on.
Supposing that you choose door X, the possibility that you win a car if you then switch your choice is given by the following formula
P(Hz ^ Cy) + P(Hy ^ Cz)
= P(Cy)·P (Hz ¦ Cy) + P(Cz)·P(Hy ¦ Cz)
= (1/3 · 1) + (1/3 · 1) = 2/3
“The Curious Incident Of The Dog In The Night-Time” By Mark Haddon 31
The second way you can work it out is by making a picture of all the possible outcomes.

So if you change, 2 times out of 3 you get a car. And if you stick, you only get a car 1 time out of 3.
And this shows that intuition can sometimes get things wrong. And intuition is what people use in life to make decisions. But logic can help you work out the right answer.
It also shows that Mr. Jeavons was wrong and numbers are sometimes very complicated and not very straightforward at all. And that is why I like The Monty Hall Problem.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2007, 10:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Ωραία, ας αφήσουμε το παράδοξο του καραγκιόζη, και ας πάμε πίσω στο αρχικό πρόβλημα του καραφλού: Πως μπορούμε να ορίσουμε την καραφλότητα; :shock:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2007, 11:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Δεν εχει σημασια πως θα την ορισουμε.Αυτο που εχει σημασια ειναι πως αν την ορισουμε επακριβως(οπως εμεις επιθυμουμε) τοτε δεν υπαρχει παραδοξο


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2007, 11:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
kamenos έγραψε:
Δεν εχει σημασια πως θα την ορισουμε.Αυτο που εχει σημασια ειναι πως αν την ορισουμε επακριβως(οπως εμεις επιθυμουμε) τοτε δεν υπαρχει παραδοξο


εντάξει, αλλά αν θέλουμε να προγραμματίσουμε έναν υπολογιστή να αναγνωρίζει φωτογραφίες καραφλών, πώς θα το κάνουμε;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2007, 11:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Δεν το βρισκω ενδιαφερον προβλημα ετσι οπως το θετεις.Δεν θα με απασχολουσε ποτε ενα τετοιο ερωτημα,και αναρωτιεμαι αν εχει και νοημα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 58 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group