forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Νοέμ 2017, 22:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μεχρι που μπορουμε να φτασουμε...χρησιμοποιωντας την λογικη!
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Αύγ 2007, 17:47 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Ξεκινάω αυτό το θέμα αφενός διότι είναι αποκαρδιωτικό το sub-forum του ΜΠΛΑ να έχει 0 posts και αφετέρου διότι δεδομένου ότι το ΜΠΛΑ είναι διατμηματικό...είναι ένα ωραίο σημείο συνάντησης πολλών και διαφορετικών απόψεων.

Δεν θα ήθελα να μπω σε ιδιαίτερα τεχνικά θέματα ώστε να μπορούν να πάρουν μέρος όσο το δυνατόν περισσότεροι σε αυτή την συζήτηση...

Ξεκινάω λοιπόν εκφράζοντας την απορία : Μήπως τελικά η αξιωματικοποίηση των μαθηματικών (διαμέσου της λογικής) δεν οδήγησε στα επιθυμητά αποτελέσματα?

Σίγουρα το αποτέλεσμα του Godel βάζει όρια σε οποιαδήποτε φιλόδοξη προσπάθεια αλλά πέρα από αυτό αισθάνομαι ότι βρισκόμαστε σε ένα φαύλο κύκλο ....θέλουμε σταθερές βάσεις για τα μαθηματικά μας (δηλαδή ένα σύνολο αξιωμάτων π.χ για την αριθμητική) και από την άλλη δεν μπορούμε να αποδείξουμε την συνέπειά τους.Με άλλα λόγια ενώ πριν κάναμε μαθηματικά βασιζόμενοι στην διαίσθησή μας τώρα κάνουμε μαθηματικά στηριζόμενοι σε αξιώματα όπου πάλι τα "πιστεύουμε" λόγω διαίσθησης...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2007, 12:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Καλημερα. Καταθετω μερικες σκεψεις και ο,τι προκυψει...

Για μενα οι σταθερες βασεις για τα μαθηματικα υπαρχουν, αλλα δεν ειναι αυτες που νομιζει ο πολυς κοσμος. Δηλαδη, δεν ειναι η 'αδιαμφισβητητη αληθεια' των αξιωματων, ουτε η συνεπεια τους. Τιποτα τετοιο. Μπορουμε κατα βουληση να αλλαξουμε τα αξιωματα και οι 'αληθειες' αλλαζουν επι τοπου. Δεν ειναι εκει το θεμα.

Η σταθερη βαση των μαθηματικων ειναι μια : ΟΛΟΙ μπορουμε να συμφωνησουμε στο αν μια αποδειξη ειναι σωστη, δεδομενων καποιων αξιωματων και καποιων κανονων συνεπαγωγης (η οπως αλλιως λεγεται το rules of inference στα ελληνικα!). Τα αξιωματα μπορει να συμφωνουν η να μη συμφωνουν με καποιες ιδεες που εχουμε γυρω απο το συνολο, τα σημεια, τις ευθειες κλπ. Αυτο δε λεει τιποτα για την 'αληθεια' τους. Οι κανονες του παιχνιδιου μπορουν παντα να αλλαξουν χωρις να επηρεαζεται η γενικη ιδεα.

Η ορθοτητα μιας αποδειξης (επαναλαμβανω, δεδομενης μιας θεωριας) ειναι αντικειμενικη. Απτεται της ανθρωπινης λογικης, περα απο φορμαλισμους και αξιωματα.

Νομιζω, κατα συνεπεια, οτι το 'χτυπημα' που καταφερε ο Goedel στη φιλοσοφια των μαθηματικων με τα θεωρηματα του ειναι πολυ λιγοτερο ηχηρο απ' οσο ακουγεται. Δεν εθεσε καποια 'αληθεια' για παντα περα απο μας - απλως εξεθεσε καποιες συμπεριφορες του παιχνιδιου που ισως δεν τις περιμεναμε...

Ελπιζω να εμεινα εντος θεματος... :)

Καλα να περνατε,
Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αποδεικτικά Συστήματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2007, 14:31 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Γενικότερα νομίζω όλοι θα συμφωνήσουμε ότι το κύριο χαρακτηριστικό ενός αποδεικτικού συστήματος θα πρέπει να είναι η αποκρισιμότητα για αποδείξεις,με άλλα λόγια αν εγώ ισχυριστώ ότι έχω αποδείξει την εικασία των άπειρων δίδυμων πρώτων θα πρέπει βήμα-βήμα να μπορώ να πείσω την μαθηματική κοινότητα ότι η απόδειξή μου είναι σωστή,αν σε κάποιο βήμα πω "αυτό εδώ ισχύει επειδή μου το 'πε ο Θεός" τότε προφανώς δεν θα με αναφέρει η ιστορία των μαθηματικών με χρυσά γράμματα!!!

Αυτό που θέλω να πω είναι ότι εν μέρει συμφωνώ μαζί σου,ωστόσω έχω κάποιες αντιρρήσεις στο ότι αυτή θα πρέπει να είναι η μοναδική βάση από την οποία πρέπει να ξεκινήσουμε ή τουλάχιστον να θεωρούμε αντικειμενικά τα μαθηματικά μας μόνο λόγω αυτού του γεγονότος.Σαν προέκταση αυτού που λέω είναι και η αποτυχία θεμελιώσης των μαθηματικών καθαρά από την λογική(Hilbert).

Δυστυχώς από την λογική δεν μπορούν να θεμελιωθούν υπαρκτικές προτασείς και όπως όλοι θα έχουμε παρατηρήσει κάθε αξιωματικό σύστημα (από τον Ευκλείδη έως τον Zermelo) περιέχει τουλάχιστον μία τέτοια.

Επίσης νομίζω ότι όσο χαμήλα στην ιεραρχία της αντικειμενικότητας και αν βάλουμε τα αξιώματα (και όσο ψηλά τους αποδεικτικούς κανόνες) πρέπει να συμφωνήσουμε ότι τουλάχιστον τα αξιώματα θα πρέπει να είναι συνεπή,διαφορετικά θα μπορούσαμε να αποδείξουμε οτιδήποτε.Σαν συνέπεια θα συμφωνούσαμε όλοι στις αποδείξεις που θα κάναμε αλλά θα αποδεικνύαμε τα πάντα,που μάλλον θα ήταν ανούσιο!!!

Από την άλλη,νομίζω ότι είναι ξεκάθαρα επικύνδυνο να ξεκινήσουμε χωρίς καθόλου αξιώματα με μόνα όπλα την διαίσθηση και την ανθρώπινη λογική...Ποιός δεν θα συμφωνούσε ότι η γενική αρχή συμπερίληψης (διαισθητικά) ισχύει?

Τέλος όσον αφορά στον Godel έχω την αίσθηση ότι πραγματικά το αποτέλεσμά του μας απομάκρυνε από την αλήθεια με την έννοια ότι υπάρχουν αληθής προτάσεις που δεν αποδεικνύονται (και μάλιστα άπειρες το πλήθος διαφορετικά αν ήταν πεπερασμένες θα τις προσθέταμε στο Αξιωματικό μας σύστημα και θα είμασταν ευτυχισμένοι...).

Υ.Γ Διαβάζοντας τις απόψεις σου μου γεννήθηκε ένα νέο ερώτημα σχετικό με το topic,και είναι το εξής: αποδεικνύεται άρα είναι αλήθεια ή είναι αλήθεια άρα αποδεικνύεται?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2007, 15:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Συμφωνω οτι χωρις αξιωματα, με μονη τη λογικη, δε μπορουν να γινουν αξιολογα μαθηματικα. Ακομα και για τον απλο προτασιακο λογισμο, πρεπει η λογικη να αξιωματοποιηθει πριν αρχισει η οποιαδηποτε 'ενεργεια'.

Επισης, σαφως δεν παραγνωριζω την αξια των αξιωματων σε σχεση με τους αποδεικτικους κανονες. Στο κατω κατω, απο μια καθαρα αφηρημενη σκοπια, τα αξιωματα δεν ειναι παρα αποδεικτικοι κανονες χωρις 'προηγουμενα'..

Ωστοσο, αν και συμφωνω οτι ειναι καλο τα αξιωματα να ειναι συνεπη για να εχουν καποια χρησιμοτητα τα μαθηματικα (αλλιως, οπως λες, με τους συνηθεις αποδεικτικους κανονες, μπορει να αποδειχθει οτιδηποτε), δε νομιζω οτι δημιουργειται καποιο θεμελιωδες προβλημα απο μια τυχον ασυνεπεια στο αποδεικτικο συστημα. Βεβαιως, η θεωρια θα εχανε καθε ενδιαφερον, αλλα ως εκει. Δε θα επαυε να ειναι παντα μια θεωρια. Ανουσια μεν, αλλα θεωρια. (Θα εχεις καταλαβει τη συμπαθεια μου στο φορμαλισμο σε αντιθεση με τον πλατωνισμο!)

Λες για τον Goedel οτι απεδειξε την υπαρξη 'αληθων αλλα μη αποδειξιμων προτασεων'. Δεν ειμαι σιγουρος. Για μενα ο ορος 'αληθης/ψευδης προταση' ισχυει μονο σε ενα συγκεκριμενο μοντελο μιας θεωριας, και οχι για τη θεωρια γενικα. Στη θεωρια υπαρχουν μονο αποδειξιμες, καταρριψιμες και αναποφασιστες προτασεις. Και εφοσον το θεωρημα του Goedel δεν αναφερεται σε συγκεκριμενα μοντελα, αναφερεται μονο στην αδυναμια αποδειξιμοτητας/καταρριψιμοτητας, χωρις να απτεται της αληθειας/ψευδους (που εξαρτωνται απο τα μοντελα σε αντιθεση με την αποδειξιμοτητα).

Αποδεικνυεται αρα αληθεια η αληθεια αρα αποδεικνυεται; Οπως ξερεις (ειδα την ιστοσελιδα σου!) την απαντηση μας τη δινει παλι ο Goedel με ενα πολυ σημαντικοτερο αλλα πολυ λιγοτερο γνωστο θεωρημα του. Αποδεικνυεται αν και μονο αν ειναι αληθεια σε ολα τα δυνατα μοντελα.

Αλλα και παλι, περιοριζομαστε μονο στα μοντελα της θεωριας μας. Δε νομιζω οτι υπαρχει τροπος διαφυγης απο τα αξιωματα!

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2007, 15:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Αποδεικνυεται αρα ειναι αληθεια.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2007, 20:25 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Καλησπέρα και πάλι...
@dement: Δηλαδή είσαι πράκτορας του Hilbert ε? :twisted:
Λοιπόν,δεν ήθελα να δωθεί τόση έμφαση σε τεχνικά θέματα αλλά έχω την εντύπωση ότι το αποτέλεσμα που αναφέρεις είναι πόρισμα του θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας υπερφίλτρων που είναι μεταγενέστερη του Godel (αν κάνω λάθος διώρθωσέ με ) και το θεώρημα πληρότητας και (εύκολα) συμπάγειας είναι πορίσματα αυτού που ανέφερες.Πάντως αν έχεις κάποια αναφορά σε βιβλιογραφία ή σε κάποιο site θα ήταν πολύ ενδιαφέρον να εμπλουτίσουμε τις γνώσεις μας...

Πράγματι,το θεώρημα πληρότητας και γενικότερα τα "θετικά" αποτελέσματα του Godel έχουν σημαντικότερες εφαρμογές όπως π.χ στην επίλυση του 10ου προβλήματος του Hilbert, αλλά και τα θεωρήματα μη-πληρότητας προσφέρουν μιά βάση για πολλές και όμορφες φιλοσοφικές συζητήσεις(όπως αυτή εδώ) και όχι μόνο...

Σχετικά με την αλήθεια,είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι για π.χ το αξιωματικό σύστημα του Peano αναπτύχθηκε για την θεμελίωση της αριθμητικής οπότε όταν βλέπουμε τα αξιώματα έχουμε στο μυαλό μας τους φυσικούς με την συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό.Αυτό που θέλω να πω είναι ότι προφανώς η έννοια της αλήθειας ή του ψέμματος εξαρτάται από το μοντέλο μας αλλά και πάλι στο μοντέλο που σ'όλους μας αρέσει να κάνουμε μαθηματικά υπάρχει μία πρόταση που είναι αλήθεια αλλά δεν αποδεικνύεται.Ακόμα και αν κάποιος μας πει ότι ολά αυτά με τους φυσικους δεν υπάρχουν και το "φυσικό" μοντέλο της αριθμητικής είναι κάποια άλλα εξωτικά αντικείμενα τότε υπάρχουν δύο περιπτώσεις είτε μία πρόταση(δηλ.όχι οποιαδήποτε πρόταση αλλά αυτή των Godel-Rosser) είναι ψευδής είτε αληθής σε αυτό το μοντέλο ,στην δεύτερη περίπτωση νομίζω συμφωνούμε ότι το συμπέρασμα είναι ότι το θεώρημα του Godel μας απομακρύνει από την αλήθεια,στην πρώτη απλά μας λέει ότι απομακρυνόμαστε από την γνώση (αν υποθέσουμε ότι γνωρίζω κάτι αν μπορώ να το αποδείξω)...

Σ' αυτό αναφερόταν και η ερώτηση μου(προφανώς δεν την διατύπωσα σωστά) δηλαδή η απόδειξη μπορεί να μας οδηγήσει στην γνώση (αλήθεια)?Με άλλα λόγια εφοδιασμένοι με άπειρο χρόνο και υπομονή θα μπορούσαμε να κάνουμε τυπικές αποδείξεις και να φτάσουμε όλες τις αλήθειες?και δεν μιλάω μόνο για τις αλήθειες της αριθμητικής(που είναι προφανής η απάντηση) αλλά και της λογικής.

Κάτι άλλο σχετικά με το θεώρημα του Godel είναι ότι απέδειξε το θεώρημά του υποθέτωντας την ω-συνέπεια της αριθμητικής Peano (αν και ο ίδιος το απέδειξε για το Α.Σ των Hilbert-Bernays) απ' αυτό είναι προφανές ότι ενώ η απόδειξή του είναι καθαρά συντακτική η ισοδυναμία με την σημασιολογική πλευρά του θεωρήματος είναι παραπάνω από προφανής.Το λέω αυτό γιατί ουσιαστικα με την ω-συνέπεια ήθελε να εξασφαλίσει ότι ένα μοντέλο της αριθμητικής Peano είναι οι φυσικοί(μπορεί να υπάρχουν ενστάσεις σε αυτό...και είναι δεκτές, αλλά διαισθητικά νομίζω όλοι θα συμφωνήσουμε ότι αυτό επιδίωκε).

@kamenos:το ερώτημα δεν ήταν σε μορφή debate(ίσως επηρρεάστηκες λόγω ημερών :P) και στο λέω αυτό γιατί θα θέλαμε όλοι εκτός από απαντήσεις yes/no και μία δικαιολόγηση στο κάτω κάτω το συκγεκριμένο forum έχει στόχο την διεύρυνση των γνώσεών μας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Σεπ 2007, 14:30 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
@dement:έχεις απόλυτο δίκιο αυτό που αναφέρεις είναι το θεώρημα Πληρότητας...εγώ έκανα λάθος καμμία σχέση με θεωρία υπερφίλτρων...

Αυτά για την αποκατάσταση της αλήθειας....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Σεπ 2007, 11:14 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Παρατήρηση:Η όλη συζήτηση με έκανε να ψάξω αρκετά το θέμα και βρήκα τα εξής σχετικά με το θεώρημα Πληρότητας του Godel...

1.Το αποτέλεσμα του Godel το 1930 ήταν επικεντρωμένο στην πρωτοβάθμια λογική και ήταν το εξής:

Ένας τύπος της πρωτοβάθμιας λογικής είναι έγκυρος αν-ν αποδεικνύεται

δηλαδή

\models \phi \Leftrightarrow \vdash \phi

2.Στην ουσία απέδειξε περισσότερα (strong completeness).
Για κάθε σύνολο αξιωμάτων Τ ο \phi είναι αλήθεια σε κάθε μοντέλο του Τ αν-ν ο \phi αποδεικνύεται από το Τ.

Αυτό που βρήκα είναι ότι το δεύτερο αποτέλεσμα (δηλαδή,αυτό που αναφέρει ο Dement) πρώτη φορά αναφέρθηκε ξεκάθαρα από τον Abraham Robinson το 1951!!!!

Επίσης στα περισσότερα βιβλία θεωρίας μοντέλων(αυτά που έχω υπόψη μου είναι των Keisler-Chang και της Bolzano) αναφέρεται η απόδειξη του Heinkin (1949) που προφανώς συνεπάγεται την ισχυρή έκδοση της πληρότητας!!!!

Θα ήταν πολύ χρήσιμο έστω και για τυπικούς λόγους κάποιος να ξεδιαλύνει αυτό το μπέρδεμα..... :?

Και πέρα από τα τυπικά ένα ακόμα ερώτημα:

Υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει αν ένας τυχαίος τύπος της πρωτοβάθμιας λογικής είναι έγκυρος :?:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Σεπ 2007, 16:00 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Υπάρχει μεγάλη σύγχυση γύρω από το τελευταίο ερώτημα....Όποιος είδε το θεατρικό έργο 17η νύχτα (του Δοξιάδη) μπορεί να θυμάται ότι ο πρωταγωνιστής κατέληγε: "τελικά, η λογική δεν είναι πλήρης",που σαν σλόγκαν κατά την γνώμη μου είναι λάθος(βλέπε θεώρημα πληρότητας).Αυτό που αφηνόταν να εννοηθεί από το όλο έργο ήταν ότι η λογική είναι αναποκρίσιμη δηλαδή δεν υπάρχει αλγόριθμος(μηχανική διαδικασία κατά τον Hilbert) που να αποφασίζει αν ένας τύπος της πρωτοβάθμιας λογικής είναι αλήθεια...

Και για να επανέλθω στα αρχικά ερωτήματα,νομίζω ότι κλονίζεται με αυτό τον τρόπο η τυφλή πίστη μας στην "απόδειξη"...

Ακόμα κάτι που μου θυμίζει αυτό είναι η αρχή απροσδιοριστίας στην φυσική...

Όπως δεν μπορούμε να κάνουμε όσο ακριβείς μετρήσεις θέλουμε χωρίς να επηρρεάσουμε το υπό εξέταση αντικείμενο,όμοια δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε ισχυρά αξιωματικά συστήματα χωρίς να μας ξεφεύγει έστω και μία αλήθεια......

Τελειώνοντας,μία αισιόδοξη ματιά γύρω από αυτή την παρατήρηση(φυσικά με κάθε επιφύλαξη ως προς την ορθότητά της) μπορεί να είναι ότι βρισκόμαστε μπροστά σε έναν καθολικό νόμο της φύσης και όχι απλά σε μία ανθρώπινη αδυναμία...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group