forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Νοέμ 2018, 12:39

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Απειροδιάστατη Διαφορική Γεωμετρία
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Νοέμ 2006, 14:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Έστω E,F χώροι \textlatin{Banach}.
L(E,F)=\{f:E\rightarrow F:f γραμμική, συνεχής\}.
\textlatin{Iso(E,F)}:=\{f:E\rightarrow F:f ισομορφισμός \}.
Δείξτε ότι το \textlatin{Iso(E,F)} είναι ανοικτό υποσύνολο του L(E,F).

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροδιάστατη Διαφορική Γεωμετρία
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2007, 15:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Θα χρειαστούμε το ακόλουθο βασικό Θεώρημα της Άλγεβρας χώρων \textlatin{Banach}:
Έστω E χώρος \textlatin{Banach}, f\in L(E,E), ||f||<1. Τότε η 1_{E}-f αντιστρέφεται.

Έστω ότι Iso(E,F) όχι κενό και u_{o}\in Iso(E,F).

Για να δείξουμε το ζητούμενο αρκεί να δ.ο κάθε u\in L(E,F) αρκετά κοντά στο u_{o} παραμένει ισομορφισμός, δηλ. να υπάρχει μια μικρή περιοχή γύρω από το u_{o} τ.ω. τα στοιχεία του L(E,F) που ανήκουν σ'αυτήν να παραμένουν ισομορφισμοί.

u\in L(E,F) ισομορφισμός αν (u_{o}^{-1})o u:E\rightarrow E ισομορφισμός, δηλ. αν υπάρχει αντιστρέψιμο στοιχείο το οποίο να ανήκει στο L(E,F).

Θέτουμε (u_{o}^{-1})o u=1-\epsilon. Τότε,
\epsilon=1-(u_{o}^{-1})ou=u_{o}^{-1}ο(u_{o}-u)
=>||\epsilon||=||u_{o}^{-1}ο(u_{o}-u)||\leq ||u_{o}^{-1}||.||u_{o}-u||.
Αν ||u_{o}-u||<1/||u_{o}^{-1}||, τότε ||\epsilon||<1 και από το προηγούμενο Θεώρημα, υπάρχει το (1-\epsilon)=(u_{o}^{-1}o u)^{-1}\in L(E,E).

Με τη βοήθεια αυτού, αποδεικνύονται επίσης 2 άλλα σημαντικά πορίσματα:
1) Η συνάρτηση \alpha :Iso(E,F)\rightarrow Iso(E,f) με f\rightarrow f^{-1} είναι συνεχής και

2) Η \alpha\in\mathhb{C}^{1}(Iso(E,F)) και το διαφορικό της είναι
[D\alpha(u)](h)=-u^{-1}ohou^{-1}, για u\in Iso(E,F), h\in L(E,F). [Κατ'αναλογία με το ότι (1/x)&#39;=-1/x^{2}].

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group