forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 16 Δεκ 2018, 15:17

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση μιγαδικών - Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατ.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Φεβ 2011, 23:47 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 23:54
Δημοσ.: 35
Τοποθεσια: Αθηνα
(α)Αν {z^2}-z+1=0 με z \in C, δείξτε ότι z^3=-1 και |z|=1

(β) Δίνονται οι μιγαδικοί {z_1},{z_2} \in {C^*} για τους οποίους ισχύει: \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=1

i)Δείξτε ότι: (\frac{z_1}{z_2})^{2000}+(\frac{z_2}{z_1})^{2000}=-1
ii)Αν A(z_1), B(z_2) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.


Στο (α) είμαστε εντάξει. Το (β) αδυνατώ να αποδείξω. Αλλά αφού είναι στην ίδια άσκηση μήπως έχει κάποια σχέση με το (α);

_________________
Εικόνα
Ο Λιάπης κυλάει
εκδίκηση ζητάει!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση μιγαδικών - Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατ.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Φεβ 2011, 00:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Για το (β), θέτεις z=\frac{z_1}{z_2}. Τότε z+\frac{1}{z}=1\Rightarrow z^2-z+1=0, άρα από το (α) έχεις ότι z^3=-1. Τότε z^{2000}=z^{3\cdot 666}\cdot z^2=z^2 και \left(\frac{1}{z}\right)^{2000}=\left(\frac{1}{z}\right)^2, άρα \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{2000}+\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^{2000}=z^2+\frac{1}{z^2}=\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-2=-1.

Για το (γ), από το (β) έχεις ότι \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=1\Rightarrow|z_1|=|z_2|, και z_1^2+z_2^2=z_1z_2\Rightarrow z_1^2=z_2(z_2-z_1)\Rightarrow |z_1|=|z_1-z_2|. Άρα το OAB είναι ισόπλευρο.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση μιγαδικών - Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατ.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Φεβ 2011, 01:14 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 23:54
Δημοσ.: 35
Τοποθεσια: Αθηνα
Σ'ευχαριστώ πολύ!

_________________
Εικόνα
Ο Λιάπης κυλάει
εκδίκηση ζητάει!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group