forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Απρ 2018, 18:59

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 35 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Οκτ 2009, 20:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Μιας που την έγραψα εγώ, ας δώσω εγώ και τη λύση. Λοιπόν έχουμε ότι:
(\alpha + \beta)^{2} \geq 4\alpha\beta \Rightarrow \alpha \leq \frac{1}{4\beta} \Rightarrow \frac{1}{\alpha} \geq 4\beta. Ομοίως μπορούμε να δείξουμε την αντίστοιχη σχέση για το \beta και επομένως έχουμε ότι

\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)^{2} + \left(\beta + \frac{1}{\beta}\right)^{2} \geq (\alpha + 4\beta)^{2} + (\beta + 4\alpha)^{2} = 16 \alpha^{2} + 8 \alpha \beta + \beta^{2} + 16 \beta^{2} + 8 \alpha \beta + \alpha^{2} = = 17(\alpha^{2} + \beta^{2}) + 16 \alpha \beta = 17\left[(\alpha + \beta)^{2} - 2 \alpha \beta) \right] + 16 \alpha \beta = 17 - 18 \alpha \beta

Παρατηρούμε τώρα ότι 4 \alpha\beta \leq 1 \Rightarrow 36 \alpha \beta \leq 9 \Rightarrow 34 - 36 \alpha \beta \geq 25 \Rightarrow 17 - 18 \alpha \beta \geq \frac{25}{2} και έτσι έπεται το συμπέρασμα.

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Τελευταία επεξεργασία απο stelvit την 26 Οκτ 2009, 20:39, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Οκτ 2009, 20:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Ας βάλω και την ξαδέλφη της:

Έστω \alpha, \beta > 0 με \alpha + \beta = 1. Τότε να δείξετε ότι \left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)^{3} + \left(\beta + \frac{1}{\beta}\right)^{3} \geq 20

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Οκτ 2009, 21:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4267
Ξερει κανεις κανα βιβλιο με τετοιου επιπεδου πανω κατω ασκησεων για Α λυκειου ειτε στο εμποριο ειτε στο ιντερνετ πουθενα?
Η καμια σελιδα που χει τιποτα τετοιες ασκησεις
γιατι ψαχνω και δε βρισκω

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2009, 01:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Τέτοιες λέγοντας εννοείς σαν αυτή που έβαλα εγώ; Από ότι θυμάμαι από όταν ήμουν μαθητής την άσκηση αυτή με τα τετράγωνα την είχε το βιβλίο Ασκήσεις Α' λυκείου του Α. Τραγανίτη, εκδόσεις Σαββάλας. Θεωρητικά θα υπάρχει ακόμα αυτό το βιβλίο, προτείνω και το αντίστοιχο των Τζιρώνη - Τζουβάρα.

Ωστόσο η άσκηση με τους κύβους ήταν θέμα σε κάποιο διαγωνισμό Ευκλείδη (αν δεν κάνω λάθος) της Μαθηματικής Εταιρείας.

Γενικά αν κάποιος θέλει ασκήσεις κάποιου ανωτέρου επιπέδου καλύτερη επιλογή είναι η περιοδική έκδοση Ευκλείδης Β' της Μαθηματικής Εταιρείας.

Για βιβλία σε ηλεκτρονική μορφή μπορείς να ψάξεις στη σελίδα http://free-ebooks.gr ωστόσο δεν γνωρίζω αν έχει ακριβώς αυτό που ζητάς!

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2009, 23:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4267
Ευχαριστω stelvit για την απαντηση :D

Οποιος μπορει να βοηθησει,εχω κολλησει σε αυτην την ασκηση

Παράθεση:
Να γίνει παραγοντοποιηση
x^3 + (x^3 +1 + x - x^2)^2


Αμα κανεις πραξεις
x^6 -2x^5 +3x^4 + x^3-x^2 +2x+1

μετα βγαινουν καποιοι κοινοι παραγοντες πχ μπορω να το κανω

x^4(x-1)^2 +2x^4+x^3-x^2+2x+1

και μετα παλι γινεται να προχωρησει απλα δε βλεπω αν γινεται να γινει της μορφης
(...)\cdot(...)\cdot(...)

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Οκτ 2009, 00:28 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Οκτ 2008, 22:37
Δημοσ.: 16
x^3+{(x^3+1+x-x^2)}^2}=x^3+1+{(x^3+1+x-x^2)}^2-1

=(x+1)(x^2-x+1)+(x^3+x-x^2)(x^3+x-x^2+2)

=(x+1)(x^2-x+1)+x(x^2-x+1)(x^3+x-x^2+2)

=(x^2-x+1)(x^4-x^3+x^2+3x+1)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Οκτ 2009, 00:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Μιας που πρόλαβε ο φίλος Juki, να ρωτήσω και γω μία άσκηση:

Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο x^{4} + 1

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Οκτ 2009, 16:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4267
Ευχαριστω πολυ για τη λυση :D
δε τα βλεπω αυτα,δεν την παλευω μ'αυτες τις ασκησεις :P

Για το πολ/μο x^4+1

Αν δεν κανω λάθος

x^4+1=(x^2)^2+1^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1+\sqrt{2}x)

Και μια άλλη ασηση που χω κολλησει(δε βρισκω κατι καλο)

ΑΝ
2ab^2+ab+3=4b^2+2b+a

να προσδιοριστουν τα a,b

αμα μπορει κανεις να βοηθησει

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Οκτ 2009, 18:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Έχουμε:
2ab^2+ab+3=4b^2+2b+a\Leftrightarrow 2ab^2-4b^2+ab-2b+3-a=0\Leftrightarrow (2b^2+b-1)(a-2)=-1.

Αυτή έχει άπειρες λύσεις, για κάθε τιμή του b προκύπτει τιμή για το a που να την ικανοποιεί.

Μήπως το 3 στο πρώτο μέλος είναι 2;

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Οκτ 2009, 18:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4267
Οχι 3 ειναι ή τουλαχιστον ετσι φαινεται γιατι ειναι χειρογραφη η ασκηση
Περιεργως ειχα φτασει σ'αυτη τη λυση αλλα δε μπορεσα να σκεφτω κατι

Για τις τιμες που μηδενιζεται πχ για b=\frac{1}{2} εχω 0\cdot(a-2)=-1

μηπως πρεπει να τις εξαιρεσω τις τιμες που μηδενιζονται?

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Οκτ 2009, 18:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Ναι, πρέπει να τις εξαιρέσεις. Από την (2b^2+b-1)(a-2)=-1, αν b\in\mathbb R και 2b^2+b-1\neq 0, δηλαδή όταν b\neq -1,\frac{1}{2}, έχεις ότι (a,b)=\left(\frac{-1}{2b^2+b-1}+2,b\right). Αυτές είναι όλες οι λύσεις.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Οκτ 2009, 03:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Σωστός ο barney. Ας βάλω μια πιο ενδιαφέρουσα. Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο x^{5} + x + 1

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Οκτ 2009, 04:43 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Οκτ 2008, 22:37
Δημοσ.: 16
x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1=

x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Οκτ 2009, 13:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Ωραίος! Εγώ έκανα το ακόλουθο:
x^{5} + x + 1 = x^{5} + x^{4} - x^{4} + x^{3} - x^{3} + x^{2} - x^{2} + x + 1 = x^{5} + x^{4} + x^{3} - (x^{4} + x^{3} + x^{2}) + x^{2} + x + 1 = = x^{3}(x^{2} + x + 1) - x^{2}(x^{2} + x + 1) + (x^{2} + x + 1) = (x^{3} - x^{2} + 1)(x^{2} + x + 1)

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Α Λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Νοέμ 2009, 18:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 04 Ιούλ 2007, 10:04
Δημοσ.: 1205
Τοποθεσια: Παλαιό φάληρο
a^2+b^2+c^2 \geq ab + bc +ca

Έχει κολλήσει το μυαλό μου... Μία βοήθεια :oops:

_________________
A \spadesuit \hspace{5} \ K \spadesuit \hspace {5} Q \spadesuit  \hspace {5} J \spadesuit \hspace {5} 10\spadesuit
Αν δεν έχεις καταλάβει τα πρώτα 10 λεπτά ποιός είναι το θύμα...
Καλύτερα να φύγεις.. Το θύμα είσαι εσύ..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 35 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group