forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 26 Σεπ 2017, 20:19

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Βοήθεια σε άσκηση Γ' λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Ιουν 2017, 14:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 222
Εικόνα

Παιδιά μπορεί κάποιος να βοηθήσιε για το τελευταίο ερώτημα??

απο το δεδομένο του Δ) ερωτήματος προκύπτει οτι f'(1) = f(1)

Τώρα πως προκύπτει οτι f''(ρ) = 0 ??

Mε Roll σκεφτηκα, αλλα δεν ξέρω αν ισχύει η 3η συνθήκη του Θ. Rolle.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2017, 12:46 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Μάιος 2017, 19:06
Δημοσ.: 3
Θέλουμε να βρούμε έναν αριθμό \rho\in(0,1) τέτοιο ώστε αυτός να είναι πιθανό σημείο καμπής της f, δηλαδή θέλουμε μία ρίζα της f''.

Εκμεταλλευόμενοι τη δοσμένη σχέση, με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, έχουμε:
0=\int_0^1xf''(x)dx = f'(1)-0-\int_0^1f'(x)dx=f'(1)-(f(1)-f(0))

Επομένως,
f'(1)=f(1)-f(0)

Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι:
-f συνεχής στο [0,1] (εξ υποθέσεως),
-f παραγωγίσιμη στο (0,1) (εξ υποθέσεως),

επομένως ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [0,1] για την f, άρα υπάρχει \xi\in(0,1) τέτοιο ώστε f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)-f(0)=f'(1).

Παρατηρούμε τώρα ότι:
-f' συνεχής στο [0,1] (εξ υποθέσεως),
-f' παραγωγίσιμη στο (0,1) (εξ υποθέσεως),
-f'(1)=f'(\xi), όπου \xi\in(0,1),

επομένως ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle στο (\xi,1)\subset(0,1) για την f', άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα \rho\in(0,1) τέτοιο ώστε f''(\rho)=0, που ήταν το ζητούμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2017, 13:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 222
Άμαν εγώ γιατί έβαλα f(0)=0 ??
Ευχαριστώ φίλε, πολύ ωραία άσκηση τελικά αυτή!!! Να'σαι καλα!! :))


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' λυκείου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2017, 15:52 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Μάιος 2017, 19:06
Δημοσ.: 3
Τίποτα! :)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group