forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 13 Νοέμ 2018, 22:41

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Σεπ 2016, 22:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Σε μία άσκηση των Μαθηματικών Κατεύθυνσης έλεγε να βρουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, η οποία ήταν:

f(x)=\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{2-x}

Απο περιέργεια κοίταξα στις λύσεις να δω αν έχει επιτρέψει στο κυβικό υπόριζο να παίρνει τιμές σε όλο το \mathbb{R} και είδα ότι έχει πάρει τον περιορισμό x-1 \geq 0

Αυτό όμως δεν είναι λάθος?


Για παράδειγμα,


\sqrt[3]{-8}=-2 αφού

(-2)^3=-8


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Σεπ 2016, 06:05 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 29 Ιουν 2016, 04:14
Δημοσ.: 5
κανονικά ισχύει αυτό που λες απλα στο σχολείο τα μαθαίνουν αλλιώς για εκπαιδευτικούς λόγους και απαιτούν το υπόρριζο να ειναι πάντα θετικό και όχι μόνο όταν η ρίζα είναι άρτια


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Νοέμ 2018, 13:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Ιούλ 2010, 18:16
Δημοσ.: 155
Καλησπέρα!Αν στις πανελλαδικές μαθητής δεν πάρει περιορισμό για το υπόρριζο στην κυβική ρίζα θεωρείται λάθος;Θα ήθελα τη γνώμη των συναδέλφων.Επίσης, αν κάποιος από τους αξιότιμους καθηγητές μας απαντήσει θα είμαι ευγνώμων.Ευχαριστώ εκ των προτέρων!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Νοέμ 2018, 15:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Ιούλ 2010, 18:16
Δημοσ.: 155
Κανένας;;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Νοέμ 2018, 16:33 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 29 Σεπ 2016, 17:15
Δημοσ.: 24
Γενικά το πεδίο ορισμού της πραγματικής συνάρτησης ν-οστή ρίζα είναι το [0,+οο). Μπορούμε ωστόσο να επεκτείνουμε αυτή τη συνάρτηση στους μιγαδικούς θεωρώντας τη μιγαδική ν-οστή ρίζα. Ωστόσο σε αυτή την περίπτωση 3η ριζα(-1)=(1+iριζα(3))/2 και όχι -1. Ελπίζω να βοήθησα :)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Νοέμ 2018, 01:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 318
Τοποθεσια: United States of America
Γενικα αν x ειναι ενας μη αρνητικος πραγματικος αριθμος τοτε αποδεικνυεται οτι υπαρχει μοναδικος μη αρνητικος πραγματικος y ωστε y^n=x.Αρα μπορουμε να ορισουμε τον αριθμο y ως την n-οστη ριζα του x. Στους μιγαδικους τα πραγματα ειναι διαφορετικα επειδη η εξισωση y^n=x εχει ακριβως n ριζες λογω του θεμελιωδους θεωρηματος της αλγεβρας. Γενικα καθε ενας απο αυτους τους αριθμους καλειται n- οστη ριζα του x. Βεβαια θελουμε να ορισουμε τη συναρτηση n οστη ριζα τους μιγαδικους οποτε πρεπει να δουμε ποιο απο αυτα τα n το πληθος y θα επιλεξουμε. Συνηθως στα βιβλια της μιγαδικης αναλυσης αν x ειναι μιγαδικος και x=r e^iθ οπουε r=|x| και θ το ορισμα του x που ανηκει στο (-π,π] τοτε οριζουμε y=r^(1/n) e^{iθ/n}.
Συμφωνα με αυτον τον ορισμο η τριτη ριζα του -1 ειναι (1+ριζα(3)i)/2.Παρολα αυτα το -1 ειναι μια απο της τριτες ριζες του -1.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Νοέμ 2018, 11:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Ιούλ 2010, 18:16
Δημοσ.: 155
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις!Στον Εφαρμοσμένο Απειροστικό Λογισμό του κ. Τσίτσα στη σελ. 215,
υπάρχει το εξής παράδειγμα

Η συνάρτηση f:R→R, f(x)=2x^3-1 είναι 1-1 και επί του R και η αντίστροφή της είναι η
συνάρτηση:
f^(-1):R→R , f^(-1) (y)=∛((y+1)/2)
Οπότε η αντίστροφή της είναι∶ f^(-1):R→R με f^(-1) (x)=∛((x+1)/2)

Δηλαδή δεν παίρνει περιορισμό για το υπόρριζο της κυβικής ρίζας.Εδώ τι γίνεται; Μήπως επειδή ισχύει * στο σύνολο των μιγαδικών ισχύει και στο σύνολο των πραγματικών ( λόγω του ότι το R είναι υποσύνολο του C);

* Ένας ορισμός που είναι καθιερωμένος είναι: Αν α∈C και ν ακέραιος θετικός, ν –οστή ρίζα
του α είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός β που ικανοποιεί τη σχέση β^ν=α
( σύμφωνα με τον κ. Ράπτη )


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Νοέμ 2018, 12:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4296
Αν σε ενδιαφέρει καθαρά σχολικά ,πανελλαδικές κλπ και όχι μαθηματικά, ψάξτο και στο
https://www.mathematica.gr/forum/app.php/portal
που ναι πιο πορωμένοι εκεί με αυτά

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Νοέμ 2018, 12:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Ιούλ 2010, 18:16
Δημοσ.: 155
Από ότι κατάλαβα σε σχολικό επίπεδο πρέπει να παίρνουμε περιορισμό.Σε επιστημονικό επίπεδο όμως δεν ισχύει αυτό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Νοέμ 2018, 02:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 318
Τοποθεσια: United States of America
Αν παρεις f:R->R με f(x)=2x^3-1 τοτε η αντιστροφη της ειναι f^(-1):R->R με f^(-1)(x)= sign((x+1)/2) τριτη-ριζα(|(x+1)/2|) οπου sign(y) ειναι το προσημο του y δηλαδη 1 αν y>0, -1 αν y<0
και 0 αν y=0.
Οπως βλεπεις σε αυτη τη περιπτωση το υποριζο ειναι |(x+1)/2| που ειναι μη αρνητικο.
Παρολαυτα αν παρεις εναν αλλο κλαδο της n-οστης ριζας οπως οριζεται στους μιγαδικους,δηλαδη για z=r e^iθ οπου r=|x| και θ το ορισμα του z ωστε θ ανηκει το (π,3π] παρεις n-οστη ριζα(z)= r^(1/n)e^(iθ/n) τοτε εχουμε τριτη-ριζα((x^3)=x για καθε x αρνητικο αριθμο.Αυτος ο κλαδος της ριζας δεν ειναι ο κυριος κλαδος,που εγραψα στο προηγουμενο post μου.
Παρατηρησε οτι με αυτον τον κλαδο της ριζας εχουμε f^(-1)(x)=τριτη-ριζα((x+1)/2) αν (x+1)/2 <0.Βεβαια με αυτον τον κλαδο εχουμε οτι η n-οστη ριζα ενος θετικου αριθμου οπως οριζεται στους μιγαδικους δεν συμπιπτει με την συνηθη n-οστη ριζα.Αυτος ειναι ο λογος που οριζουμε την n-οστη ριζα ενος μιγαδικου αριθμου να ειναι αυτη που εγραψα στο προηγουμενο post μου,ακριβως για να ειναι επεκταση της συνηθης n-οστης ριζας στους θετικους αριθμους.
Γενικα στα σχολικα μαθηματικα απαιτουμε το υποριζο να ειναι μη αρνητικο.
Οποτε στο βιβλιο του κ.Τσιτσα αν καταλαβα καλα οριζει την τριτη ριζα στο R ναι ειναι τριτη-ριζα(x)= sign(x) τριτη-ριζα(|x|) που δεν ειναι τιποτα παραπανω απο μια συμβαση.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Νοέμ 2018, 11:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Ιούλ 2010, 18:16
Δημοσ.: 155
Σας ευχαριστώ πολύ!Είσαστε πολύ επεξηγηματικός! Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ο κ. Τσίτσας δεν παίρνει περιορισμό.Οπότε όλα οκ!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group