forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 16 Δεκ 2017, 18:38

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Απορία σε άσκηση Γεωμετρίας Β' Λυκείου!
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2015, 06:38 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Ιουν 2012, 07:26
Δημοσ.: 12
Καλημέρα!

Παρακαλώ πολύ μπορεί να μου δώσει κάποιος καμία ιδέα για το πώς λύνεται η παρακάτω άσκηση Γεωμετρίας Β' Λυκείου; Η εκφώνηση της άσκησης είναι η εξής:
Δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α. Έστω ΑΗ=d η απόσταση του Α από την κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων. Να αποδειχθεί ότι 2/d=1/R+1/ρ.

Σας ευχαριστώ πολύ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία σε άσκηση Γεωμετρίας Β' Λυκείου!
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Ιαν 2015, 01:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 19:18
Δημοσ.: 3078
Τοποθεσια: Από δω κι από κεί.
Η ζητούμενη σχέση γράφεται ισοδύναμα d=\frac{2rR}{R+r}

Αν πάρεις M το σημείο επαφής της εφαπτομένης στον κύκλο Κ,R και Θ το σημείο επαφής στον κύκλο Λ,ρ έχεις 3 τραπέζια (εφαπτομένη και ακτίνα είναι πάντα κάθετες στο σημείο επαφής), τα ΚΑΗΜ, ΑΛΘΗ και ΚΛΘΜ. Προφανώς ΚΑ = R, ΛΑ = ρ (το οποίο στη λύση έχω βάλει r για ευκολία δική μου :P ).

Έχουμε ότι το άθροισμα των 2 μικρών εμβαδών πρέπει να σου δίνει το μεγάλο, άρα

\frac{(d+R)MH}{2}+\frac{(d+r)H\Theta}{2}=\frac{(R+r)M\Theta}{2} ή ισοδύναμα
{(d+R)MH}+(d+r)H\Theta}=(R+r)M\Theta
ΜΘ = ΜΗ + ΗΘ άρα η τελευταία γίνεται
dMH+RMH+dΗΘ+rΗΘ=rMH + rΗΘ+RMH + RHΘ
δηλαδή
dMH+dΗΘ=rMH+RΗΘ

Από το θεώρημα του Θαλή έχουμε λόγω της παραλληλίας \frac{H\Theta}{MH}=r/R
Άρα η προηγούμενη σχέση διαιρώντας με ΜΗ γίνεται
d+d\cdot\frac{r}{R}=r+R\frac{r}{R}
απ όπου με πράξεις καταλήγεις στο ζητούμενο d=\frac{2rR}{R+r}

Πιθανόν να υπάρχει και ωραιότερη λύση αλλά δεν έχω πολύ χρόνο να το δω περισσότερο.

_________________
Γι' αυτό σου λέω.
Την άλλη φορά που θα μας ρίξουνε
να μην την κοπανήσουμε. Να ζυγιαστούμε.
Μην ξεπουλήσουμε φτηνά το τομάρι μας ρε.
Μη. Βρέχει. Δόσμου τσιγάρο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group