forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2018, 05:37

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ρυθμός Μεταβολής (Παράγωγος)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Δεκ 2011, 00:13 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 04 Δεκ 2011, 21:18
Δημοσ.: 43
Ένα σημείο Μ κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=(x-2)^3 για x \ge 2. H τετμημένη του Μ κινείται με σταθερό ρυθμό 1cm/sec. Nα βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C_{f} στο Μ με τον άξονα x'x τη στιγμή που αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση \epsilon: 3x-y=2007. (Η συγκεκριμένη άσκηση έχει αναρτηθεί από τον Christiano)

Ξέρουμε: x_o'(t)=1
Έστω M(x_o(t),f(x_o(t))
Παραγωγίζοντας την f έχουμε: f'(x(t)) = 3(x(t)-2)^2x'(t)
Από την ευθεία (ε) είναι γνωστό ότι f'(x_o(t))=3~\Rightarrow~3(x_o(t)-2)^2x_o'(t)=3~\Rightarrow~x_o(t)=3
Ύστερα:
f'(x(t))=\epsilon\phi(\theta) ~\Rightarrow~f''(x(t)) = \frac{\theta'(t)}{\sigma\upsilon\nu^2(\theta)} ~\Rightarrow~\theta'(t)=f''(x(t))\sigma\upsilon\nu^2(\theta)(1)
Παραγωγίζοντας την f' έχουμε: f''(x(t))=6(x(t)-2)(x'(t))^2 + 3(x(t)-2)^2x''(t) (2)

Και μετά για πείτε μου ιδέες...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ρυθμός Μεταβολής (Παράγωγος)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Δεκ 2011, 06:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Μαρ 2007, 22:17
Δημοσ.: 163
Τοποθεσια: Kallithea
Πολύ καλά μόνο που συμπεριέλαβες το \theta στην έκφραση του {\theta}'.

Κοίτα τι πρέπει να κάνεις...όπου \varepsilon\phi θα γράφω tan.

για παράδειγμα \varepsilon\phi^{-1} γράφεται και αλλιώς arc\tan ή τόξο εφαπτομένης.

Λοιπόν έχουμε:

\theta(x(t)) = \arctan f'(x(t))

αν πας Wikipedia θα δεις ότι ισχύει :

\frac{d}{dt}\arctan(t) = \frac{1}{1 + t^2}

{\theta}'(x(t))= \frac{d\theta(x(t))}{dt}

{\theta}'(x(t)) = \frac{d\theta(x(t))}{dt} =  \frac{d\arctan f'(x(t))}{dt} = \frac{\frac{df'(x(t))}{dt}}{1 + (f'(x(t)))^2}

\frac{df'(x(t))}{dt} = \frac{d(3(x(t)- 2)^2)}{dt} = 6(x(t)-2)x'(t) = 6(x(t)-2) γιατί

f'(x(t))= 3(x(t)-2)^2x'(t) = 3(x(t)-2)^2 και 6(x(t)-2)x'(t) = 6(x(t)-2) , αφού x'(t)=1  \forall t

όμως βρήκες x(t_0) = 3 άρα
Άρα:

{\theta}'(x(t_0))= \frac{6\cdot 1}{1 + 3^2} = \frac{6}{10}

ή

{\theta}'(3) =  \frac{6}{10}

ίσως ο Christiano ή κάποιος άλλος το εξηγήσει καλύτερα , ας περιμένουμε...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ρυθμός Μεταβολής (Παράγωγος)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Δεκ 2011, 19:52 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 04 Δεκ 2011, 21:18
Δημοσ.: 43
Ευχαριστώ Νίκο!..σε έχασα όμως σε ένα σημείο..\frac{d\theta(x(t))}{dt} =  \frac{d\arctan f'(x(t))}{dt} , γιατί δεν έχω ασχοληθεί με τόξα..μπορείς να μου το εξηγήσεις αν έχεις χρόνο??


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ρυθμός Μεταβολής (Παράγωγος)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Δεκ 2011, 00:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 22 Μαρ 2007, 22:17
Δημοσ.: 163
Τοποθεσια: Kallithea
Έψαξα και βρήκα το ίδιο πρόβλημα πάλι από τον Christiano στο mathematica.gr.

Δες http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=19466


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ρυθμός Μεταβολής (Παράγωγος)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Δεκ 2011, 00:38 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 04 Δεκ 2011, 21:18
Δημοσ.: 43
Thanks Νίκο!..πάω να δω και εκείνη τη λύση...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group