forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Νοέμ 2014, 10:20

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεωρημα Taylor.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2011, 01:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 651
Χαζεύοντας κάτι μαθηματικά στο wikipedia είδα εδώ : http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series πως η σειρα Taylor της \ln (1+x) για χ>1 δεν προσεγγίζει καθόλου τη συνάρτηση.Ενώ στο μάθημα γενικά ο βαθμός του πολυνώμου Taylor πάει στο άπειρο η προσέγγιση γίνεται πολύ καλή.Τι παίζει εδώ μπορεί να εξηγήσει κάποιος?

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρημα Taylor.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2011, 08:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Οχι μονο δεν προσεγγιζει τη συναρτηση αλλα δε συγκλινει καν. Πολυ συνοπτικα :

Η συναρτηση \ln (1+z) στους μιγαδικους εχει ανωμαλια (σημειο κλαδου) στο -1. Αυτο σημαινει οτι η σειρα Taylor γυρω απο το 0 δε θα συγκλινει για |z| > 1 και, περιοριζομενοι στους πραγματικους, δε θα συγκλινει για |x| > 1. (Για τον ιδιο λογο που δε συγκλινει και η σειρα Taylor της \sqrt{1 + x} για x > 1). Για x < 1 ομως συγκλινει αρκετα γρηγορα. Για x = 1 παλι συγκλινει, αλλα αργα.

Εναλλακτικα :

Καθε δυναμοσειρα εχει μια ακτινα συγκλισης R. Για |x| < R συγκλινει, ενω για |x| > R αποκλινει. (Για |x| = R εξαρταται). Στην περιπτωση των συναρτησεων e^x, \sin x, \cos x η ακτινα ειναι απειρη. Στην περιπτωση των \ln (1+x), \sqrt{1 + x} ειναι 1.

Καλα να περνας,

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρημα Taylor.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Οκτ 2011, 19:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 651
Ναι κατάλαβα το πόιντ σου.Απλά αυτά περί σημείου ανωμαλίας σε ποιο μάθηματα κάνεις?

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρημα Taylor.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Οκτ 2011, 23:50 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 21 Σεπ 2010, 02:26
Δημοσ.: 65
Δηλαδή για x>1 δεν υπάρχει πολυώνυμο που να προσεγγίζει πολύ καλά την ln(x+1) ; :shock:

ή μπορούμε να πάρουμε διαφορετικό πολυώνυμο taylor με κέντρο x_0 διαφορετικό του 0 ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρημα Taylor.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2011, 12:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1887
otinanai έγραψε:
Χαζεύοντας κάτι μαθηματικά στο wikipedia είδα εδώ : http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series πως η σειρα Taylor της \ln (1+x) για χ>1 δεν προσεγγίζει καθόλου τη συνάρτηση.Ενώ στο μάθημα γενικά ο βαθμός του πολυνώμου Taylor πάει στο άπειρο η προσέγγιση γίνεται πολύ καλή.Τι παίζει εδώ μπορεί να εξηγήσει κάποιος?
Η προσέγγιση γίνεται πολύ καλή. Αλλά το θέμα είναι, ποια προσέγγιση; Η σειρά Taylor μιας συνάρτησης, αναπτύσσεται γύρω από ένα σημείο της συνάρτησης. Άρα προσεγγίζει (όλο και καλύτερα καθώς αυξάνει ο βαθμός) τη συνάρτηση γύρω από το σημείο αυτό. Αυτό το γύρω πόσο κοντά θα είναι, εξαρτάται από την συνάρτηση και το σημείο. Μπορεί να φτάσει να πιάνει όλη τη συνάρτηση όπως στο ημίτονο/συνημίτονο, μπορεί και όχι.
Η ln(x+1) δεν προσεγγίζει τη συνάρτηση για x>1 αν την αναπτύξεις με κέντρο το μηδέν, αν την αναπτύξεις πχ γύρω από το x=3, θα την προσεγγίζει και για κάποια x>1 (και συγκεκριμένα για κάποια κάποια x γύρω από το 3 - ακτίνα σύγκλισης). Μπορείς να το δεις αυτό και γραφικά από εδώ (πάτα το κουμπάκι More terms στη γραφική παράσταση να βλέπεις πως μεταβάλετε με το πλήθος των όρων της σειράς η προσέγγιση).

Anastasis1 έγραψε:
Δηλαδή για x>1 δεν υπάρχει πολυώνυμο που να προσεγγίζει πολύ καλά την ln(x+1) ; :shock:
Αν την ορίσεις σε κλειστό διάστημα σίγουρα υπάρχει. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα μπορεί προσεγγιστεί από πολυώνυμο (θεώρημα Weierstrass - το κάνουμε στην πραγματική).

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρημα Taylor.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2011, 13:00 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 21 Σεπ 2010, 02:26
Δημοσ.: 65
eliascm21 έγραψε:
otinanai έγραψε:
Χαζεύοντας κάτι μαθηματικά στο wikipedia είδα εδώ : http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series πως η σειρα Taylor της \ln (1+x) για χ>1 δεν προσεγγίζει καθόλου τη συνάρτηση.Ενώ στο μάθημα γενικά ο βαθμός του πολυνώμου Taylor πάει στο άπειρο η προσέγγιση γίνεται πολύ καλή.Τι παίζει εδώ μπορεί να εξηγήσει κάποιος?
Η προσέγγιση γίνεται πολύ καλή. Αλλά το θέμα είναι, ποια προσέγγιση; Η σειρά Taylor μιας συνάρτησης, αναπτύσσεται γύρω από ένα σημείο της συνάρτησης. Άρα προσεγγίζει (όλο και καλύτερα καθώς αυξάνει ο βαθμός) τη συνάρτηση γύρω από το σημείο αυτό. Αυτό το γύρω πόσο κοντά θα είναι, εξαρτάται από την συνάρτηση και το σημείο. Μπορεί να φτάσει να πιάνει όλη τη συνάρτηση όπως στο ημίτονο/συνημίτονο, μπορεί και όχι.
Η ln(x+1) δεν προσεγγίζει τη συνάρτηση για x>1 αν την αναπτύξεις με κέντρο το μηδέν, αν την αναπτύξεις πχ γύρω από το x=3, θα την προσεγγίζει και για κάποια x>1 (και συγκεκριμένα για κάποια κάποια x γύρω από το 3 - ακτίνα σύγκλισης). Μπορείς να το δεις αυτό και γραφικά από εδώ (πάτα το κουμπάκι More terms στη γραφική παράσταση να βλέπεις πως μεταβάλετε με το πλήθος των όρων της σειράς η προσέγγιση).

Anastasis1 έγραψε:
Δηλαδή για x>1 δεν υπάρχει πολυώνυμο που να προσεγγίζει πολύ καλά την ln(x+1) ; :shock:
Αν την ορίσεις σε κλειστό διάστημα σίγουρα υπάρχει. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα μπορεί προσεγγιστεί από πολυώνυμο (θεώρημα Weierstrass - το κάνουμε στην πραγματική).


Ωραίος,ευχαριστούμε. Μια ερώτηση ακόμα -αν και θα το δω λογικά στη πραγματική- ,απ'ότι βλέπω το θεωρήμα weierstrass αποδεικνύει την ύπαρξη πολυωνύμου,υπάρχει και τρόπος να το υπολογίζουμε; (πχ για την ln(x+1) στο [0,10^{10}] )


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρημα Taylor.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2011, 13:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1887
Ναι η απόδειξη του θεωρήματος σου δίνει και τα πολυώνυμα τα οποία προσεγγίζουν στη συνάρτηση, τα πολυώνυμα Bernstein.

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group