forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 16:30

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Αύγ 2014, 21:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
Γειά!

Έστω οι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X,Y οι οποίες ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή στο [0,1], και η τυχαία μεταβλητή Z=X+Y. Η πυκνότητα της Z είναι:
f_{X+Y}(z)=\int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)dx

Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα P(Z \leq m); (m \in \mathbb{R}^+)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Αύγ 2014, 08:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4227
http://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%8 ... stribution
Για την πυκνότητα παίρνεις περιπτώσεις (αυτό που γραψες είναι η μια περίπτωση)
Ξέρεις

0<y<1 όμως y=z-x


άρα z-1<x<z

και ακόμα γνωρίζεις ότι 0<x<1

θες να βρεις τα μικρότερα διαστήματα που παράγονται από την τομή αυτών των δύο ανάλογα με τις τιμές που παίρνει το z

Αν z-1>0
τότε z-1<x<1 και κάνοντας τις πράξεις f(z)=2-z

Αν z-1<0

τότε 0<x<z και κάνοντας τις πράξεις f(z)=z


Οπότε τελικά έχεις αυτό ΑΛΛΑ για z όχι για x

Εικόνα

Για να βρεις το ζητούμενο
αν το m είναι μικρότερο του 1 ολοκληρώνεις μόνο από την πρώτη σχέση δηλαδή

\int_0^m z dz
αν είναι μεγαλύτερο του 1 μικρότερο του 2
\int_0^1 z dz + \int_1^m 2- z dz

μεγαλύτερο του 2 τότε =1
μικρότερο του 0 =0

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Αύγ 2014, 14:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
barney έγραψε:
http://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution
Για την πυκνότητα παίρνεις περιπτώσεις (αυτό που γραψες είναι η μια περίπτωση)
Ξέρεις

0<y<1 όμως y=z-x


άρα z-1<x<z

και ακόμα γνωρίζεις ότι 0<x<1

θες να βρεις τα μικρότερα διαστήματα που παράγονται από την τομή αυτών των δύο ανάλογα με τις τιμές που παίρνει το z

Αν z-1>0
τότε z-1<x<1 και κάνοντας τις πράξεις f(z)=2-z

Αν z-1<0

τότε 0<x<z και κάνοντας τις πράξεις f(z)=z


Οπότε τελικά έχεις αυτό ΑΛΛΑ για z όχι για x

Εικόνα

Για να βρεις το ζητούμενο
αν το m είναι μικρότερο του 1 ολοκληρώνεις μόνο από την πρώτη σχέση δηλαδή

\int_0^m z dz
αν είναι μεγαλύτερο του 1 μικρότερο του 2
\int_0^1 z dz + \int_1^m 2- z dz

μεγαλύτερο του 2 τότε =1
μικρότερο του 0 =0


Πώς ξέρουμε ότι έχουμε αυτή την κατανομή και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για την f;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Αύγ 2014, 18:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
barney έγραψε:
http://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution
Για την πυκνότητα παίρνεις περιπτώσεις (αυτό που γραψες είναι η μια περίπτωση)
Ξέρεις

0<y<1 όμως y=z-x


άρα z-1<x<z

και ακόμα γνωρίζεις ότι 0<x<1

θες να βρεις τα μικρότερα διαστήματα που παράγονται από την τομή αυτών των δύο ανάλογα με τις τιμές που παίρνει το z

Αν z-1>0
τότε z-1<x<1 και κάνοντας τις πράξεις f(z)=2-z

Αν z-1<0

τότε 0<x<z και κάνοντας τις πράξεις f(z)=z


Οπότε τελικά έχεις αυτό ΑΛΛΑ για z όχι για x

Εικόνα

Για να βρεις το ζητούμενο
αν το m είναι μικρότερο του 1 ολοκληρώνεις μόνο από την πρώτη σχέση δηλαδή

\int_0^m z dz
αν είναι μεγαλύτερο του 1 μικρότερο του 2
\int_0^1 z dz + \int_1^m 2- z dz

μεγαλύτερο του 2 τότε =1
μικρότερο του 0 =0


Δηλαδή δεν έχουμε ομοιόμορφη κατανομή,όπου ο τύπος είναι:

f(x)=\frac{1}{b-a} ,a \leq x \leq b και f(x)=0, αλλιώς ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Αύγ 2014, 18:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4227
Εκεί που έχω βάλει την αγγύλη είναι η πυκνότητα του αθροίσματος Z=X+Y, είναι ως προς z, μην κοιτάς που έχει x είναι λόγω κόπυ πειστ από το wikipedia.
Αν αυτό εννοείς.
Αν δεν εννοείς αυτό η X έχει πυκνότητα f(x)=1 όπως και η Y

Δηλαδή έχεις
f(z) = \left\{
\begin{array}{ c l }
z,   &  0\leq z\leq 1 \\
2-z,   &    1 \leq z \leq 2
\end{array}
\right.

και f(x)=1 για 0\leq x\leq 1
και f(y)=1 για 0\leq y\leq 1

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Αύγ 2014, 19:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
barney έγραψε:
Εκεί που έχω βάλει την αγγύλη είναι η πυκνότητα του αθροίσματος Z=X+Y, είναι ως προς z, μην κοιτάς που έχει x είναι λόγω κόπυ πειστ από το wikipedia.
Αν αυτό εννοείς.
Αν δεν εννοείς αυτό η X έχει πυκνότητα f(x)=1 όπως και η Y

Δηλαδή έχεις
f(z) = \left\{
\begin{array}{ c l }
z,   &  0\leq z\leq 1 \\
2-z,   &    1 \leq z \leq 2
\end{array}
\right.

και f(x)=1 για 0\leq x\leq 1
και f(y)=1 για 0\leq y\leq 1


Χρησιμοποιώντας τον τύπο:

f(x) = \left\{
\begin{array}{ c l }
\frac{1}{b-a},   &  a\leq x\leq b \\
0,   &    x<a,x>b
\end{array}
\right.

βρήκα τα εξής:

\int_0^{m} f_{X+Y}(z)dz=\int_0^{m} \int_0^z f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx

f_{X}(x)=\frac{1}{1-0}=1

f_{Y}(z-x)=\frac{1}{z-(z-1)}=1

Οπότε:

\int_0^{m} \int_0^z dxdz=\int_0^{m} zdz=\frac{z^2}{2}|_0^{m}=\frac{m^2}{2}


Είναι σωστό;Ή δεν είναι σωστός ο τύπος για την f;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πώς μπορώ να βρώ την πιθανότητα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Αύγ 2014, 19:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4227
Το
f_{X+Y}(z)=\int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)dx

που λες είναι η μια περίπτωση, πρέπει να πάρεις περιπτώσεις όπως σου λεω στο πρώτο μου ποστ .

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group