forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Σεπ 2017, 16:12

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 25 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Επί τής ερμηνείας τού πυθαγορείου θεωρήματος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Μαρ 2008, 00:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Έλαβα σειράν ηλεκτρονικών επιστολών, που αφορούν τό πυθαγόρειο θεώρημα και τήν ερμηνεία του (μέ τά μάτια τού τότε) μέ τό εξής αίτημα :

«Αθροίζει ο Πυθαγόρας σχήματα» ή «αθροίζει μέτρα». Νά δοθεί σαφής και αιτιολογημένη απάντησις.

Επ’ αυτού λαμβάνω θέσιν ως εξής:


Α) Μέ τά μάτια τού 2008:

Σήμερα δέν υπεισέρχεται θέμα.
Έχουμε ορίσει ευκλείδειο χώρο, έχουμε ταυτίσει τό ευκλείδειο επίπεδο μέ τό [tex]{\mathbb{R}}^{2}[/tex] και η γεωμετρία προκύπτει από τήν δομή τού [tex]{\mathbb{R}}^{2}[/tex], ο οποίος εμφανίζει ιδιότητες που σχετίζονται μέ τήν δομή τού [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ορίζοντας και τήν έννοια τού εσωτερικού γινομένου φέρνουμε σέ άμεση σχέση τίς έννοιες «μέτρο διανύσματος», «μέτρο γωνίας» καί «εμβαδόν παραλληλογράμμου». Η δομή τού [tex]{\mathbb{R}}^{2}[/tex] είναι επομένως αυτή τού διανυσματικού χώρου. Όλα τά άλλα έπονται....

Β) Μέ τά μάτια τού «αρχαίου κόσμου»

1. Πυθαγόρειοι και μαθηματικά

Επικρατεί η άποψις, ότι τά μαθηματικά τών αρχαίων Ελλήνων είχαν γεωμετρικές προσεγγίσεις εις βάρος τών αριθμητικών. Αυτό είναι λάθος, ή αποτελεί, έστω, μερική αλήθεια, που είναι όμως κατανοητή.
Είναι γνωστό, ότι κατά τους πυθαγορείους ισχύει τό : «Τά πάντα είναι αριθμοί» που υπονοεί, ότι τά πάντα εν τή φύσει εκφράζονται μέσω αριθμητικών σχέσεων. Όταν έλεγαν δέ, αριθμοί εννοούσαν φυσικούς αριθμούς.
Οι πυθαγόρειοι ανεκάλυψαν λοιπόν, ότι οι μελωδίες (οι εύηχες δηλαδή ηχητικές ταλαντώσεις) βασίζονται σέ κλίμακα 12 τόνων, οι οποίοι με τήν σειρά τους, ευρίσκονται σέ ομοιόμορφη αναλογία μεταξύ τους. Μεταξύ τών τόνων υπάρχουν πάλιν εξέχουσες αρμονίες καί όλες εκφράζονται μέ μαθηματικές αναλογίες.
Τί γίνεται όμως μέ τους ενδιάμεσους τόνους; Ερευνήσανε λοιπόν οι πυθαγόρειοι και αυτό τό θέμα, ψάχνοντας γιά αρμονικές αναλογίες. Γιά τήν αναλογία 4:3 (τών κυρίως τόνων) αναζήτησαν έναν ενδιάμεσο τόνο χ, έτσι ώστε να ισχύει:
4:χ=χ:3
Σήμερα διακρίνουμε αμέσως, ότι η λύση αυτής τής εξίσωσης δίδει:
+ρίζα(12) καί –ρίζα(12) που όπως βλέπουμε, είναι άρρητοι αριθμοί.!! Έτσι αντιλαμβάνομαι και τό σοκ γιά τό οποίο μιλάνε όλοι...Μέ τούς φυσικούς αριθμούς δέν πάει κανείς μακριά....

Ο δρόμος γιά τήν γεωμετρία είναι πλέον ανοικτός!

(Τό πρόβλημα αυτό οδήγησε στήν γενίκευση:
α:χ=χ:β άρα (μέ σημερινή γραφή)
χ²=αβ
που οδηγεί στό:
«Γιά ένα παραλληλόγραμμο μέ πλευρές α και β να βρεθεί ένα τετράγωνο που να έχει ίδιο εμβαδόν»
Και αυτό λύθηκε, μέ «κανόνα και διαβήτη»)

Όμως και εκεί εμφανίστηκε τό άρρητο, στήν διαγώνιο τού απλού τετραγώνου! Λένε λοιπόν οι πυθαγόρειοι:

2. Τό πυθαγόρειο θεώρημα (μέχρι τής εποχής τού Ευκλείδη)

«Τό άθροισμα τών τετραγώνων τών πλευρών παντός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με τό τετράγωνο τής υποτεινούσης»

Τί εννοούν;
Μά αριθμούς βέβαια, όπως πάντα, η έννοια τού σχήματος, ως σημειοσυνόλου, είναι κατοπινή...
Πού τό γνωρίζουμε;

Μά, ο ΑΡΙΘΜΟΣ είναι γιά τούς αρχαίους, ό,τι γιά μάς τό ΜΕΤΡΟ! Τά μαθηματικά ήταν από τήν εποχή τών πυθαγορείων ΣΥΜ-ΦΩΝΙΑ ΜΕΤΡΟΥ (κυριολεξία, όπως λέμε και σήμερα, η 5η συμφωνία τού Beethoven π.χ.). Γιαυτό και οι πρώτες έρευνες είναι μουσικής φύσεως. Έτσι γίνεται άλλωστε κατανοητή και η έννοια τής αρμονίας, η οποία «πέρασε» και στήν γεωμετρία. Η ίδια μάλιστα ερευνητική μέθοδος (όπως με τήν μουσική) κρατήθηκε και στήν ευκλείδεια γεωμετρία, όπου όλα εκφράζονται με ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ.

Η αντίληψις αυτή αριθμός-μέτρο επέζησε στή γλώσσα μας μέχρι σήμερα:

Οι αριθμοί δέν «αριθμούνται» ή «απαριθμούνται», αλλά ΜΕΤΡΟΥΝΤΑΙ..
Η δασκάλα λέει ακόμη καί σήμερα:
«Μπόμπο ΜΕΤΡΑ μου από τό 1 μέχρι τό 10» Οι υπόλοιπες ευρωπαϊκές γλώσσες π.χ. διαφοροποιούν και στήν καθομιλουμένη μεταξύ τού «αριθμώ» και τού «μετρώ»

Τό πυθαγόρειο θεώρημα αφορά επομένως μέτρα και δέν έχουμε ακόμη λόγους να αμφιβάλλουμε γιαυτό. (Εμείς διακρίνουμε σήμερα σημειοσύνολα και καθ’ ερμηνείαν μέτρα, όμως τό νόημα ήταν τότε σαφέστατο)

3. Εποχή μεταξύ Πυθαγόρα και Ευκλείδη

Μετά τούς πυθαγόρειους άρχισε η εποχή τών κριτών, που κατέδειξαν μέ καυστικό τρόπο τίς εσωτερικές αντιφάσεις τών κραταιών αντιλήψεων και οδήγησαν στα γνωστά παράδοξα. Ο Παρμενίδης (πυθαγόρειος αρχικά) ο Ζήνων και οι Ελεάτες γενικώς, ασχολήθησαν μέ τά παράδοξα, που προκύπτουν από τίς αφηρημένες έννοιες τού «ενός», τού «όλου» τού «είναι» και τής «κίνησης». Μέ τά άρρητα, έχουμε και τίς γνωστές αντιπαραθέσεις γιά τό άπειρο...

Ούτε εδώ έχουμε λόγους να αμφιβάλλουμε, ότι τό πυθαγόρειο αφορά μέτρα.

4. Εποχή Ευκλείδη

100 χρόνια μετά τους πυθαγόρειους εμφανίζεται η ευκλείδεια γεωμετρία που εμπεριέχει και έργα τού Εύδοξου και τού Αρχύτα. Οι απορίες ωστόσο γιά τό άπειρο, έμειναν στήν ευκλείδεια γεωμετρία αναπάντητες.
Μέσω αξιωμάτων και ορισμών κατεβλήθη προσπάθεια να προσεγγιστεί τό άπειρο, και μέσω τού κανόνα και τού διαβήτη καθορίστηκε και ο τρόπος κατασκευής, ώστε να μήν υπάρξουν αντιφάσεις, ως πρός αυτό. Ήδη εδώ βλέπουμε, ότι η ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί ουσιαστικά ένα «ανοικτό σύστημα»:

(Βιβλίο 1 Ορισμοί 1 καί 23)
«Σημείον εστί, ού μέρος ουθέν» (ού=τού οποίου)
«Παράλληλοι εισιν ευθείαι, αίτινες εν τώ επιπέδω ούσαι και εκβαλλόμεναι εις άπειρον εφ’εκάτερα τά μέρη επί μηδέτερα συμπίπτουσιν αλλήλαις»

(Η λέξη άπειρο εδώ, δέν έχει τήν σημασία τού άπειρου τών νεοελληνικών, σήμερα θά λέγαμε ακώλυτα)
Αυτοί οι δύο ορισμοί προϋποθέτουν, ουσιαστικά, μία μαθηματική θεωρία τού απείρου (όπως τό εννοούμε σήμερα). Ο ορισμός τού σημείου, αντιστοιχεί σ’αυτόν τού ατόμου. Τό σημείο είναι σέ σχέση με τήν γραμμή, «απείρως» μικρό, όπως και η επιφάνεια είναι «απείρως» επίπεδη σέ σχέση με τό σώμα. Τό άν υπάρχει ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ αυτό τό άπειρο, ΔΕΝ εξετάζεται, συνειδητά!

Επ’ αυτού γράφει ο Πρόκλος:

«Η δυνατότης νά μπορεί κανείς νά ενώσει κάθε τυχαίο σημείο μέ κάθε τυχαίο σημείο μέσω ευθείας, είναι συνέπεια τού ότι η γραμμή είναι μία ροή σημείων και η ευθεία μία ροή μέ ανέκτροπη διεύθυνση. Άν φανταστούμε λοιπόν, ότι τό σημείο κινείται επί συντομωτέρου δρόμου και στήν ίδια πάντα κατεύθυνση, τότε θα φτάσουμε στά άλλα σημεία....Θά μάς δημιουργούσε ωστόσο δυσκολίες η πιθανή ερώτηση: Πώς μεταφέρεται η κίνηση στόν ακίνητο γεωμετρικό κόσμο και πώς κινείται αυτό «πού δέν έχει μέρος»; (τό σημείο δηλαδή). Καθ’ότι αυτό είναι αδιανόητο....Τήν κίνηση δέν πρέπει να τήν φανταστούμε σωματιδιακά αλλά φανταστικά και δέν μπορούμε να αποδεχθούμε, ότι αυτό «πού δέν έχει μέρος» υπόκειται σωματιδιακής κίνησης, αλλά μόνον φανταστικής»


(Βιβλίο 1 Ορισμός 2)
«Γραμμή δέ μήκος απλατές»
Δέν υπεισέρχομαι σέ χαρακτηρισμούς. Πρόκειται γιά έναν ορισμό που δέν προσφέρει τίποτε τό ουσιαστικό στήν κατασκευή ενός αξιωματικού συστήματος.

Έρχομαι τώρα στό κυρίως θέμα:

(Βιβλίο 7, Όροι 1 και 2)

«Μονάς εστιν, καθ’ήν έκαστον τών όντων έν λέγεται»
(Η μονάδα είναι αυτό, μέσω τού οποίου, κάθε πράγμα που υπάρχει, καλείται ένα)

«Αριθμός δέ τό εκ μονάδων συγκείμενον πλήθος»
(Ένας αριθμός είναι ένα μέγεθος, τό οποίο αποτελείται από μονάδες)

Τό ΕΝΑ ΔΕΝ ήταν δηλαδή γιά τούς αρχαίους Έλληνες αριθμός, ωστόσο, ήταν δυνατόν, να ορισθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ως ΜΟΝΑΔΑ. Ένας «αριθμός», υπ’αυτήν τήν έννοια, είναι επομένως ένα ευθύγραμμο τμήμα, τό οποίο είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού μοναδιαίου ευθυγράμμου τμήματος.
Η μονάδα είναι δηλαδή (γιά τήν εποχή εκείνη) ο «σύνδεσμος», τό κοινό «στοιχείο» τών αριθμών, αυτό που επιτρέπει τό 1 + 1 = 2 καί όχι τό 1 + 1 = 1 (Τό θέμα τού συνδέσμου αποτελεί και κατοπινή Απορία τού Πλάτωνος)
Διαφορετική ερμηνεία αυτών τών δύο αξιωμάτων θά ήταν ασυμβίβαστη μέ τό πνεύμα τής εποχής εκείνης, επομένως αυθαίρετη!

Αλλά και γλωσσολογικά :

«συγκείμενον πλήθος» δέν υπονοεί, ότι οι μονάδες είναι «μαγκουρίτσες» διατεταγμένες (που κείνται) η μία δίπλα στήν άλλη, διότι η λέξις συγκείμενον είναι παθητική μετοχή, που ερμηνεύεται, τότε, ως «αποτελείται από»

Από τήν σύνταξη τού πυθαγορείου στόν Ευκλείδη, βλέπουμε επίσης, ότι ΟΛΑ αφορούν μέτρα (εν προκειμένω εμβαδά):

«Εν τοίς ορθογωνίοις τριγώνοις τό από τής τήν ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοίς από τών τήν ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις»

Επανατονίζω, όλα αφορούν μέτρα, δηλαδή αριθμούς. Η έννοια τού μέτρου ως «υλικό υπόδειγμα» σάν αυτό που σήμερα φυλάσσεται στό μουσείο τού Παρισίου, δέν υπάρχει τότε...

Αυτό φαίνεται καθαρά καί από εδώ:

(Βιβλίο 5 Ορισμός 4)
«Λόγος έχειν πρός άλληλα μεγέθη λέγεται, ά δύναται πολλαπλασιαζόμενα αλλήλων υπερέχειν»

Τί αναγνωρίζουμε εδώ; Ο ορισμός αυτός είναι γνωστός στήν βιβλιογραφία μέ πολλά ονόματα. Έρχεται από τόν Εύδοξο και χρησιμοποιήθηκε, μέ επιτυχία, ευρέως από τόν Αρχιμήδη. Καλείται:
«Αρχή τής ομογένειας» ή
«Αρχή τού Αρχιμήδη» ή
«Αξίωμα τού Αρχιμήδη» ή
«Αρχή τής μετρήσεως»

Άς δούμε λοιπόν, πώς φτάσανε οι αρχαίοι εδώ. Μέ σύγχρονο φορμαλισμό (εποπτικότερος) έχουμε γιά τόν ορισμό 4:
Έστωσαν α,β,γ,δ,τά μεγέθη, που θά τεθούν σέ αναλογία
α:β=γ:δ <--> γιά κάθε μ,ν στό Ν :
να>μβ --> νγ>μδ
να=μβ --> νγ=μδ
να<μδ --> νγ<μδ

Παρατηρήσεις
1)Τά μεγέθη α,β,γ,δ είναι ΠΑΝΤΑ μεγαλύτερα τού μηδενός καί ΔΕΝ είναι υποχρεωτικά σύμμετρα. (ίδιο μέτρο που τά μετρά, δηλαδή αριθμός, όχι υλικό υπόδειγμα!)
2)Άν α:β=γ:δ τότε κατά τήν ανθυφαίρεση μεταξύ α και β συμβαίνει, ό,τι συμβαίνει και κατά τήν ανθυφαίρεση μεταξύ γ και δ

Τώρα πρέπει να ΜΠΟΡΟΥΜΕ να προβούμε σέ σύγκριση τών αναλογιών. Τήν δυνατότητα αυτή μάς τήν δίδει ο Ευκλείδης (Βιβλίο 5 Ορισμός 5):

«Εν τώ αυτώ λόγω μεγέθη λέγεται είναι πρώτον πρός δεύτερον και τρίτον πρός τέταρτον, όταν τά τού πρώτου και τρίτου ισάκις πολλαπλάσια τών τού δευτέρου και τετάρτου ισάκις πολλαπλασίων καθ’οποιονούν πολλαπλασιασμόν εκάτερον εκατέρου ή άμα υπερέχη ή άμα ίσα ή άμα ελλείπη ληφθέντα κατάλληλα»
Άρα:
α:β>γ:δ <--> υπάρχουν τουλάχιστον ένα μ,ν στό Ν μέ μα>νβ αλλά όχι μέ μγ<νδ
Αυτό μάς λέει δηλαδή:
α:β=γ:δ <--> (α+β):β=(γ+δ):δ ,κάτι που αποδεικνύεται εύκολα και σήμερα θεωρείται τετριμμένο. Ο Ευκλείδης τό αναφέρει επίσης, άν και πιό πολύπλοκα:

(Βιβλίο 5, Προτάσεις 17, 18)

«Εάν συγκείμενα μεγέθη ανά λόγον ή, και διαιρεθέντα ανάλογον έσται.»
«Εάν διηρημένα μεγέθη ανάλογον ή, και συντεθέντα ανάλογον έσται»

Αυτοί οι ορισμοί καθιστούν ικανή τήν μέτρηση (ο βασικός στόχος) (και μέτρηση μέ μέτρο= αριθμός, όχι υλικό υπόδειγμα)

(γιαυτό και προτιμώ τόν όρο «Αρχή μετρήσεως» που μάς λέει ουσιαστικά, ότι α=0, εάν γιά κάθε φυσικό αριθμό ν ισχύει:0<=α<1/ν) Σέ ένα αρχιμήδεια διατεταγμένο σώμα (όπως λέμε σήμερα) έχουμε ΠΑΝΤΟΤΕ τήν δυνατότητα μέτρησης, διότι παίρνουμε ΠΑΝΤΟΤΕ ακριβή τιμή (δέν υπάρχουν δηλαδή απείρως μεγάλοι ή απείρως μικροί αριθμοί)

Ο τρόπος τού ορισμού 5 λειτουργεί δηλαδή μόνον αρχιμήδεια, και αυτός είναι ο τρόπος που επέλεξαν οι αρχαίοι. Κατ’ αυτόν τόν τρόπο (σχέσεις αναλογιών) ήταν σέ θέση να περιγράψουν τόσον σύμμετρα όσον και ασύμμετρα μεγέθη, και δή ΑΚΡΙΒΩΣ!

Τελειώνοντας τονίζω τά εξής, πρός κατάδειξιν τών μέχρι τώρα ισχυρισμών :

Προμήκεις αριθμοί: Όταν τό γινόμενό τους αποδίδει, ως επιφάνεια, ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Τετράγωνοι αριθμοί : Όταν τό γινόμενό τους αποδίδει, ως επιφάνεια, ένα τετράγωνο.

Ευθύγραμμο τμήμα :Όταν είναι πλευρά τετραγώνου μέ εμβαδόν τετράγωνο αριθμό, λέγεται μήκος, ειδ’άλλως (πλευρά τετραγώνου μέ εμβαδόν προμήκη αριθμό) δύναμις

Οι λέξεις «τετράγωνο» και «δύναμις» ΔΕΝ είναι συνώνυμες! Η «δύναμις» δηλώνει εμβαδόν!

Συμπέρασμα:
Τό πυθαγόρειο θεώρημα εξακολουθεί (και πιό ενισχυμένα μάλιστα) να αφορά μέτρα!


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Επί του πυθαγορείου θεωρήματος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2008, 18:41 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 15:50
Δημοσ.: 406
Αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, διάβασα με προσοχή το κείμενό σας και έχω να παρατηρήσω τα ακόλουθα:

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Α) Μέ τά μάτια τού 2008:

Σήμερα δέν υπεισέρχεται θέμα.
Έχουμε ορίσει ευκλείδειο χώρο, έχουμε ταυτίσει τό ευκλείδειο επίπεδο μέ τό και η γεωμετρία προκύπτει από τήν δομή τού R^2, ο οποίος εμφανίζει ιδιότητες που σχετίζονται μέ τήν δομή τού R. Ορίζοντας και τήν έννοια τού εσωτερικού γινομένου φέρνουμε σέ άμεση σχέση τίς έννοιες «μέτρο διανύσματος», «μέτρο γωνίας» καί «εμβαδόν παραλληλογράμμου». Η δομή τού R^2 είναι επομένως αυτή τού διανυσματικού χώρου. Όλα τά άλλα έπονται....


Για να κατανοήσω την άποψή σας θα ήθελα να έχω μερικές διευκρινήσεις που θα με ευκολύνουν. Το R^2 , όπως πολύ σωστά λέτε, εμφανίζει ιδιότητες που σχετίζονται με την δομή του R. Αυτό συνεπάγεται κύριε Αποκαλυπτικέ τα αξιώματα του Ευκλείδειου επιπέδου. Σας μεταφέρω τι λέει ο καθηγητής του πανεπιστημίου Κρήτης κύριος Πάρις Πάμφιλος σχετικά (θα βρείτε το θέμα στο Google – Πάρις Πάμφιλος –«Ευκλείδεια γεωμετρία» – σελίδα 2):
Αναφέρεται στην Αναλυτική μέθοδο:
… Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνεται να απουσιάζουν. Τούτο είναι φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σε αυτή την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του ευκλείδειου επιπέδου.
Με λίγα λόγια, νομίζω ότι η άποψή σας χρειάζεται μία μικρή επέκταση πέραν των δυνατοτήτων του R και η δημιουργία «επαφής» με τα ευκλείδεια αξιώματα.
Ωστόσο εδώ δημιουργείται ένα μικρό πρόβλημα σχετικά με το R και τα ευκλείδεια αξιώματα και θα ήθελα την άποψή σας.
Σύμφωνα με τα αξιώματα του Ευκλείδη και με επικουρική απόδειξη από το θεώρημα του Θαλή (το οποίο προηγείται χρονολογικά), κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει ένα μόνο μέσο σημείο Μ.
Θεωρείστε παρακαλώ ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=1 με ένα μέσο σημείο Μ, παράλληλο προς τον άξονα και τις ορθές προβολές του ΑΒ στον άξονα των πραγματικών, επί των 0,1.
Γνωρίζουμε ότι ο άξονας R, έχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των αριθμών του και των σημείων μιας ευθείας.
Το ΑΒ έχει ένα μόνο μέσο σημείο Μ. Ποιος είναι ο αντίστοιχος αριθμός του R (0,1) στο μοναδικό μέσο σημείο Μ του ΑΒ; Δηλαδή ποιος περιεχόμενος αριθμός στο 0,1 αντιστοιχεί στο μέσο σημείο Μ;
Αν δεν απαντηθεί αυτό αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, που εμφανίζει στην πράξη τη διασύνδεση ή εξάρτηση αν προτιμάτε του R με τα αξιώματα του Ευκλείδη, νομίζω είναι κάπως βιαστικό να πούμε ότι «Όλα τά άλλα έπονται…».
Εάν δεν απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα, από τον οποιονδήποτε, αυτό θα κλονίσει την αξιοπιστία του R ώστε να μπορεί να αντιστοιχίσει τους αριθμούς του έναν προς έναν, με τα σημεία μιας ευθείας κι όπως καλά γνωρίζετε, δεν υπάρχουν εξαιρέσεις στην αντιστοίχηση. Ελπίζω να το αντιλαμβάνεστε και να μου πείτε την άποψή σας που οπωσδήποτε θα είναι θεμελιωμένη είμαι βέβαιος.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Η αντίληψις αυτή αριθμός-μέτρο επέζησε στή γλώσσα μας μέχρι σήμερα:
Οι αριθμοί δέν «αριθμούνται» ή «απαριθμούνται», αλλά ΜΕΤΡΟΥΝΤΑΙ..
Η δασκάλα λέει ακόμη καί σήμερα:
«Μπόμπο ΜΕΤΡΑ μου από τό 1 μέχρι τό 10» Οι υπόλοιπες ευρωπαϊκές γλώσσες π.χ. διαφοροποιούν και στήν καθομιλουμένη μεταξύ τού «αριθμώ» και τού «μετρώ»


Επιτρέψτε μου να εκφράσω την άποψη αγαπητέ κύριε ότι κάπως υπερβάλλετε!
Ο διευθυντής λέει στον υπάλληλο: Φέρε μου τον υπ` αρίμθ. α φάκελο.
Ο δικαστής λέει: Σύμφωνα με τον υπ` αριθμ. α απόφαση του Συμβουλίου της Επικρατείας….
Στην κλήρωση του λαχείου ακούμε: Ο υπ` αρίθ. αβγδεζ κερδίζει χ ευρώ.
Δεν υπάρχει αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ μόνο ο Μπόμπος και η δασκάλα του στην ελληνική γλώσσα. Πως λέτε ότι οι αριθμοί δεν «αριθμούνται» ή δεν «απαριθμούνται» με τόση βεβαιότητα; Μήπως είναι ατυχές το παράδειγμα, τουλάχιστον σαν μαθηματικό επιχείρημα ταύτισης του μέτρου με τους αριθμούς; Π.χ. ο 3ος ή ο 17ος σε ποιο μέτρο σας παραπέμπει; Και εμείς διακρίνουμε να είσαστε βέβαιος την αρίθμηση από τη μέτρηση. Οι θέσεις στα στάδια είναι πάντα αριθμημένες και όχι μετρημένες. Ας είναι. Δεν είναι και το πλέον υπερβολικό από όσα περιέχονται στο μήνυμά σας και να με συμπαθάτε, αλλά συνομιλούμε και το κάνω κάπως φωναχτά.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τό πυθαγόρειο θεώρημα αφορά επομένως μέτρα και δέν έχουμε ακόμη λόγους να αμφιβάλλουμε γιαυτό. (Εμείς διακρίνουμε σήμερα σημειοσύνολα και καθ’ ερμηνείαν μέτρα, όμως τό νόημα ήταν τότε σαφέστατο)


Αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, μεταφέρω απόσπασμα σελίδων 205-207 από το βιβλίο Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηματικών των συγγραφέων Lucas N. H. Bunt - Philip S. Jones - Jack D. Bedient το οποίο διανέμεται στο μάθημα "Ιστορία των Μαθηματικών" του Μαθηματικού τμήματος στο Πανεπιστήμιο της Πάτρας.

[Διαφορά μεταξύ Ευκλείδειας και Σύγχρονης μεθόδου σύγκρισης εμβαδών.

...O τρόπος με τον οποίο σύγκρινε ο Ευκλείδης τα εμβαδά, είναι εντελώς διαφορετικός από αυτόν, που χρησιμοποιούμε σήμερα για τον ίδιο σκοπό. Με τη σύγχρονη πραγμάτευση αυτού του θέματος το εμβαδόν ενός σχήματος (όπως και το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος) δηλώνεται με έναν αριθμό.
O Ευκλείδης όμως ούτε μήκη ευθυγράμμων τμημάτων δήλωνε με αριθμούς, ούτε εμβαδά σχημάτων.
Όταν ήθελε να δείξει ότι δυο σχήματα έχουν ίσα εμβαδά, αποδείκνυε ότι το ένα από αυτά μπορεί να χωριστεί σε μέρη τέτοια ώστε, αν κατάλληλα αναπροσαρμοστούν, να παράγουν το άλλο σχήμα.]

Όπως διαπιστώνετε η συνθετική ευκλείδεια γεωμετρία σχημάτιζε και «επανασχημάτιζε» ή «αναπροσάρμοζε» τα σχηματικά μέρη σε όλο, χωρίς ωστόσο να υπάρχει πρόβλεψη άθροισης σχημάτων.
α. Οι 99 στις 100 αποδείξεις του πυθαγορείου είναι με μετασχηματισμούς που δεν προβλέπονται.
β. Οι αριθμοί και ιδίως οι Ν, δεν έχουν το προνόμιο ή την ιδιότητα να "μετασχηματίζονται". Δεν υπάρχει αξίωμα μετασχηματισμού αριθμού, αλλά όλοι οι μετασχηματισμοί αφορούν σχήματα όπως είναι και φυσικό βεβαια, αλλά κυρίως και αξιωματικά προβλεπόμενο.
Ποια είναι η άποψη σας για τις αποδείξεις του Ευκλείδη και Πυθαγόρα που είναι μετασχηματιστικές και μάλιστα με κανόνα και διαβήτη που δεν αφήνει περιθώριο για την εισαγωγή των καθ` ερμηνεία αριθμών, σύμφωνα με την άποψή σας;
Πυθαγόρας
http://users.ira.sch.gr/thafounar/Genik ... agora.html
Ευκλείδης
http://users.ira.sch.gr/thafounar/Genik ... clidis.htm

Είναι ισχυρές και βάσει ποιών αριθμών τις αποδείκνυαν;

Άλλες αποδείξεις

Απόδειξη Λεονάρντο ντα Βίντσι
http://users.ira.sch.gr/thafounar/Genik ... aVinci.htm

Απόδειξη H.Dudeney
http://users.ira.sch.gr/thafounar/Genik ... eorima.htm

Απόδειξη Perigal
http://users.ira.sch.gr/thafounar/Genik ... erigal.htm

Απόδειξη Liu Hui
http://users.ira.sch.gr/thafounar/Genik ... ui/hui.htm

Απόδειξη Λεγάτου
http://users.ira.sch.gr/thafounar/Genik ... gatos.html

Αυτές οι αποδείξεις αναφέρονται σε εμβαδά και σε ποια εμβαδά; Βλέπετε πουθενά αριθμούς ή απλά μετασχηματισμούς που δημιουργούν όλο εκ μερών με τη χρήση κανόνα και διαβήτη;

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
(Βιβλίο 1 Ορισμός 2)
«Γραμμή δέ μήκος απλατές»
Δέν υπεισέρχομαι σέ χαρακτηρισμούς. Πρόκειται γιά έναν ορισμό που δέν προσφέρει τίποτε τό ουσιαστικό στήν κατασκευή ενός αξιωματικού συστήματος.


Μήπως κι εδώ υπερβάλλεται; Αυτή η γραμμή του Ευκλείδη αντιστοιχίζεται σήμερα σημείο προς σημείο με τους πραγματικούς αριθμούς και τον άξονά τους. Αν δεν είναι ουσιαστική, το ίδιο μη ουσιαστικός είναι και ο R αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Έρχομαι τώρα στό κυρίως θέμα:

(Βιβλίο 7, Όροι 1 και 2)

«Μονάς εστιν, καθ’ήν έκαστον τών όντων έν λέγεται»
(Η μονάδα είναι αυτό, μέσω τού οποίου, κάθε πράγμα που υπάρχει, καλείται ένα)

«Αριθμός δέ τό εκ μονάδων συγκείμενον πλήθος»
(Ένας αριθμός είναι ένα μέγεθος, τό οποίο αποτελείται από μονάδες)

Τό ΕΝΑ ΔΕΝ ήταν δηλαδή γιά τούς αρχαίους Έλληνες αριθμός, ωστόσο, ήταν δυνατόν, να ορισθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ως ΜΟΝΑΔΑ. Ένας «αριθμός», υπ’ αυτήν τήν έννοια, είναι επομένως ένα ευθύγραμμο τμήμα, τό οποίο είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού μοναδιαίου ευθυγράμμου τμήματος.


Το πολλαπλάσιο είναι πλήρως κατανοητό. Το ακέραιο πολλαπλάσιο δεν είναι. Εδώ δεν έχετε αξίωμα στήριξης περί της ακεραιότητας των αριθμών του Ν που αποτελούνται από «συγκείμενον πλήθος μονάδων». Όχι απλά «συγκείμενο» αλλά «πλήθος μονάδων» δηλαδή μη ακέραιο. Θα σας πω και πιο κάτω γι αυτό.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Η μονάδα είναι δηλαδή (γιά τήν εποχή εκείνη) ο «σύνδεσμος», τό κοινό «στοιχείο» τών αριθμών, αυτό που επιτρέπει τό 1 + 1 = 2 καί όχι τό 1 + 1 = 1 (Τό θέμα τού συνδέσμου αποτελεί και κατοπινή Απορία τού Πλάτωνος)
Διαφορετική ερμηνεία αυτών τών δύο αξιωμάτων θά ήταν ασυμβίβαστη μέ τό πνεύμα τής εποχής εκείνης, επομένως αυθαίρετη!


Μου κάνει τρομερή εντύπωση αυτό που λέτε. Υπάρχει αξίωμα συνδέσμου αριθμών;
Την αντίφαση δεν την βλέπετε; Αν όντως υπήρχε σύνδεσμος αριθμών οι 1 και 1 μονάδες θα έκαναν 1+1=1ν (όπου ν νέο μέγεθος σε σχέση με το «παλαιό») και όχι 1+1=2. Εσείς θέλετε και το «σύνδεσμο» υπαρκτό που θα «ενώσει» δύο διακριτές μονάδες και το αποτέλεσμα της ένωσης, να μην είναι η ένωση των μονάδων σε μία νέα μονάδα που να τις περιέχει! Να είναι 1 δηλαδή και να το λέμε 2, χωρίς να υπάρχει αξίωμα, ούτε σύνδεσης, ούτε πρόβλεψης ακέραιου πολλαπλασίου του 1. Όχι μόνο τότε, αλλά ούτε και σήμερα με εξαίρεση τα ευθύγραμμα τμήματα που μπορούν στην κατά Χίλμπερτ γεωμετρία να δειχθούν πολλαπλάσια, αλλά να αντιφάσκουν στη μέτρηση (αριθμητικά δηλαδή) σαν ανακριβή, δεν υπάρχει πρόβλεψη ακέραιου πολλαπλάσίου της μονάδας. Ούτε από Χίλμπερτ, ούτε από Πεάνο.
Δηλαδή κύριε Αποκαλυπτικέ, για να σας καταλάβω, πως ακριβώς αντιλαμβάνεστε την ιδιότητα της μονάδας να συνδέει; Έχουν δύο ακέραιες μονάδες κοινό στοιχείο (μέρος του αριθμού τους από κοινού) ώστε να ενωθούν ή να συνδεθούν, σε ακέραιο 2; Σας παρακαλώ για εξηγείστε μου τι θέλετε να πείτε; Η πρόσθεση ευθύγραμμων τμημάτων έχει μία κατασκευαστική δικαιολογία (όχι αξιωματική στήριξη βέβαια) μέσω μεταφοράς των μηκών δύο ευθύγραμμων τμημάτων επί ευθείας ε, που αποκτούν με τη χρήση του διαβήτη κοινό σημείο. Οι μονάδες αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, ποιο κοινό «σημείο» ή αλλιώς κοινό αριθμητικό μέρος διαθέτουν, ώστε να μπορεί να ενωθούν σε ένα ακέραιο 2 το οποίο εξαιτίας της ακεραιότητας πρέπει, σύμφωνα με το αξίωμα του ΕΝΑ του Ευκλείδη που ο ίδιος παραθέσατε, να το πούμε 1ν έκτοτε; Ποιο κοινό στοιχείο των μονάδων τις καθιστά συνδέσμους; Και αν υποθέσω ότι έχετε κάτι στο μυαλό σας και αυτό το κάτι μπορεί να χρησιμεύσει στην ερμηνεία του όρου «σύνδεσμος» τι αξία μπορεί να έχει μέσα σε ένα αξιωματικό σύστημα που δεν υπάρχει διατυπωμένο αξίωμα περί συνδέσμου αριθμών; Δεν βλέπετε ότι δεν πατάει και τόσο σταθερά στα μαθηματικά αυτή σας ή άποψη;

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Αλλά και γλωσσολογικά :
«συγκείμενον πλήθος» δέν υπονοεί, ότι οι μονάδες είναι «μαγκουρίτσες» διατεταγμένες (που κείνται) η μία δίπλα στήν άλλη, διότι η λέξις συγκείμενον είναι παθητική μετοχή, που ερμηνεύεται, τότε, ως «αποτελείται από»


Καλά το λέτε, αλλά αυτό που λέτε «μαγκουρίτσες» σημαίνει και τίποτα άλλο. Λέτε την έκφραση ημιτελή. «Αριθμός δε συγκείμενον πλήθος μονάδων». Κατά την ερμηνεία σας δηλαδή, που είναι ετυμολογικά ορθότατη, κάνουμε την ανάγνωση αντιλαμβανόμενοι σαν παθητική μετοχή το «συγκείμενον πλήθος» ως:
Αριθμός δε αυτός που αποτελείται από πλήθος μονάδων.
Να κάνω κι εγώ μια γραμματική παρατήρηση; Πλήθος μονάδων και όχι μονάδα πλήθους. Αυτό λεει το αξίωμα.
Να οι μαγκουρίτσες. Που βλέπετε ακέραιο πολλαπλάσιο εν προκειμένω;
Παρακαλώ θα ήθελα μια απάντηση εν προκειμένω.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Συμπέρασμα:
Τό πυθαγόρειο θεώρημα εξακολουθεί (και πιό ενισχυμένα μάλιστα) να αφορά μέτρα!


Νομίζω σας έχω γράψει πολλά και δεν θέλω να σας κουράσω άλλο. Θα ήθελα να μου πείτε όμως τη γνώμη σας, αν το πυθαγόρειο ισχύει με τη χρήση των μέτρων, διότι εδώ είναι άλλο το θέμα στο οποίο απαντάτε. Αν ναι, θα ήθελα παρακαλώ μία απόδειξή του με εμβαδά να την δούμε μαζί και θα σας το χρωστώ χάρη.

Τέλος αντιλαμβανόμενος την επάρκειά σας, θα ήθελα τη θέση σας και επί του παρακάτω προβλήματος αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ.

Αρχική έννοια του Ευκλείδη, περί επιφάνειας (επίπεδο):
Επιφάνεια δε, ό, τι μόνον πλάτος και μήκος έχει.

Πρόβλημα:
Ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο Ο και το όλο σχήμα ονομάζουμε Κ.
Το σχήμα Κ, ορίζει επίπεδο επομένως, αλλά συγχρόνως εκφράζει επίπεδο σχήμα με μήκος και πλάτος στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα ή όχι; ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ κατά την άποψή σας;


Σημείωση: Είναι φανερό ότι το Κ, έχει και μήκος και πλάτος σχηματοποιώντας ακριβώς την αρχική έννοια περί επιπέδου, ενώ συγχρόνως είναι διάφορο του ευκλείδειου σημείου μέρος ουθέν, που είναι το μοναδικό χωρίς κανένα μέγεθος γεωμετρικό στοιχείο. Η ευθεία πάλι είναι μόνο μήκος.

ΥΓ 1: Παρακολουθώ άλλον χρήστη αλλού και εξ αυτού προέρχονται οι απορίες μου. Ίσως να ξέρετε που αναφέρομαι.

ΥΓ 2: Αν σήμερα κάποιος διδάσκει στο πανεπιστήμιο το πυθαγόρειο με υλικά υποδείγματα, τι θα του λέγατε κύριε Αποκαλυπτικέ;

Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2008, 10:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Δέν πάμε καλά μού φαίνεται....Αυτό δέν είναι έντιμο...

Ορισμένα παιδιά τού Λυκείου, μού έθεσαν τήν ερώτηση : «αθροίζει ο Πυθαγόρας σχήματα» ή «μέτρα» και μού ζήτησαν εξήγηση μέ όρους τού τότε.

Λοιπόν απάντησα στό θέμα μέ καλή συνείδηση και εξέθεσα τόν τρόπο, μέ τόν οποίο βλέπω τά πράγματα. Τώρα διαπιστώνω, ότι τά παιδιά είναι αρκετά μεγάλα....

Όμως, μεταξύ μας, η ερώτηση και μόνον δείχνει, ότι τά παιδιά διαβάζουν λάθος άρθρα....!

Άς είναι, θά απαντήσω όμως, μόλις βρώ τόν χρόνο...

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Επί τής ερμηνείας τού πυθαγορείου θεωρήματος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2008, 13:05 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 15:50
Δημοσ.: 406
Η απάντησή σας κύριε Αποκαλυπτικέ είναι ζητούμενο.
Το ανέντιμο στο οποίο αναφέρεστε, είναι ακατανόητο.
Άλλο τα παιδιά τα οποία από σφάλμα θεωρείτε ότι σας ξεγέλασαν και άλλο εγώ.
Σας παρακαλώ θερμά να μη τα βάζετε με τα παιδιά από απλή υποψία.
Σε ότι αφορά τη διατύπωση του κειμένου έχω την άποψη ότι δεν είναι προσβλητικό για εσάς. Μπορώ μάλιστα να σας βεβαιώσω ότι αυτός που σας απευθύνεται σας παρακολουθεί και σας σέβεται και σας εκτιμά και αναγνωρίζει τις τεράστιες δυνατότητές σας τις οποίες σε μεγάλο βαθμό τις ζηλεύει. Δεν έχετε να κάνετε με εχθρό αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ ακόμα και στην περίπτωση διαφωνιών περί των απόψεων.
Σας τιμώ και αναμένω την απαντήσή σας στα θέματα που έθεσα, τα οποία και πάλι σας παρακαλώ να μη τα συνδέετε με τα παιδιά που σας απευθύνθηκαν και καλά (πολύ καλά θα έλεγα) έκαναν...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2008, 13:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Ζητώ συγγνώμη, άν είναι πράγματι έτσι.....Είπα θά απαντήσω...


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2008, 16:24 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 15:50
Δημοσ.: 406
Ακράδαντα το πιστεύω κύριε Αποκαλυπτικέ, άλλως δεν θα το ζητούσα. Ξέρω ότι θα μου απαντήσετε και οι θέσεις που θα αναπτύξετε θα είναι επί της ουσίας του προβληματισμού μου. Σε ότι αφορά την ορθότητά τους είμαι βέβαιος ότι θα έχουν τις αναγκαίες αξιωματικές στηρίξεις. Παρακαλώ μη μου ζητάτε συγγνώμη για μια απλή παρεξήγηση του ύφους μου ίσως ή των προθέσεών μου.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2008, 18:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Λοιπόν θά ακολουθήσω άλλη στρατηγική.

Τά μαθηματικά είναι σάν μικρά κουτάκια που τό ένα βρίσκεται μέσα σ’ένα μεγαλύτερο κοκ. Άν πάρω ένα κουτάκι από τήν μέση θά πρέπει νά εξηγήσω τό πρίν και τό μετά. Έτσι όμως θά μιλάμε μέχρι 8ης παρουσίας.

Όποιος ασχολείται μέ τέτοια θέματα ασχολείται ουσιαστικά μέ τά θεμέλια τών μαθηματικών. Κάνει έρευνα θεμελίων δηλαδή.
Ένας ερευνητής γιά νά θεωρείται σοβαρός, πρέπει νά κοιτά τί κάνουν οι υπόλοιποι ερευνητές ανά τόν κόσμο, νά μελετά τίς δημοσιεύσεις τους, νά ανταλάσσει απόψεις νά... νά... νά...

Δέν είναι δυνατόν νά προβάλλονται ως επιχειρήματα συγγράμματα διδακτικού περιεχομένου, τά οποία προσπαθούν να μεταδώσουν διά τού λόγου τό νόημα μιάς διδακτέας ύλης κατά τρόπο, που εναπόκειται στήν ρητορική-γλωσσολογική ικανότητα τού γράφοντος.
Είναι σαφές, ότι ο λόγος είναι εύαλωτος, διότι ερμηνεύεται κατά τό δοκούν. Δέν είναι μονοσήμαντος.
Τά μαθηματικά ανέπτυξαν ανάλογον φορμαλισμό, ώστε να οδηγηθούν σέ μονοσήμαντα αποτελέσματα.
Στή Γεωμετρία ειδικά:
Τό ευκλείδειο φορμαλιστικό αξιωματικό σύστημα είναι τό πρώτο (ιστορικά), που εκινήθη σ’αυτήν τήν κατεύθυνσιν.

Υπενθυμίζω:

Ένα σύστημα είναι «πλήρες», εάν δέν μπορούμε να προσθέσουμε νέο ανεξάρτητο Αξίωμα (που χρησιμοποιεί βέβαια τούς ήδη γνωστούς όρους), χωρίς να δημιουργήσουμε αντιφάσεις
(Η πληρότης ενός συστήματος είναι δύσκολο να καταδειχθεί)

Ένα αξιωματικό σύστημα καλείται κατηγορηματικό, εάν είναι ελεύθερο αντιφάσεων και άν δύο μοντέλλα του είναι ισόμορφα.
Παράδειγμα:Τά αξιώματα τής θεωρίας ομάδων δέν είναι κατηγορηματικά, διότι υπάρχουν άπειρες και πεπερασμένες ομάδες.

Τό αξιωματικό σύστημα τής ευκλειδείου γεωμετρίας κατά Hilbert είναι κατηγορηματικό, κατά Ευκλείδη όμως όχι. Άν απομακρύνουμε τό Αξίωμα παραλλήλων, τότε είναι και τού Hilbert πλέον μή κατηγορηματικό.

Σήμερα παίρνουμε, απ’ευθείας, τό αξιωματικό σύστημα τού Kolmogorov, τό οποίο ανταπεξέρχεται μέ μιά «χούφτα» αξιώματα. Οι βασικές έννοιες είναι 3 : «σημείο», «ευθεία» και «επίπεδο». Όλα τά άλλα εξάγονται από αυτές. Η επίπεδος ευκλείδεια γεωμετρία μάς δίδεται τότε μέσω ενός συνόλου Ε, τού οποίου τά στοιχεία ονομάζονται σημεία και ενός συνόλου G, τού οποίου τά στοιχεία ονομάζονται ευθείες.
Τό μεγαλειώδες εδώ είναι, ότι δέν χρειάζεται νά γνωρίζουμε τίς ιδιότητες τών στοιχείων τού συνόλου! Μάς αφήνει κυριολεκτικά αδιάφορους.
Οι λέξεις σημείο καί ευθεία πχ χρησιμοποιούνται μόνο γιά νά συνεννοούμαστε, όταν συζητάμε. Θά μπορούσαμε νά τά λέμε καί κοτόπουλο1 ή κοτόπουλο 2. Δέν υπάρχουν εξέχοντα σημεία ή εξέχουσες ευθείες.

Αυτή είναι η αξία τού φορμαλισμού, δημιουργεί κοινή, μονοσήμαντη διαπλανητική πλατφόρμα συνεννόησης.
Δέν υπεισέρχεται θέμα τί εννοεί ο Ευκλείδης, ή ο οιοσδήποτε Ευκλείδης, τό φορμαλιστικό σύστημα «μιλάει» μόνο του.

Είναι σωστό αυτό; Ναί είναι. Άν εγώ θέλω να μελετήσω τίς τροχιές τών πλανητών, θά μέ απασχολήσει, άν τά σημεία τής τροχιάς είναι έτσι ή αλλιώς; Όχι βέβαια...

Τώρα άς αναλύσουμε, γιατί εσείς εξάγετε διαφορετικά αποτελέσματα απ’ότι τά επίσημα μαθηματικά. Πού οφείλεται αυτό;

Η λύση ευρίσκεται κατά τήν γνώμη μου σέ δύο σημεία.
1.Ερμηνεύετε τόν αριθμό διαφορετικά
2.Έχετε (συνειδητά ή όχι) άλλην αντίληψιν περί τού συνεχούς.

Ως πρός τόν αριθμό.
Όταν ο Ευκλείδης λέει «πλήθος μονάδων» δέν εννοεί σακκί με πατάτες, όπου τό σακκί είναι ο αριθμός και οι πατάτες μονάδες.
Πού τό γνωρίζω;
Σίγουρα όχι από προσωπική επαφή. Τό πνεύμα όμως τών Στοιχείων και οι εργασίες όλης τής πλατωνικής ακαδημείας δέν μέ αφήνουν να αμφιβάλλω. Θά ήταν κουτό, εάν θεωρούσαν τόν αριθμό διαφορετικά, θά έδεναν τά χέρια τους οικειοθελώς. Δέν θά χρειάζονταν τότε τους αριθμούς...όλα θά ήταν Ενα. Εκτός που η μονάδα δέν θεωρείτο τότε αριθμός. Μπορούσαν όμως να έχουν ευθύγραμμο τμήμα ίσο μέ τήν μονάδα.

Αθροίζονται αυτά; Ναί, όπως θέλουμε, μπορούμε να έχουμε ευθύγραμμο τμήμα 3 μέτρων, άν θέλουμε, (όπως κάνουμε και σήμερα με όλη μας τήν άνεση) Τί θα μάς εμποδίσει; Δέν υπάρχει γεωμετρική λογοκρισία, ούτε αξίωμα που νά μάς τό απαγορεύει. Δέν σκάβουμε τόν λάκκο μόνοι μας.

Άν μάλιστα ο Πλάτων δέν ήταν τόσο αυστηρός, θά είχε επιτρέψει και κατασκευές χωρίς κανόνα και διαβήτη (που έχει βέβαια παιδαγωγικά κυρίως πλεονεκτήματα) σέ μία εποχή, που οι υπόλοιποι μαθηματικοί τής εποχής είχαν λύσει όλα τά αποκαλούμενα άλυτα προβλήματα τής αρχαιότητος μέ τήν μέθοδο σημείου προς σημείον.

Οι μετασχηματισμοί τού Ευκλείδη είναι άχρηστοι, άν γίνουν αυτοσκοπός, δέν μετασχηματίζουμε γιά να μετασχηματίζουμε. Πίσω από όλα κρύβονται αριθμοί, μέτρα δηλαδή. Γιαυτό και είναι όλα επιτρεπτά. Ο Ευκλείδης μιλάει μόνο γιά ευθύγραμμα τμήματα (μήκη=αριθμός=μέτρο) και επιφάνειες (εμβαδόν=αριθμός). Τό ότι τά περισσότερα βιβλία τών Στοιχείων επικεντρώνονται σέ γεωμετρικές κατασκευές δέν καταδεικνύει απάρνησιν τού αριθμού.
Σκοπός γενικά κάθε μαθηματικού, κάθε εποχής, είναι νά βρεί τρόπο νά λύσει προκύπτοντα προβλήματα, όχι να δημιουργήσει νέα εκεί που δεν υπάρχουν!

Όταν χωρίζουμε τό παραλληλόγραμμο σέ δύο τετράγωνα, αυτά έχουν μία κοινή πλευρά, διότι η ευκλείδεια γεωμετρία είναι γεωμετρία επιφανειών (εμβαδών δηλαδή) και μηκών (αριθμών δηλαδή) και τίποτε δέν τίς εμποδίζει να ενωθούν, ακριβώς όπως τίποτε απολύτως δέν εμποδίζει και τούς αριθμούς.

Μά η ευθεία χωρίζει θά μού πείτε, δέν ενώνει. Ναί, αυτός είναι λεκτικός όρος, δέν επιδέχεται ερμηνείας, που να επιτρέπει εκατέρωθεν επαφήν σημείων. Γιατί όχι; θά μου πείτε. Γιατί αυτό θά πεί φορμαλιστικό αξιωματικό σύστημα, ειδ’άλλως θά είχαμε 100 άτομα μέ 100 γνώμες.

Είναι δηλαδή λάθος νά θεωρήσω εφαπτόμενα σημεία;
Ναί, είναι λάθος, διότι δέν είναι συμβατό με τά υπόλοιπα θεωρήματα, αλλά τό κυριώτερο είναι, ότι είναι κουτό! Πρόκειται περί άγονης σκέψης, μάς αποξενώνει από τούς αριθμούς, διότι προσβάλλει τό συνεχές.

Άν ορίσουμε τό συνεχές διαφορετικά; Αυτό μπορείτε να τό κάνετε, υπάρχουν και άλλοι, που τό έκαναν, κατέληξε όμως να αφορά μόνο ιστορικούς μαθηματικών και φιλοσόφους. Η ευκλείδεια όμως γεωμετρία είναι αρχιμήδεια, οπότε αποκλείει η ίδια τά εφαπτόμενα σημεία. Γιατί;
Γιατί τό επέλεξε έτσι η ίδια (φρόντισε ο Εύδοξος γιαυτό), γιατί ήθελε να προχωρήσει, νά λύσει προβλήματα, όχι νά μείνει μέ τό στόμα ανοιχτό και να πεί «Μά αυτό δέν γίνεται....!» Είπαμε, η τέχνη είναι να προχωράς, όχι να σταματάς....τό συνεχές απησχόλησε, ακριβώς επειδή θέλαμε πάντα νά έχουμε δυνατότητα μέτρησης. Όλα αφορούν μέτρα καί μέτρηση (μέ αριθμούς όχι μέ υλικά υποδείγματα)

Άς τό δούμε αυτό πιό αναλυτικά.

Οι πυθαγόρειοι προσπαθούν νά μετρήσουν ΜΟΝΟ μέ φυσικούς αριθμούς.
Αποτυγχάνουν, τά άρρητα εμφανίζονται.
Τό συνεχές εξετάζεται και γεωμετρικά.
Ο Εύδοξος συνδέει τό γεωμετρικό πρόβλημα μέ αυτό τής μετρήσεως. Πώς;
Αναπτύσσει τήν Γεωμετρική Θεωρία Αναλογιών (που διδάσκεται στήν Ευρώπη μέχρι καί τόν 19ο αιώνα) που βρίσκουμε στό 5ο Βιβλίο τού Ευκλείδη.

Εδώ, ακριβώς εδώ, πρωτομπήκαν τά θεμέλια τού συνεχούς. Ο τρόπος αυτός είναι τό γεωμετρικό ανάλογο τών σημερινών πραγματικών αριθμών, που αποτελούν ένα αρχιμήδειο κλειστό σώμα. (Οι τομές Dedekind είναι επίσης παρομοίας λογικής)
Ουδείς, μά ουδείς αρνείται σήμερα, ότι τό συνεχές περιγράφεται πλήρως από τούς πραγματικούς αριθμούς!! (Είστε μοναδική εξαίρεση, γιατί συνειδητά ή όχι τό αρνείστε)

Μοναδική εξαίρεση; Όχι ακριβώς, υπάρχει ένας αμερικάνος μαθηματικός τής εποχής τού Cantor, ονόματι Peirce, ο οποίος ασχολήθηκε εκτεταμένα μέ τό συνεχές, μέ τόν οποίον εμφανίζετε «διαβολική» ομοιότητα, από πλευράς απόψεων. Άλλαξε βέβαια 4 φορές απόψεις περί τού θέματος (σεβαστό), αλλά υπήρξε μία περίοδος τής ζωής του, που μίλαγε όντως γιά εφαπτόμενα σημεία. Από φιλοσοφικής απόψεως είναι ενδιαφέρουσες οι θέσεις του, αλλά μόνο από φιλοσοφικής. Δέν καρποφόρησαν όπως καταλαβαίνετε....διότι καταργεί αυτομάτως τούς πραγματικούς αριθμούς. Αρχικά πίστεψα μάλιστα, ότι τόν έχετε διαβάσει καί σάς έχει επηρεάσει.....(ήταν όμως ερευνητής, ποτέ δέν προσπάθησε να προβεί σέ καταργήσεις αποδεδειγμένων θεωρημάτων)

Ερχόμαστε στό πυθαγόρειο και τήν ισχύ του.

Τό πυθαγόρειο ισχύει, διότι καμιά από τίς γνωστές αποδείξεις του, δέν παραβιάζει τά ευκλείδεια αξιώματα. Ίσχυε πρίν από αυτά, κατά τήν διάρκεια αυτών και εξακολουθεί νά ισχύει μετά από αυτά.

Όταν οι πυθαγόρειοι άθροιζαν τά τετράγωνα άθροιζαν αριθμούς, κατά καλή παλιά παράδοση. Δέν έχουμε λόγο να αμφιβάλλουμε γιαυτό. Είναι γελοίο να πιστεύουμε κάτι άλλο, όταν δέν υπάρχει και η παραμικρή ιστορική ένδειξη, που να τό πιστοποιεί. Τί άλλο θα μπορούσαν νά αθροίζουν δηλαδή και τό κυριώτερο γιά ποιό λόγο; Γιά παιχνίδι;

Απαιτεί μεγάλη προσπάθεια, γιά να αποδειχθεί ανίσχυρο τό πυθαγόρειο. Άρνηση τών αριθμών (=μέτρων), άρνηση επομένως τού αρχιμηδείου σώματος. Άν τά καταργήσετε όμως αυτά τί μένει; Ανιαρά μή μετρήσιμα σχήματα (σημειοσύνολα), τά οποία κατά τήν επαφήν τους μιμούνται τά υλικά υποδείγματα και μεταφέρουν τίς ανακρίβειες τού υλικού κόσμου στόν άϋλο....Άλλο εναρμονισμός μέ τήν φύση και άλλο εναρμονισμός μέ τήν ύλη....γιά τήν τελευταία δέν αισθανόμαστε υπεύθυνοι.

Η Γεωμετρία εξετέλεσε τήν θητεία της, σήμερα αποτελεί «υποσύνολο» τής Άλγεβρας, έτσι ώστε οι αριθμοί να είναι πανίσχυροι, όσο ποτέ.....Σήμερα αποφασίζουμε στό πύξ λάξ, πότε καί άν ένα γεωμετρικό πρόβλημα έχει λύση, μέ ή άνευ κανόνος και διαβήτη. Ούτε σχήμα δέν χρειαζόμαστε γιά να αποδείξουμε τό ο,τιδήποτε....

Φροντίστε να εκμοντερνίσετε τίς απόψεις σας...και τό κυριώτερο, μή προσπαθείστε να βρείτε τρόπο να μού απαντήσετε. Διαβάστε απλά καί ήρεμα αυτά που σάς λένε, διότι από τίς απαντήσεις σας, εκλαμβάνω, ότι βιάζεστε....Όλα αυτά τά έγραψα καλοπροαίρετα, μέ σκοπό να σάς δώσω κίνητρο, νά ασχοληθείτε μέ σύγχρονα μαθηματικά, όχι με σχολικά εγχειρίδια.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2008, 01:21 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 15:50
Δημοσ.: 406
Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Λοιπόν θά ακολουθήσω άλλη στρατηγική.

Τά μαθηματικά είναι σάν μικρά κουτάκια που τό ένα βρίσκεται μέσα σ’ένα μεγαλύτερο κοκ. Άν πάρω ένα κουτάκι από τήν μέση θά πρέπει νά εξηγήσω τό πρίν και τό μετά. Έτσι όμως θά μιλάμε μέχρι 8ης παρουσίας.


Ελπίζω να μου επιτρέψετε το χιούμορ. Προσωπικά αμφιβάλλω για τις προηγούμενες 7.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Όποιος ασχολείται μέ τέτοια θέματα ασχολείται ουσιαστικά μέ τά θεμέλια τών μαθηματικών. Κάνει έρευνα θεμελίων δηλαδή.
Ένας ερευνητής γιά νά θεωρείται σοβαρός, πρέπει νά κοιτά τί κάνουν οι υπόλοιποι ερευνητές ανά τόν κόσμο, νά μελετά τίς δημοσιεύσεις τους, νά ανταλάσσει απόψεις νά... νά... νά...


Είναι και αυτό μια άποψη οφείλω να το παραδεχτώ. Όμως οι θεμελιωτές των μαθηματικών έχουν καταθέσει τις απόψεις τους και μπορεί κάποιος μοναχικά να τις επεξεργαστεί αφού αναφερόμαστε στα θεμέλια. Μου είναι δύσκολο να αντιληφθώ την εξάρτηση της σοβαρότητας ενός ερευνητή από τους υπόλοιπους. Ίσως αν μου λέγατε ότι θα πάσχει ο αναφερόμενος ερευνητής σε γνώση των άλλων γνωμών, άλλων ερευνητών, που θα μπορούσαν – πολύ πιθανό – να του ανατρέψουν τα όποια συμπεράσματα, θα μου ήταν πολύ πιο εύκολο να το κατανοήσω. Όμως σε σοβαρότητα; Αλλά, ίσως αυτό να εννοούσατε, γιατί δεν θέλω να πιστέψω ότι βάλετε κατά της σοβαρότητάς μου αναίτια.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Δέν είναι δυνατόν νά προβάλλονται ως επιχειρήματα συγγράμματα διδακτικού περιεχομένου, τά οποία προσπαθούν να μεταδώσουν διά τού λόγου τό νόημα μιάς διδακτέας ύλης κατά τρόπο, που εναπόκειται στήν ρητορική-γλωσσολογική ικανότητα τού γράφοντος.


Αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, είτε το κρίνετε δυνατό, είτε αδύνατο να συμβαίνει, αυτό συμβαίνει στην πράξη. Η διδακτική των μαθηματικών στα συγγράμματα διδακτικού περιεχομένου στηρίζεται. Το νόημα μιας διδακτέας ύλης, ΠΑΝΤΑ εναπόκειται στη ρητορική – γλωσσολογική ικανότητα του γράφοντος, αφού τα συγγράμματα πάντα γράφονται από ανθρώπους (και τα σωστά και τα λαθεμένα). Υπάρχει τρόπος άραγε, να δημιουργηθεί κάποιο σύγγραμμα διδακτικού ή μη διδακτικού περιεχομένου το οποίο να μη «μολύνεται» από την ρητορική – γλωσσολογική ικανότητα του γράφοντος; Άνθρωποι είμαστε όλοι αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ και ανεξάρτητα από τις γνώσεις μας, τη φύση μας με τον ενυπάρχοντα σε όλους υποκειμενισμό, δεν μπορούμε να την ουδετεροποιήσουμε και να γράφουμε σαν ηλεκτρονικοί υπολογιστές, αποποιούμενη τον υποκειμενισμό. Ούτε εμβόλιο αντί – υποκειμενισμού υπάρχει βέβαια. Τα μαθηματικά ωστόσο είναι προνομιούχα εν προκειμένω. Έχουν κανόνες απαράβατους του παιχνιδιού τους; Τα αξιώματα. Όπως στο σκάκι δεν μπορείς να κινείς τα πιόνια κατά την επιθυμία σου, αλλά σύμφωνα με τις δυνατότητες που προβλέπεται για το καθένα χωριστά, έτσι και στα μαθηματικά τα αξιώματα προκαθορίζουν τις δυνατές κινήσεις σου (συλλογισμούς δηλαδή) και από αυτή την άποψη, τα μαθηματικά είναι το πλέον ευφυές δημιούργημα της ανθρώπινης νόησης, καθώς υφίσταται αντικειμενικό έλεγχο περί του ορθού ή ψευδούς κάθε συλλογισμού, ανεξάρτητα από τον υποκειμενισμό του συλλογισμού. Τα λάθη στα μαθηματικά δύσκολα μπορούν να διαλάθουν της προσοχής αφού υπάρχει πάντα ο αδέκαστος κριτής υπό το όνομα ΑΞΙΩΜΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ. Όταν τα αξιώματα δεν κρίνονται ως προς την ορθότητά τους μπορούμε να παραφράσουμε και να πούμε «Σκληρό αξίωμα (ή όποιο άλλο επίθετο επιθυμείτε), αλλά αξίωμα».
Μέσα από αυτή τη δυνατότητα υπερασπίζομαι και την δυνατότητα του μοναχικού ερευνητή, χωρίς βέβαια να συνεπάγεται ότι αποκρούω την άποψή σας για πρόσληψη όσο είναι δυνατό περισσότερων απόψεων περί το όποιο μαθηματικό θέμα. Όμως η ύπαρξη των αξιωμάτων θωρακίζει και δημιουργικά και ελεγκτικά τον όποιο ερευνητή και πάντως δεν εξαρτάται εξ αυτού η σοβαρότητά του. Δεν σας καλώ να ασπαστείτε την άποψή μου, ούτε βέβαια να ανακαλέσετε την δική σας. Συζητούμε.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Είναι σαφές, ότι ο λόγος είναι εύαλωτος, διότι ερμηνεύεται κατά τό δοκούν. Δέν είναι μονοσήμαντος.


Ορθότατο αλλά αδιέξοδο. Το ευάλωτο ή μη του λόγου είναι συνυφασμένο με την ίδια την ανθρώπινη φύση. Ούτε υπάρχει ερμηνεία χωρίς συμμετοχή του δοκούντος.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τά μαθηματικά ανέπτυξαν ανάλογον φορμαλισμό, ώστε να οδηγηθούν σέ μονοσήμαντα αποτελέσματα.
Στή Γεωμετρία ειδικά:
Τό ευκλείδειο φορμαλιστικό αξιωματικό σύστημα είναι τό πρώτο (ιστορικά), που εκινήθη σ’αυτήν τήν κατεύθυνσιν.


Ο μαθηματικός φορμαλισμός επιτρέπει και τη δράση και την αντίδραση και τον έλεγχο περί το ορθό ή ψευδές.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Υπενθυμίζω:
Ένα σύστημα είναι «πλήρες», εάν δέν μπορούμε να προσθέσουμε νέο ανεξάρτητο Αξίωμα (που χρησιμοποιεί βέβαια τούς ήδη γνωστούς όρους), χωρίς να δημιουργήσουμε αντιφάσεις
(Η πληρότης ενός συστήματος είναι δύσκολο να καταδειχθεί)


Ορθότατο.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Ένα αξιωματικό σύστημα καλείται κατηγορηματικό, εάν είναι ελεύθερο αντιφάσεων και άν δύο μοντέλλα του είναι ισόμορφα.
Παράδειγμα: Τά αξιώματα τής θεωρίας ομάδων δέν είναι κατηγορηματικά, διότι υπάρχουν άπειρες και πεπερασμένες ομάδες.


Ορθό αλλά εκτός των δικών μου αποριών.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τό αξιωματικό σύστημα τής ευκλειδείου γεωμετρίας κατά Hilbert είναι κατηγορηματικό, κατά Ευκλείδη όμως όχι. Άν απομακρύνουμε τό Αξίωμα παραλλήλων, τότε είναι και τού Hilbert πλέον μή κατηγορηματικό.


Επιτρέψτε μου να διαφωνήσω. Πέρα από το αξίωμα των παραλλήλων υπάρχει η «αναβάθμιση» της αρχής Αρχιμήδη – Εύδοξου από απλό αστήρικτο αξιωματικά θεώρημα (πρόταση) στι ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, σε αξίωμα κατά τον Χίλμπερτ. Εύκολα μπορώ να καταδείξω ότι το εν λόγω αξίωμα δεν συμφωνεί με το μέτρο, ούτε με τον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Σήμερα παίρνουμε, απ’ευθείας, τό αξιωματικό σύστημα τού Kolmogorov, τό οποίο ανταπεξέρχεται μέ μιά «χούφτα» αξιώματα. Οι βασικές έννοιες είναι 3 : «σημείο», «ευθεία» και «επίπεδο». Όλα τά άλλα εξάγονται από αυτές. Η επίπεδος ευκλείδεια γεωμετρία μάς δίδεται τότε μέσω ενός συνόλου Ε, τού οποίου τά στοιχεία ονομάζονται σημεία και ενός συνόλου G, τού οποίου τά στοιχεία ονομάζονται ευθείες.


Δεν θα το σχολιάσω, παρά μόνο θα επισημάνω ότι και οι ευκλείδειες αρχικές έννοιες είναι οι ίδιες 3 και στην ουσία μία. Σημείο, ευθεία, επίπεδο. Το μοναδικό στοιχείο της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι μόνον ένα. Το σημείο, από το οποίο παράγονται όλα τα αξιώματα ακόμα και οι άλλες δύο αρχικές έννοιες ευθεία και επίπεδο. Πολύ απλούστερο δηλαδή από το του Kolmogorov.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τό μεγαλειώδες εδώ είναι, ότι δέν χρειάζεται νά γνωρίζουμε τίς ιδιότητες τών στοιχείων τού συνόλου! Μάς αφήνει κυριολεκτικά αδιάφορους.
Οι λέξεις σημείο καί ευθεία πχ χρησιμοποιούνται μόνο γιά νά συνεννοούμαστε, όταν συζητάμε. Θά μπορούσαμε νά τά λέμε καί κοτόπουλο1 ή κοτόπουλο 2. Δέν υπάρχουν εξέχοντα σημεία ή εξέχουσες ευθείες.


Ούτε στον Ευκλείδη υπάρχουν εξέχοντα σημεία ή ευθείες. Το οτιδήποτε επί του επιπέδου του Ευκλείδη είναι σημεία και επομένως: Η όποια γλωσσολογικά αναφορά επί των στοιχείων τους έχει να κάνει ή με σημείο, ή με ευθεία εκ σημείων ή με επίπεδο εκ σημείων. Ότι δεν είναι σημείο, είναι ή ευθεία εκ σημείων ή επίπεδο εκ σημείων ή ότι δεν είναι ευθεία εκ σημείων, είναι σημείο ή επίπεδο εκ σημείων ή ότι δεν είναι επίπεδο, είναι σημείο ή ευθεία εκ σημείων. Απλούστερο δεν είναι δυνατό να υπάρχει.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Αυτή είναι η αξία τού φορμαλισμού, δημιουργεί κοινή, μονοσήμαντη διαπλανητική πλατφόρμα συνεννόησης.
Δέν υπεισέρχεται θέμα τί εννοεί ο Ευκλείδης, ή ο οιοσδήποτε Ευκλείδης, τό φορμαλιστικό σύστημα «μιλάει» μόνο του.


Ελπίζω να το ακούσω να ομιλεί και σε σχέση με τα ερωτήματά μου.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Είναι σωστό αυτό; Ναί είναι. Άν εγώ θέλω να μελετήσω τίς τροχιές τών πλανητών, θά μέ απασχολήσει, άν τά σημεία τής τροχιάς είναι έτσι ή αλλιώς; Όχι βέβαια...


Αν θέλετε τις τροχιές των πλανητών ασφαλώς. Αν θέλετε όμως το πυθαγόρειο να μου πείτε τι ακριβώς θα ισχύσει με το αξιωματικό σύστημα Kolmogorov. Είμαι περίεργος που το πάτε αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ γιατί θα πρέπει να σας θυμίσω ότι το πυθαγόρειο θεωρείται ορθό πριν καν υπάρξει υποψία ύπαρξης Kolmogorov και κουβαλάει μαζί του αποδείξεις με κανόνα και διαβήτη που κανείς μέχρι τώρα δεν τις έχει αρνηθεί σαν εσφαλμένες, εξαιτίας κανενός Kolmogorov, Χίλμπερτ, Καντόρ ή όποιου άλλου.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τώρα άς αναλύσουμε, γιατί εσείς εξάγετε διαφορετικά αποτελέσματα απ’ ότι τά επίσημα μαθηματικά. Πού οφείλεται αυτό;

Η λύση ευρίσκεται κατά τήν γνώμη μου σέ δύο σημεία.
1.Ερμηνεύετε τόν αριθμό διαφορετικά


Από ποιον την ερμηνεύω διαφορετικά; Υπάρχει αξιωματική ερμηνεία του αριθμού και την παραβιάζω; Εσείς έχετε κάποια άλλη ερμηνεία της έννοιας του αριθμού, όπως την εκφράζει ο Ευκλείδης και ήδη την έχετε αναφέρει, η οποία να στερείτε υποκειμενισμού και να είναι αντικειμενική; Για μένα «αριθμός είναι συγκείμενον πλήθος μονάδων» όπως ο Ευκλείδης αναφέρει και μάλιστα με τη δική σας υπόδειξη περί του τι εννοεί η έκφραση «συγκείμενον». Πρόκειται δηλαδή αξιωματικά για πλήθος μονάδων όταν τουλάχιστον αναφερόμαστε στους Ν. Έχετε κάποια άλλη αξιωματικά στηριγμένη ερμηνεία κύριε Αποκαλυπτικέ απέναντι στη δική μου που όπως σας είπα είναι η αξιωματική διατύπωση του «αριθμός»;

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
2.Έχετε (συνειδητά ή όχι) άλλην αντίληψιν περί τού συνεχούς.


Ουδεμία άλλη αντίληψη σας βεβαιώνω και για να γίνω κατανοητός εξηγώ:
Υπάρχουν δύο είδη συνέχειας αξιωματικά θεμελιωμένες αμφότερες:
α. Αυτή που διασφαλίζει την διαδοχικότητα δύο ευθύγραμμων τμημάτων, αλλά και τα καθιστά αξιωματικά ένα τμήμα, π.χ. ενός ευθύγραμμου τμήματος με εσωτερικό κοινό σημείο. Παράδειγμα: Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με εσωτερικό σημείο Γ. Η συνέχει είναι ΑΓ, ΓΒ. Μέσω αυτής μπορούμε να πούμε ότι τα ΑΓ και ΓΒ είναι ένα ακέραιο τμήμα ΑΒ.
β. Η επαφή των σχημάτων. Σαν επαφή (ευκλείδεια ορολογία) νοώ την έλλειψη απόστασης μεταξύ των σχημάτων, τα οποία όμως δεν ταυτίζονται και δεν «ενώνονται σε ένα δημιουργώντας την ίδια συνέχεια με την παραπάνω στο (α) διαδοχικότητα. Τα σχήματα απλά εφάπτονται δια των σημείων τους, όταν μεταξύ τους υπάρχει αποδεδειγμένα και αξιωματικά προβλεπόμενη, απόσταση μηδενική. Παράδειγμα: Οι ακμές δύο ημιεπιπέδων Π1 και Π2 που ορίζονται από ευθεία που «διέρχεται» από το επίπεδο, απέχουν μηδενικά αξιωματικά και αποδεδειγμένα (αφού η ευθεία δεν έχει πλάτος). Στο ερώτημα πόσο απέχει δοσμένο τετράγωνο επί του επιπέδου, από το ίδιο το επίπεδο, αν δοθεί απάντηση μόνο το «μηδενικά» θα είναι αξιωματικά θεμελιωμένη.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Ως πρός τόν αριθμό.
Όταν ο Ευκλείδης λέει «πλήθος μονάδων» δέν εννοεί σακκί με πατάτες, όπου τό σακκί είναι ο αριθμός και οι πατάτες μονάδες.
Πού τό γνωρίζω;
Σίγουρα όχι από προσωπική επαφή. Τό πνεύμα όμως τών Στοιχείων και οι εργασίες όλης τής πλατωνικής ακαδημείας δέν μέ αφήνουν να αμφιβάλλω. Θά ήταν κουτό, εάν θεωρούσαν τόν αριθμό διαφορετικά, θά έδεναν τά χέρια τους οικειοθελώς.


Αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, η αιτιολογία σας δεν είναι αντάξια των δυνατοτήτων σας πιστέψτε με. «Τό πνεύμα όμως τών Στοιχείων και οι εργασίες όλης τής πλατωνικής ακαδημείας» δεν αποτελούν κριτήριο ορθότητας τουλάχιστον στα μαθηματικά. Στα μαθηματικά και το είπα εξαρχής και δεν είναι μόνο δική μου άποψη, κριτήριο περί την ορθότητα είναι μόνο τα αξιώματα. Και εγώ να συμφωνήσω μαζί σας για να σας κάνω το χατίρι, δεν θα συμφωνήσουν τα μαθηματικά να κριθεί η ορθότητα συλλογισμού με κριτήριο «το πνεύμα που επικρατεί». Λέτε ότι θα ήταν κουτό εάν θεωρούσαν τον αριθμό διαφορετικά. Εδώ ισχύει η παράφραση με άλλο επίθετο: Κουτό αξίωμα, αλλά αξίωμα.
Που δεν είναι καθόλου κουτό πιστέψτε με.
Μη ξεχνάτε ότι βρισκόμαστε στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα και όχι σε οποιοδήποτε πλατωνικό! Χρησιμοποιείτε μια γνώμη απέναντι στη σαφήνεια του αξιώματος με το επιχείρημα ότι θα ήταν κουτό να είναι αλλιώς. Εγώ υποστηρίζω ότι θα ήταν έξυπνο, κάτω από το πρίσμα ότι δεν θα είχα απώτερο στόχο τα μαθηματικά να έχουν τη σημερινή μορφή και την οποία θα ήθελα να εξυπηρετήσω τότε. Εσείς και να με συγχωρείτε, προσπαθείτε αναδρομικά να αιτιολογήσετε τη σημερινή κατάσταση επικαλούμενος το πνεύμα. Τι αξία έχει το «πνεύμα» όχι μόνο της πλατωνικής σχολής, αλλά και του θεού ενδεχομένως μέσα σε ένα αξιωματικό σύστημα που σε σχέση τουλάχιστον με την έννοια «αριθμός» είναι σαφέστατο; Το σημαντικότερο όλων στα μαθηματικά, είναι ο σεβασμός του αξιωματικού συστήματος, ακόμα και από τη σοφία και την ευφυΐα και τη μεγαλοφυΐα και την ιδιοφυία και το θεό. Και ο θεός να παραβιάσει το αξιωματικό σύστημα, λάθος θα κάνει και ας έχει όχι μόνο το πνεύμα, αλλά και το άγιο πνεύμα.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Δέν θά χρειάζονταν τότε τους αριθμούς...όλα θά ήταν Ενα. Εκτός που η μονάδα δέν θεωρείτο τότε αριθμός. Μπορούσαν όμως να έχουν ευθύγραμμο τμήμα ίσο μέ τήν μονάδα.

Από που ο συμπερασμός; Πως θα ήταν όλα 1; Το 17 θα ήταν 17 μονάδες και το 18 θα ήταν 18 μονάδες ακώλυτα όπως χρησιμοποιείτε τη λέξη σχετικά με το άπειρο και την δανείζομαι από σας. Πως τα βλέπετε να ήταν όλα 1; Γιατί τέτοιο άλμα να υπερπηδήσετε την αξιωματική ορθότητα; Το ξέρω ότι η μονάδα δεν θεωρείτο αριθμός. Όμως οι αριθμοί δεν δυσκολεύονται να αποτελούνται από μονάδες και όχι μόνο, αλλά υποχρεούνται να αποτελούνται από μονάδες. Τι σχέση έχει το ένα με το άλλο; Πως δεν θα χρειάζονταν τους αριθμούς; Σε ότι αφορά το αν μπορούσαν να έχουν ευθύγραμμα τμήμα ίσο με τη μονάδα, έχω να πω ότι όλα τα ευθύγραμμα τμήματα είναι 1 το καθένα, ανεξάρτητα από το ποιο είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο ή ίσο προς κάποιο άλλο. Το 1 καθενός των ευθύγραμμων τμημάτων, δεν αποτελεί με χάρη ή όποια υπέρβαση μονάδα.
Στοιχεῖα Εὐκλείδου ζ΄
[Βιβλίον VII]
Ὅροι κγ΄ [23].
α΄ [1]. Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.
Όπως βλέπουμε, αν δεν θεωρηθεί μονάδα το κάθε ευθύγραμμο τμήμα, θα παραβιάζεται το αξίωμα. Επομένως «δεν μπορούσαν να έχουν ευθύγραμμο τμήμα ίσο με την μονάδα», αλλά δεν μπορούσαν να κάνουν αλλιώς αν ήθελαν να είναι εναρμονισμένοι το με αξιωματικό σύστημα. Αντίθετα η αντίληψη του ακέραιου πολλαπλασίου της μονάδας δεν γνωρίζω να υπάρχει αξίωμα να το προβλέπει και αν υπάρχει θα έρχεται σε πλήρη αντίθεση με το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη. Ακέραιο πολλαπλάσιο αιτιολογείται αξιωματικά σχετικά με ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, μόνο στην γεωμετρία Χίλμπερτ που έχει μετατρέψει το θεώρημα που λέμε Αρχή των Αρχιμήδη – Εύδοξου σε αξίωμα, όμως δεν υπακούει ούτε στη θεωρία μετρήσεως (είναι πάνυα ανακριβές στη μέτρηση), ούτε αντιστοιχίζεται με τον άξονα R των πραγματικών αριθμών, ένα προς ένα σημείο με πραγματικό αριθμό. Αν χρειαστεί να το δούμε μαζί.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Αθροίζονται αυτά; Ναί, όπως θέλουμε, μπορούμε να έχουμε ευθύγραμμο τμήμα 3 μέτρων, άν θέλουμε, (όπως κάνουμε και σήμερα με όλη μας τήν άνεση) Τί θα μάς εμποδίσει; Δέν υπάρχει γεωμετρική λογοκρισία, ούτε αξίωμα που νά μάς τό απαγορεύει. Δέν σκάβουμε τόν λάκκο μόνοι μας.


Δεν χρειάζεται αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ να σκάψουμε κανέναν λάκκο. Λάκκος είναι το σφάλμα και είναι συνεχώς ανοιχτός για να πέσουμε μέσα.
α. Αν μεν πάμε στην ευκλείδεια γεωμετρία που γίνονται αθροίσεις ευθύγραμμων τμημάτων μέσω των μηκών τους με απόκτηση κοινού σημείου (γνωρίζετε τη διαδικασία με τον διαβήτη), η άθροιση των ευθύγραμμων αυτών τμημάτων πέρα από έμμεση (γιατί τα ίδια τα ευθύγραμμα τμήματα δεν μετακινούνται επί του επιπέδου) ανάγει στην άθροιση των μη αρνητικών αριθμών. Έτσι ερχόμαστε στο προηγούμενο, αν οι μονάδες αθροίζονται και δημιουργούν ακέραιο πολλαπλάσιο της μονάδας ή είναι συγκείμενο πλήθος όπως προβλέπει το αξίωμα. Έτσι δεν βλέπω και τόση άνεση στην ευκλείδεια γεωμετρία αν συνδυαστεί ότι συγχρόνως η Αρχή Εύδοξου – Αρχιμήδη είναι ακόμα θεώρημα και θα γίνει αξίωμα μετά από 25000 χρόνια.
β. Αν σήμερα αθροίσουμε (ενώσουμε) 3 ευθύγραμμα τμήματα του 1 μέτρου το καθένα, στηριζόμενοι στον Χίλμπερτ, η θεωρία μετρήσεως που δεν έχει αλλάξει και προβλέπει σαν μέθοδο μετρήσεως την επίθεση του μέτρου επί του μετρούμενου, θα βγάλει ανακτινές το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ όταν ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ. Είμαι στη διάθεσή σας να το αποδείξω όσο εύκολα τουλάχιστον θεωρείτε εσείς ότι τίποτα δεν μπορεί να σας εμποδίσει και επικαλείστε τη λογοκρισία και όχι τη μέτρηση.
γ. Αν πάμε στον R, ορίζεται μονάδα μήκους 0,1. Αυτό παραπέμπει σε μέτρηση με ακέραιο μέτρο και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ=ΑΔ=3 δεν έχει καμία απολύτως ελπίδα στην ακρίβεια. Και αυτό είμαι στη διάθεσή σας να το αποδείξω αν χρειαστεί αν και νομίζω ότι επειδή αντιλαμβάνεστε ακριβώς τι λέω δεν θα το αμφισβητήσετε.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Άν μάλιστα ο Πλάτων δέν ήταν τόσο αυστηρός, θά είχε επιτρέψει και κατασκευές χωρίς κανόνα και διαβήτη (που έχει βέβαια παιδαγωγικά κυρίως πλεονεκτήματα) σέ μία εποχή, που οι υπόλοιποι μαθηματικοί τής εποχής είχαν λύσει όλα τά αποκαλούμενα άλυτα προβλήματα τής αρχαιότητος μέ τήν μέθοδο σημείου προς σημείον.

Αυτό πως σχετίζεται με την υπόθεσή μας;

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Οι μετασχηματισμοί τού Ευκλείδη είναι άχρηστοι, άν γίνουν αυτοσκοπός, δέν μετασχηματίζουμε γιά να μετασχηματίζουμε. Πίσω από όλα κρύβονται αριθμοί, μέτρα δηλαδή. Γιαυτό και είναι όλα επιτρεπτά. Ο Ευκλείδης μιλάει μόνο γιά ευθύγραμμα τμήματα (μήκη=αριθμός=μέτρο) και επιφάνειες (εμβαδόν=αριθμός). Τό ότι τά περισσότερα βιβλία τών Στοιχείων επικεντρώνονται σέ γεωμετρικές κατασκευές δέν καταδεικνύει απάρνησιν τού αριθμού.
Σκοπός γενικά κάθε μαθηματικού, κάθε εποχής, είναι νά βρεί τρόπο νά λύσει προκύπτοντα προβλήματα, όχι να δημιουργήσει νέα εκεί που δεν υπάρχουν!


Με αιφνιδιάζετε. Σας παραπέμπω στο προηγούμενο μήνυμά μου το οποίο υποχρεωτικά επαναφέρω:
[Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηματικών των συγγραφέων Lucas N. H. Bunt - Philip S. Jones - Jack D. Bedient το οποίο διανέμεται στο μάθημα "Ιστορία των Μαθηματικών" του Μαθηματικού τμήματος στο Πανεπιστήμιο της Πάτρας.

[Διαφορά μεταξύ Ευκλείδειας και Σύγχρονης μεθόδου σύγκρισης εμβαδών.

O τρόπος με τον οποίο σύγκρινε ο Ευκλείδης τα εμβαδά, είναι εντελώς διαφορετικός από αυτόν, που χρησιμοποιούμε σήμερα για τον ίδιο σκοπό. Με τη σύγχρονη πραγμάτευση αυτού του θέματος το εμβαδόν ενός σχήματος (όπως και το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος) δηλώνεται με έναν αριθμό.
O Ευκλείδης όμως ούτε μήκη ευθυγράμμων τμημάτων δήλωνε με αριθμούς, ούτε εμβαδά σχημάτων.
Όταν ήθελε να δείξει ότι δυο σχήματα έχουν ίσα εμβαδά, αποδείκνυε ότι το ένα από αυτά μπορεί να χωριστεί σε μέρη τέτοια ώστε, αν κατάλληλα αναπροσαρμοστούν, να παράγουν το άλλο σχήμα.]

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Όταν χωρίζουμε τό παραλληλόγραμμο σέ δύο τετράγωνα, αυτά έχουν μία κοινή πλευρά, διότι η ευκλείδεια γεωμετρία είναι γεωμετρία επιφανειών (εμβαδών δηλαδή) και μηκών (αριθμών δηλαδή) και τίποτε δέν τίς εμποδίζει να ενωθούν, ακριβώς όπως τίποτε απολύτως δέν εμποδίζει και τούς αριθμούς.


Νέος αιφνιδιασμός και αυτή τη φορά μένω άναυδος πραγματικά.
Τίποτα δηλαδή δεν εμποδίζει την άθροιση σχημάτων κύριε Αποκαλυπτικέ, παρά το γεγονός ότι δεν προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων; Μου κάνει τρομερή εντύπωση που το ακούω όχι από άλλον αλλά από εσάς. Δηλαδή στη γεωμετρία μπορείτε να ενεργείται και χωρίς αξιωματική κάλυψη, έτσι απλά επειδή το πήρατε απόφαση και το διατυπώνετε δημόσια; Μήπως μπορείτε να πάρετε και ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο και να τα ενώσετε (αθροίσετε σε ένα σχήμα) αφού τίποτα δεν φαίνεται να σας εμποδίζει και η έλλειψη αξιώματος είναι κατά τα φαινόμενο για σας επουσιώδης;
Σε ότι αφορά την «ένωση» αριθμών, πάλι θα σας θυμίσω ότι επίσης δεν υπάρχει αξίωμα που να το προβλέπει και ότι το «πνεύμα του πλατωνισμού» δεν έχει ισχύ αξιώματος. Δηλαδή τίποτα δεν μας εμποδίζει να πούμε 1+1=2 και το 2 να το αντιληφθούμε σαν έναν ακέραιο αριθμό που περιέχει και τις δύο μονάδες παρά την έλλειψη αξιώματος; Και ποιο κατά τη γνώμη σας είναι το κοινό στοιχείο δύο μονάδων που τις καθιστά ικανές να ενωθούν; Υπάρχει κοινός αριθμός μεταξύ δύο διακριτών μονάδων να αποτελέσει μέσο ένωσης των μονάδων; Κάτι δεν πάει καλά σήμερα.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Μά η ευθεία χωρίζει θά μού πείτε, δέν ενώνει. Ναί, αυτός είναι λεκτικός όρος, δέν επιδέχεται ερμηνείας, που να επιτρέπει εκατέρωθεν επαφήν σημείων. Γιατί όχι; θά μου πείτε. Γιατί αυτό θά πεί φορμαλιστικό αξιωματικό σύστημα, ειδάλλως θά είχαμε 100 άτομα μέ 100 γνώμες.


Η ευθεία δεν χωρίζει κύριε Αποκαλυπτικέ. Η ευθεία ορίζει δύο ημιεπίπεδα αξιωματικά. Ούτε βέβαια και ενώνει γιατί πριν την ευθεία ενωμένο ήταν το επίπεδο. Δεν μπορεί να είναι ενωμένο πριν την ευθεία και να εξακολουθεί να είναι και ενωμένο μετά την ευθεία, γιατί αν είναι ενωμένο και μετά την ευθεία αντιφάσκουμε στο ορισμό από την ευθεία των 2 ημιεπιπέδων. Αδυνατώ να σας παρακολουθήσω (συλλογιστικά εννοώ) εν προκειμένω ενώ σε άλλα θέματα σας βρίσκω συναρπαστικό.
Το ωραίο είναι ότι ομιλείτε περί φορμαλιστικού αξιωματικού συστήματος ώστε να μην υπεισέρχονται αυθαίρετες απόψεις χωρίς αξιωματική στήριξη.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Είναι δηλαδή λάθος νά θεωρήσω εφαπτόμενα σημεία;
Ναί, είναι λάθος, διότι δέν είναι συμβατό με τά υπόλοιπα θεωρήματα, αλλά τό κυριώτερο είναι, ότι είναι κουτό! Πρόκειται περί άγονης σκέψης, μάς αποξενώνει από τούς αριθμούς, διότι προσβάλλει τό συνεχές.


Πρώτη φορά αντιμετωπίζω άποψη που να κρίνει την ορθότητα αξιώματος με κριτήριο αν συμβαδίζει με θεώρημα. Αν το αξίωμα είναι κουτό τι να κάνουμε; Δύο πράγματα υπάρχουν ή να το αγνοήσουμε ή να πάμε σε άλλο αξιωματικό σύστημα που δεν το περιέχει και λάμπει από εξυπνάδα. Αχ, κύριε Αποκαλυπτικέ τι μου απολακύπτετε!

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Άν ορίσουμε τό συνεχές διαφορετικά; Αυτό μπορείτε να τό κάνετε, υπάρχουν και άλλοι, που τό έκαναν, κατέληξε όμως να αφορά μόνο ιστορικούς μαθηματικών και φιλοσόφους. Η ευκλείδεια όμως γεωμετρία είναι αρχιμήδεια, οπότε αποκλείει η ίδια τά εφαπτόμενα σημεία. Γιατί;
Γιατί τό επέλεξε έτσι η ίδια (φρόντισε ο Εύδοξος γιαυτό), γιατί ήθελε να προχωρήσει, νά λύσει προβλήματα, όχι νά μείνει μέ τό στόμα ανοιχτό και να πεί «Μά αυτό δέν γίνεται....!» Είπαμε, η τέχνη είναι να προχωράς, όχι να σταματάς....τό συνεχές απησχόλησε, ακριβώς επειδή θέλαμε πάντα νά έχουμε δυνατότητα μέτρησης. Όλα αφορούν μέτρα καί μέτρηση (μέ αριθμούς όχι μέ υλικά υποδείγματα)


Μάλιστα. Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι Αρχιμήδεια και φρόντισε ο Εύδοξος με ένα θεώρημα να υπερκεράσει όλα τα αξιώματα. Και το φορμαλιστικό αξιωματικό σύστημα στο οποίο εσείς αναφερθήκατε δεν μετράει εν προκειμένω ή άλλοτε μετράει και άλλοτε όχι; Τα έχω χάσει.

Αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, διάβασα τις απόψεις και για το πυθαγόρειο. Σας απαντούσα κατά σειρά χωρίς να έχω διαβάσει όλο το κείμενο. Έτσι συνέταξα την απάντηση. Θα την παραθέσω και ας μείνει αναπάντητη. Ούτε να επικαλεστώ κείμενά σας που στηρίζετε την ανατροπή του πυθαγορείου θα επιχειρήσω. Μόνο λυπάμαι που αλλάξετε τόσο εύκολα απόψεις παρά το ότι οι γνώσεις φαίνεται να ήταν και να είναι σταθερές. Ή μάθατε ή ξεμάθατε ή υπήρχε υποκρισία.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τό πυθαγόρειο ισχύει, διότι καμιά από τίς γνωστές αποδείξεις του, δέν παραβιάζει τά ευκλείδεια αξιώματα. Ίσχυε πρίν από αυτά, κατά τήν διάρκεια αυτών και εξακολουθεί νά ισχύει μετά από αυτά.


Συμφωνώ είναι σύμφωνο και με το αξίωμα της άθροισης σχημάτων και με το αξίωμα της άθροισης αριθμών σε ακέραιο πολλαπλάσιο του Ευκλείδη αμφότερα και αποδεικνύεται και μετρικά. Όπως επιθυμείτε.

Συνοπτικά, οι αριθμοί αθροίζονται σε ακέραιο πολλαπλάσιο, τα σχήματα αθροίζονται και τα μέρη τους κάνουν όλο, ο Ευκλείδης έκανε άχρηστους μετασχηματισμούς, οι μετασχηματισμοί του Ευκλείδη αν και άχρηστοι χρησιμεύουν σε απόδειξη του πυθαγορείου, 4 τετραγωνικά μέτρα μπορούν να μετρήσουν 1 τετράγωνο 2Χ2, οι πραγματικοί αριθμοί έχουν αντιστοίχηση ένας προς ένας με τα σημεία μιας ευθείας, άσχετα αν δεν υπάρχει μέσος αριθμός στο 0,1 αντίστοιχος του μέσου σημείου ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ=1. Αφού κανένας δεν το αρνείται σύμφωνα με τη δημοκρατία των μαθηματικών, έχει την πλειοψηφία.
Όλα όσα σας έγραψα παρακαλώ ξεχάστε τα. Αν έχετε κάτι να μου πείτε να μου φανεί χρήσιμο είναι μόνο ένα. Να απαντήσετε στο ερώτημα που αγνοήσατε γιατί είμαι βέβαιος πω και σε αυτό θα έχετε το ίδιο έγκυρη απάντηση. Αν όχι και πάλι καλώς.

Αρχική έννοια του Ευκλείδη, περί επιφάνειας (επίπεδο):
Επιφάνεια δε, ό, τι μόνον πλάτος και μήκος έχει.

Πρόβλημα:
Ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο Ο και το όλο σχήμα ονομάζουμε Κ.
Το σχήμα Κ, ορίζει επίπεδο επομένως, αλλά συγχρόνως εκφράζει επίπεδο σχήμα με μήκος και πλάτος στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα ή όχι; ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ κατά την άποψή σας;

Σημείωση: Είναι φανερό ότι το Κ, έχει και μήκος και πλάτος σχηματοποιώντας ακριβώς την αρχική έννοια περί επιπέδου, ενώ συγχρόνως είναι διάφορο του ευκλείδειου σημείου μέρος ουθέν, που είναι το μοναδικό χωρίς κανένα μέγεθος γεωμετρικό στοιχείο. Η ευθεία πάλι είναι μόνο μήκος.

Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας και να είστε καλά μου μάθατε τη νέα στρατηγική της επιθυμίας που είναι πολύ παλιά.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Δεν σας συγχωρώ. Σας λυπάμαι.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2008, 04:17 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 15:50
Δημοσ.: 406
Αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ. Έλαβα το παρακάτω email, από φίλο που διάβασε το θέμα που μας απασχολεί. Βέβαια το γνώριζα το θέμα και προσωπικά σαν χρήστης του φόρουμ (αρχή του εντυπωσιασμού μου από μέρους σας που κατέληξε σε πλήρη απογοήτευση), αλλά δεν είχα κρατήσει το αρχείο του mathematics. Ευτυχώς υπάρχουν μάτια και βλέπουν και κατανοούν τα επιχειρήματα αμφοτέρων. Παρά το ότι με έθιξε το ύφος ανωτερότητας που απρόκληρα και εντελώς αναιτιολόγητα δείξατε στο πρόσωπό μου (ενώ ήμουν ειλικρινής ότι σας τιμώ ή μάλλον σας τιμούσα συνειδητά και δεν αποδέχτηκα να μου ζητάτε συγγνώμη για μια παρανόηση των προθέσεών μου, ανακαλώ και δεν σας συγχωρώ, μετά όσα τραγελαφικά και μη ανάλογα των δυνατοτήτων σας, από μέρους σας έλαβαν χώρα), σας κατανοώ γιατί έχετε ένα πρεστίζ στο εδώ φόρουμ, αλλά δικαιώνομαι αναφερόμενος στην υποκρισία σας. Οι υποδείξεις δε, να εκμοντερνιστώ (!) μάλλον σας αφορούν με την υπόδειξή μου να εξανθρωπιστείτε. Σας αξίζει πραγματικά να είσαστε ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. Αυτό σας λείπει και είμαι ειλικρινά δυστυχής που το διαπιστώνω για σας που τόσο ζήλευα, όσο και για την μεγαλειώδη γκάφα μου εκτίμησης των ανθρώπινων χαρακτήρων.
Σας αποστέλλω το κείμενο (υπό την υπόσχεση του φίλου να μου προμηθεύσει όλα τα αρχεία του http://www.mathematics.gr τα οποία έχει κρατήσει το ίδιο εντυπωσιασμένος και αυτός από εσάς). Βγήκε έξω από τα ρούχα του ο άνθρωπος με αυτά που μου γράφετε. Σας ακολουθώ από το mathematics και σας παρακολουθώ εκστασιασμένος από τότε που αρχίσατε να συνομιλείτε εδώ με την εξαιρετική μαθηματικό αλλά κυρίως ΚΥΡΙΑ zoi και ειλικρινά τώρα έρχομαι να λυπηθώ που την ξεγελάσατε κι αυτή, όπως ξεγελάτε και τον ίδιο σας τον εαυτό προκειμένου να κάνετε εντύπωση.
Ο lmrs που αναφέρεται στο παρακάτω κείμενο και τον στηρίζετε και τον αποδέχεστε όπως λέτε, είναι ο κύριος Λάμπρος Μαγκλάρας, το μαύρο πανί ή το μαύρο πρόβατο (κάτι μαύρο τέλος πάντων) των μαθηματικών που υποστήριζε ο άνθρωπος ότι το πυθαγόρειο δεν αποδεικνύεται. Τώρα πάσχει από δύο μορφές καρκίνου και καλό θα είναι ούτε να τον υποψιαστείτε, ούτε να τον αναστατώσετε. Έχει μερικούς τρελούς ή "τρελούς" οπαδούς σαν εμένα και τον στηρίζουμε. Τον παρακολουθώ επίσης και έχω στενή γνωριμία μαζί του. Δείτε τι λέγατε τότε και κάνετε αντιπαραβολή με όσα σήμερα ισχυρίζεστε απέναντί μου. Τα σημειώνω με χοντρά γράμματα και αν αμφισβητείτε τα λεγόμενά σας να παραθέσω ολόκληρη την σελίδα με τα στοιχεία της.

Παράθεση:
Apokalyptikos από http://www.mathematics.gr

Φίλοι σάς χαιρετώ,

Άς θέσωμεν έν πλαίσιον συζητήσεως εκκινώντες από τό παρελθόν πρός τό μέλλον.
Έστω υλικόν τι τετράγωνον κείμενον επί τραπέζης. Τό τετράγωνον «άπτεται» τής τραπέζης, εφάπτεται δήλα δή αυτής. Η επαφή αυτή έχει κύρος ως λεκτικός όρος και περιγράφει τήν φυσικήν επαφήν τών δύο υλικών σωμάτων. Η γραμμή, η οποία σχηματίζεται κατά μήκος τής μίας π.χ. πλευράς τού τετραγώνου κατά τήν επαφήν τών δύο σωμάτων, ορίζει τήν απλατήν ευθείαν τής κατοπινής ευκλειδίου γεωμετρίας. Η αυτή ευθεία γραμμή εμφανίζεται καί κατά τήν πλευρικήν επαφήν δύο υλικών τετραγώνων καί είναι μέν απλατής καί μή μετρήσιμος πλήν όμως υπαρκτή. Τό αυτόν αποτέλεσμα προσδίδει καί η τομή ενός τετραγώνου κατά μήκος τών διαμέσων τού τετραγώνου. Η τομή είναι μέν απλατής, πλήν όμως πραγματική καί τό αποτέλεσμα τό οποίον επιφέρει επί τής ακεραιότητος τού τετραγώνου μονοσήμαντον καί οριστικόν. Η ακεραιότης τού αρχικού τετραγώνου απολλύεται διά παντός, δίδουσα ύπαρξιν εις τέσσερα τόν αριθμόν νέα τετράγωνα. Η ερώτησις ήτις καί μάς απασχολεί είναι κατά πόσον η πράξις αυτή είναι αμφίδρομος. Εις τόν υλικόν κόσμον η απάντησις είναι σαφώς αρνητική, η απώλεια τής αρχικής ακεραιότητος είναι οριστική καί αμετάκλητος. Τά τέσσερα τετράγωνα αδυνατούν νά υπερβούν τό φυσικόν εμπόδιον τό οποίον επροξένησεν η τομή, ώστε νά επαναδημιουργήσουν τό αρχικόν τετράγωνον, τό πρόβλημα τό γνωρίζει ο καθείς μας, όταν καλείται νά συγκολλήση τετμημένα αντικείμενα και νά επαναδημιουργήση τήν αρχικήν ακεραιότηταν.
Εις τήν Αρχαιότητα ήτο εν γένει αποδεκτόν: «Τό Όλον είναι μεγαλύτερον τών Μερών του» (Αριστοτέλης) καί αφορούσε τήν Ακεραιότητα (Όλον) καί τόν Μερισμόν της, όχιν τό Μέτρον.
Η πυθαγόρειος σχολή εμφανίζει ωστόσον αντίθεσιν, διότι συνειδητώς ή ασυνειδήτως εδέχθη, ότι τό Όλον είναι ακριβώς ίσον πρός τά Μέρη του. Τό θέμα απησχόλησεν καί απασχολεί ακόμην τούς φιλοσοφικούς κύκλους, καθ’ότι τό Όλον καί τά Μέρη του δέν συνυπάρχουν. (Τό Όλον, ως αρχική Ακεραιότης, έχει ήδη εξαφανισθή όταν εμφανισθούν τά Μέρη του, καί αυτά αποτελούν μέ τήν σειράν τους νέας Ακεραιότητας, οπότε τό πρόβλημα ανάγεται εις τήν ανασύνθεσιν Ακεραιότητος εξ Ακεραιοτήτων)
Η (ενδεχομένη) ΣΥΝΘΕΣΙΣ τής αρχικής Ακεραιότητος εκ τών Μερών της (ή εκ δεδομένων προϋπαρχόντων Ακεραιοτήτων) εξετάζεται εις τόν χώρον τών μαθηματικών διά τών ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ καί διά τής πράξεως τής ΠΡΟΣΘΕΣΕΩΣ .
Ας ξεκινήσωμεν εκ τής τελευταίας.
Η πρόσθεσις είναι μία ΠΡΑΞΙΣ, διά τήν τέλεσιν τής οποίας απαιτείται ένας ΤΕΛΕΣΤΗΣ. Ο τελεστής αυτός ονομάζεται «ΣΥΝ» καί συμβολίζεται μέ τό +. Αλλά τί είδους πράξις είναι αυτή; Είναι η πράξις η οποία θά μάς αποφέρη τήν ΣΥΝΘΕΣΙΝ τών δεδομένων Ακεραιοτήτων (ή τών Μερών) εις έν Όλον, δήλα δή εις μίαν νέαν Ακεραιότηταν. Αυτό βεβαίως υπό τήν προϋπόθεσιν, ότι η τέλεσις είναι εφικτή.

Α) Παράδειγμα, όταν η τέλεσις είναι εφικτή :

Ποσότης ζαχάρεως 1 κιλού + Ποσότης ζαχάρεως 2 κιλών = Ποσότης ζαχάρεως 3 κιλών (1)

Η πρώτη Ακεραιότης (1 κιλού) ΣΥΝΕΤΕΘΗ κατά τέλειον τρόπον μετά τής δευτέρας Ακεραιότητος (2 κιλών) καί μάς έδωσεν μίαν τρίτην Ακεραιότηταν (3 κιλών).

Β) Παράδειγμα, όταν η τέλεσις είναι ανέφικτος :

1 αυτοκίνητον + 1αυτοκίνητον = ;;;;;; (2)

Εις τό παράδειγμα αυτό δέν έχομεν δυνατότηταν τελέσεως τής πράξεως τής προσθέσεως, διότι τό πρώτον αυτοκίνητον (πρώτη Ακεραιότης) αδυνατεί νά ενωθή μέ τό δεύτερον αυτοκίνητον (δευτέρα Ακεραιότης) διά νά αποδώση μίαν τρίτην Ακεραιότηταν (ποίαν άλλωστε; δέν υπάρχει «διπλούν» αυτοκίνητον ως Ακεραιότης). Εάν δώσωμεν ως απάντησιν 2 αυτοκίνητα, δέν (εκ)τελέσαμεν τήν πράξιν, ως μάς εζητήθη, απλώς ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΑΜΕ τά αυτοκίνητα.

Εάν ισχύη επομένως τό πυθαγόρειον θεώρημα, λέγομεν διά ορθογώνιον τρίγωνον πλευρών ενός μέτρου εκάστης:

1 (τετράγωνον ενός τ.μ. ) + 1 (τετράγωνον ενός τ.μ. ) = 1 (τετράγωνον δύο τ.μ. )

Η πράξις τής προσθέσεως τελείται επί τών τετραγώνων καί όχι επί τών μέτρων αυτών.

[Σημείωση δική μου: Τι να σας πω κύριε Αποκαλυπτικέ εν προκειμένω; Δεν σας λέω τίποτα. Ρίξτε μόνος σας μια ματιά τι λέτε σήμερα. Σήμερα ενώνουμε για την τότε εποχή, με το αξίωμα "και γιατί όχι;" αφού το πυθαγόρειο ίσχυε, ισχύει και θα ισχύει όπως λέτε τώρα και αριθμούς και σχήματα και μέτρα και το Ρίο με το Αντίριο]

Άρα πρέπει νά αποδείξωμεν πρώτα ότι ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ είναι εφικτός, ότι δήλα δή τό τετράγωνον τής υποτεινούσης είναι όντως τετράγωνον καί ότι αποτελεί όντως τό αποτέλεσμα τής συνθέσεως τών δύο άλλων.
Κατά τήν εποχήν αυτήν ωστόσο είναι αδύνατος αυτός ο μετασχηματισμός, καθ’ότι δέν έχει ακόμη επινοηθή νοητικόν έστω εργαλείο, τό οποίον νά υπερβαίνη τό φυσικόν εμπόδιον τών τομών (ή έστω δέν μάς είναι γνωστόν). Η άθροισις, η σύνθεσις δήλα δή Ακεραιότητος εξ Ακεραιοτήτων (ή έστω εκ τών Μερών) είναι πρακτικώς (κυριολεξία) αδύνατος. Εξαφάνισις τών τομών ισοδυναμεί ακόμη πρός μαγείαν.

[Σημείωση δική μου: Δηλαδή τώρα γίνατε και μάγος αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ εκτός από φιγουρατζής στους αγνούς και άδολους (κυρίως) φοιτητές;]

Τό πρόβλημα αυτό τό επιλύει η κατοπινή Ευκλείδιος Γεωμετρία, η οποία κινείται εις νοητικόν επίπεδον, δίχως υπέρβασιν τής φυσικής πραγματικότητος. Η πυθαγόρειος κατασκευή δέν ανασυνθέτει, (ή ενώνει, ή αθροίζει) ΑΚΕΡΑΙΑ σχήματα αλλά χρησιμοποιεί τά ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ τους σχήματα.
Η ένστασις τού Κυρίου lmrs είναι βάσιμος.
Η πυθαγόρειος σχολή προσποιείται ΣΥΝΘΕΣΙΝ σχημάτων καί τό κυριώτερον εισάγει λανθασμένην, «αλγεβρικήν» θά λέγαμε σήμερον, τυπολογίαν, ως έκφρασιν τής δήθεν συνθέσεως. (Ας μήν λησμονώμεν, ότι οι αριθμοί τότε είχαν άλλην σημασίαν καί ο συμβολισμός τους ήτο επίσης διάφορος τού σημερινού).....


....Η θέσις τού Κυρίου lmrs είναι άν μή τί άλλο κατανοητή καί σεβαστή (εκ μέρους μου δέ αποδεκτή), αι αιτιάσεις του προσβάλλουν τά ίδια τά αξιώματα τών συγχρόνων μαθηματικών, τά θέτουν υπό αμφισβήτησιν, επομένως είναι ανέντιμος η αντιμετώπισίς των διά επιχειρημάτων (θεωρημάτων) απορρεόντων τούτων.
Επειδή μακρηγόρησα, σταματώ εδώ καί αναμένω τήν γνώμην σας.


Οι άλλοι αντιμετωπίζουν τις απόψεις lmrs ανέντιμα (βάσει των οποίων σας απευθύνθηκα βέβαια) και άφησαν όλη την εντιμότητα ακέραιη σαν αβίαστα (και γιατί όχι, τι μας εμποδίζει αν δεν υπάρχει αξίωμα;) ενωμένους αριθμούς μόνο για σας; Τόση μικροπρέπεια μόνο και μόνο για να αποσπάσετε θαυμασμό από τους νεαρούς φοιτητές για τις γνώσεις σας , όπως αποσπάσατε και τον δικό μου ξεγελώντας με;
Δεν σας συγχωρώ, αλλά σας λυπάμαι.
Λυπάμαι επίσης πολύ περισσότερο εγώ που τα γράφω από εσάς που θα τα αναγνώσετε.
Καληνύχτα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2008, 10:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Τό ήξερα, ότι θά καταλήξουμε εκεί...Νοιώθετε προσβεβλημένος, διότι τό εκλαμβάνετε σάν προσωπική επίθεση. Δέν είναι όμως έτσι...μαθηματικές διαφορές δέν είναι ανθρώπινες διαφορές...
Οι λόγοι, που σάς υποστήριξα είναι απλοί:
1.Υποστηρίζω πάντα κάθε «αιρετικό», διότι τά γνωστά τά γνωρίζω, νέες απόψεις όμως όχι.
2.Γράφατε, ότι οι απόψεις σας είναι προϊόν μελέτης 25 ετών, ότι είστε μή μαθηματικός, ότι οι σκέψεις σας εκπηγάζουν μιάς άλλης φιλοσοφικής θεωρήσεως, ότι τά μαθηματικά είναι λανθασμένα.

Δείτε το μέ τά δικά μου τά μάτια τώρα. Σάς πήρα σοβαρά και προσπάθησα να βρώ τί είδους φιλοσοφικό υπόβαθρο είναι αυτό, που είναι ικανό να οδηγήσει σέ τέτοια αποτελέσματα. Σάς υποστήριξα από τήν πρώτη μέρα και ποτέ δέν εναντιώθηκα στίς απόψεις σας. Ήξερα, ότι όλοι οι άλλοι θά τό έκαναν.
Κάθε «αιρετικός» είναι προσεκτικός και δέν φανερώνει εξ αρχής τά «χαρτιά» του. Αυτό τό γνωρίζω εκ πείρας. Οι παρατηρήσεις σας ήταν άλλωστε οξυδερκείς και τά προβλήματα αυτά είχαν απασχολήσει τήν μαθηματική κοινότητα γιά αρκετούς αιώνες. Τά μαθηματικά απέκτησαν γερά θεμέλια τόν 20 μόλις αιώνα. Η θεμελίωσή τους ήταν χρονοβόρα.

Η θέση μου είναι απλή:
Τά επιχειρήματα τών συνομιλητών σας βασίζοντο σέ μαθηματικά αξιώματα και θεωρήματα.
Τά δικά σας σέ άλλα, άγνωστα.
Έ, αυτά ήθελα νά μάθω, γιαυτό και σάς στήριξα. Τί νόημα θά είχε να επιχειρηματολογήσω βάσει αξιωμάτων, τά οποία δέν δέχεστε.

Αρχικά πίστεψα, ότι «κινείστε» εκτός αρχιμηδείου σώματος, μέχρι που οι υπόλοιποι σάς στρίμωξαν τόσο πολύ, που αναγκαστήκατε και λάβατε θέσιν επ’αυτού. Δέν ήταν αυτό...
Από τήν άλλη χρησιμοποιούσατε, τήν λέξη τουλάχιστον, «απειροελάχιστα». Ήμουν όμως σίγουρος, ότι δέν αναφέρεστε στά μαθηματικά απειροελάχιστα, διότι ως μή μαθηματικός αποκλείεται να τά γνωρίζετε (δέν υπάρχει εκλαϊκευμένη βιβλιογραφία, και η μαθηματική είναι πολύ εξειδικευμένη)

Πού βασίζεστε λοιπόν;
Τήν απάντηση τήν βρήκα, όταν κάποτε μετά από «σκληρές» αντιπαραθέσεις, που είχατε με τούς υπόλοιπυς συνομιλητές, μιλήσατε γιά πρώτη φορά γιά «εφαπτόμενα σημεία»

Εκεί αντελήφθην, ότι εσείς μιλάτε (συνειδητά ή όχι) γιά άλλο συνεχές και ότι ουσιαστικά δέν δέχεστε τούς πραγματικούς αριθμούς.

Αυτό είναι όλο, αντιλαμβάνομαι τήν απογοήτευσή σας και λυπάμαι γιά τήν τροπή, που πήραν τά πράγματα. Όταν συνειδητοποίησα, ότι η ανατροπή τού πυθαγορείου, ήταν γιά σάς «σκοπός ζωής», ήταν αργά πιά, είχα μπεί στό χορό και μάλιστα σέ έναν άχαρο ρόλο....

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Προς κύριον Αποκαλυπτικό
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2008, 14:03 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 15:50
Δημοσ.: 406
Αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ, ενημέρωσα τον κύριο Λάμπρο Μαγκλάρα. Το παρακάτω μήνυμα προέρχεται από αυτόν για σας και σας παρακαλεί να το διαβάσετε - δεν είναι σε θέση να μπει στο φόρουμ για περισσότερους από έναν λόγους - και εγώ απλά το μεταφέρω.
Σημειώστε ότι δεν επιθυμεί να επικοινωνήσετε μαζί του με κανένα προσωπικό μήνυμα, όχι γιατί σας αντιπαθεί, αλλά γιατί δεν βρίσκει νόημα.
Εξάλλου είναι φανερό, ότι ενώ εγώ σας γράφω σε αυτόν απαντάτε!
Λουκάς Μαντάς


Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τό ήξερα, ότι θά καταλήξουμε εκεί...Νοιώθετε προσβεβλημένος, διότι τό εκλαμβάνετε σάν προσωπική επίθεση. Δέν είναι όμως έτσι...μαθηματικές διαφορές δέν είναι ανθρώπινες διαφορές...


Το ξέρω ότι όλα τα ξέρετε. Εξαιρετική άποψη. Οι μαθηματικές διαφορές δεν είναι ανθρώπινες. Η υποκρισία όμως είναι.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Οι λόγοι, που σάς υποστήριξα είναι απλοί:
1.Υποστηρίζω πάντα κάθε «αιρετικό», διότι τά γνωστά τά γνωρίζω, νέες απόψεις όμως όχι.
2.Γράφατε, ότι οι απόψεις σας είναι προϊόν μελέτης 25 ετών, ότι είστε μή μαθηματικός, ότι οι σκέψεις σας εκπηγάζουν μιάς άλλης φιλοσοφικής θεωρήσεως, ότι τά μαθηματικά είναι λανθασμένα.


Αποδείχθηκαν τρία πράγματα:
α. Ότι ο καθένας γράφει ότι θέλει, σύμφωνα με το αξίωμα σας «γιατί όχι;»
β. Ότι όπως ομολογείτε οι λόγοι δεν είναι ότι υποστηρίζετε πάντα όποιον αιρετικό, αλλά ότι είχατε υστεροβουλία. Και αυτό είναι επίσης ανθρώπινο.
γ. Ότι αυτό που δεν μπορείτε να το ανατρέψετε με επιχειρήματα το ανατρέπετε με την επιθυμία και την απόφαση.
Και μία ερώτηση: Εσείς είστε μαθηματικός και λέτε ότι εγώ δεν είμαι;
Να είστε ειλικρινής για μια φορά για να μην γίνω σαν εσάς και χειρότερος και το μπορώ να είσαστε βέβαιος. Κάτι ξέρω και από γεωλογία και μπορώ ότι ώρα θέλω να το διαβάζω.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Δείτε το μέ τά δικά μου τά μάτια τώρα. Σάς πήρα σοβαρά και προσπάθησα να βρώ τί είδους φιλοσοφικό υπόβαθρο είναι αυτό, που είναι ικανό να οδηγήσει σέ τέτοια αποτελέσματα. Σάς υποστήριξα από τήν πρώτη μέρα και ποτέ δέν εναντιώθηκα στίς απόψεις σας. Ήξερα, ότι όλοι οι άλλοι θά τό έκαναν.


Ασκείτε και κριτική περί την φιλοσοφία αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ; Βάζετε δίπλα τη δική σας και όποια συμφωνεί μαζί σας «κατά το σόι» όπως λέτε, της βάζετε άριστα και οι άλλες είναι λανθασμένες επειδή δεν συμφωνούν με τη δική σας; Οπότε το ασφαλές είναι με τους πολλούς, γιατί οι μαθηματικές διαφορές όπως ορθά είπατε δεν είναι ανθρώπινες, αλλά (συνάγω για εσάς) θέμα πλειοψηφίας ή «κρατούσας αντίληψης». Τελικά αντί να εξετάζουμε την ουσία των μαθηματικών εξετάζουμε την αρχή της πλειοψηφίας. Εξαιρετική μαθηματική μέθοδος που εφαρμόζετε με την, όπως είπατε, «άλλη στρατηγική» σας.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Κάθε «αιρετικός» είναι προσεκτικός και δέν φανερώνει εξ αρχής τά «χαρτιά» του. Αυτό τό γνωρίζω εκ πείρας. Οι παρατηρήσεις σας ήταν άλλωστε οξυδερκείς και τά προβλήματα αυτά είχαν απασχολήσει τήν μαθηματική κοινότητα γιά αρκετούς αιώνες.


Και η εμπιστοσύνη είναι ανθρώπινη και είτε σωστός, είτε λάθος, εμπιστεύομαι τον άνθρωπο. Πολύ περισσότερο όταν αυτός που μπορεί να τα δει, είναι τόσο καλός ηθοποιός, όσο δεν είναι καλός άνθρωπος (αλλά ματαιόδοξος και επιλήσμων του προσωρινού) και συγχρόνως ξέρει καλό πόκερ στα μαθηματικά, ώστε να μη φανερώνει κανείς σε αυτόν τα χαρτιά του. Δηλονότι εγώ δεν είμαι έμπειρος αιρετικός και εσείς είστε έμπειρος υποκριτής. Ταυτίζετε την έννοια «αιρετικός» με την έννοια της πλειονότητας και αυτό μου προξενεί εντύπωση για τις γλωσσολογικές ικανότητες. Αυτό θα πει προσαρμοστικότητα με τους πολλούς «να έχουμε ήσυχο το κεφάλι μας» και ίσως και μερικά θαυμαστικά λόγια, ενώ με την «αίρεση» γίνεσαι στίγμα. Καλή πρόοδο.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Τά μαθηματικά απέκτησαν γερά θεμέλια τόν 20 μόλις αιώνα. Η θεμελίωσή τους ήταν χρονοβόρα.


Το πυθαγόρειο το εξετάζαμε με το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα και αυτό που λέτε δεν έχει κανένα νόημα επομένως. Τι ίσχυε σχετικά με το πυθαγόρειο από τον 6 π.Χ έως τον 20 μ.Χ. αιώνα; Αυτό είναι το θέμα. Και είναι αυτό το θέμα, διότι αν δεν ίσχυε το πυθαγόρειο στην ευκλείδεια γεωμετρία τότε, δεν θα υπήρχε μέχρι σήμερα το άρρητο της ρίζας 2 αφού δεν θα είχε εμφανιστεί (και του π και ξέρετε γιατί) και επομένως, πάλι π.χ., ο σημερινός R θα παρουσίαζε κενά, δεν θα ήταν σώμα, δεν θα είχε πληρότητα και διάταξη. Η σημερινή θεμελίωση δεν είναι αυτόνομη και από παρθενογένεση , αλλά συνεπάγεται το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, όπως ορθά επισημαίνει ο κύριος Πάρις Πάμφιλος.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Η θέση μου είναι απλή:
Τά επιχειρήματα τών συνομιλητών σας βασίζοντο σέ μαθηματικά αξιώματα και θεωρήματα.


Σε αγνόηση των αξιωμάτων (τα θεωρήματα δεν έχουν ίδιαν αποδεικτική ισχύ) και εισαγωγή υποκειμενικών ερμηνειών θέλετε να πείτε Αυτό σας το διδάσκω και είναι η τελευταία διδαχή που σας κάνω, γιατί εμφανίζετε υστέρηση εν προκειμένω και σας θυμίζω τι είπατε στο προηγούμενο μήνυμα:

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Είναι δηλαδή λάθος νά θεωρήσω εφαπτόμενα σημεία;
Ναί, είναι λάθος, διότι δέν είναι συμβατό με τά υπόλοιπα θεωρήματα, αλλά τό κυριώτερο είναι, ότι είναι κουτό!


Έτσι εσείς ο ίδιος με επίκληση θεωρημάτων περιγράφετε σαν κουτό το αξίωμα εφαπτόμενων του Ευκλείδη, στο ίδιο του το αξιωματικά σύστημα.

Στοιχεῖα Εὐκλείδου δ΄
[Βιβλίον IV]

Ὅροι ζ΄ [7].
α΄ [1]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμμον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.
β΄ [2].Σχῆμα δὲ ὁμοίως περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.
γ΄ [3]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς κύκλον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη γωνία τοῦ ἐγγραφομένου ἅπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
δ΄ [4].Σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἐφάπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
ε΄ [5]. Κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ὁμοίως ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.
ς΄ [6]. Κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.
ζ΄ [7]. Εὐθεῖα εἰς κύκλον ἐναρμόζεσθαι λέγεται, ὅταν τὰ πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τῆς περιφερείας ᾖ τοῦ κύκλου.

Όπως αντιλαμβάνεστε εγώ συμβούλευσα τον Ευκλείδη και μέσω αυτού εισάγω στην ευκλείδεια γεωμετρία τον απαράδεκτο όρο εφαπτόμενα!!! Αυτά και όχι μόνον (αλλά αρκούν), αποτελούν την κουτή ομάδα αξιωμάτων του Ευκλείδη κατά την δική σας υποκειμενική κρίση, με το επιχείρημα ότι δεν είναι συμβατά αξιώματα, με θεωρήματα! Αυτό που λέτε, αρκεί να ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ ότι δεν έχετε ιδέα περί την θεμελίωση των αποδείξεων, των πορισμάτων, των θεωρημάτων και των συλλογισμών μέσα στα μαθηματικά και ρίχνετε προς όλες τις κατευθύνσεις βαρύγδουπες μπαταριές από θέση ειδήμονα που δεν είστε, και αποδεικνύεται ότι δεν είστε. Σας λυπάμαι και το επαναλαμβάνω.
Όμως όταν υποστηρίζω ότι αξιωματικά προβλέπονται εφαπτόμενα σχήματα, μπορείτε να μου πείτε πως αξιωματικά θεμελιώνετε ότι δεν προβλέπονται; Ή επειδή δεν αποδεικνύονται θεωρήματα θα αρνηθούμε την ορθότητα και την αποδεικτική ισχύ ομάδα αξιωμάτων (κρίνοντας τα και μάλιστα χαρακτηρίζοντας τα κουτά) για να σας κάνουμε το χατίρι αγαπητέ έμπειρε παίκτη του πόκερ;
Που βλέπετε με το έμπειρο μάτι σας οι συνομιλητές μου να χρησιμοποιούν και όχι να παραβιάζουν τα αξιώματα; Ενύπνιον;


Παράθεση:
Αποκαλυπτικός

Τά δικά σας σέ άλλα, άγνωστα.


Όπως π.χ.; Ποιο άγνωστο αξίωμα επικαλούμαι και ποια δική μου νέα άποψη εισάγω που δεν υπάρχει από αξιωματική πρόβλεψη το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη; Αυτό ακριβώς θα πει ΑΝΕΝΤΙΜΟ. Να λέτε αόριστα ότι χρησιμοποιώ άγνωστα αξιώματα χωρίς να λέτε ποια είναι. Αυτό λέγεται επίσης και ΛΑΣΠΗ επί της οποίας έχετε και εξ αντικειμένου ειδικότητα.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Έ, αυτά ήθελα νά μάθω, γιαυτό και σάς στήριξα. Τί νόημα θά είχε να επιχειρηματολογήσω βάσει αξιωμάτων, τά οποία δέν δέχεστε.


Μην επιχειρηματολογήσετε. Εξάλλου διαπίστωσα (πολύ αργά είναι αλήθεια) ότι επιχείρημα για σας σημαίνει απόφασή σας και επιθυμία σας. Πείτε μου μόνο εξετάζοντας το πυθαγόρειο την εποχή του Ευκλείδη και μέχρι τον 20 αιώνα, ποιο εκ των αξιωμάτων δεν δέχομαι; Ένα είναι και μοναδικό. Την αρχή Αρχιμήδη – Εύδοξου - περί του συνεχούς - που τότε (2500 πριν τον Χίλμπερτ) ήταν απλή πρόταση ή θεώρημα και μάλιστα χωρίς αξιωματικής στήριξη, οπότε δεν μπορείτε να μου καταλογήσετε άρνηση αξιώματος.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός

Αρχικά πίστεψα, ότι «κινείστε» εκτός αρχιμηδείου σώματος, μέχρι που οι υπόλοιποι σάς στρίμωξαν τόσο πολύ, που αναγκαστήκατε και λάβατε θέσιν επ’αυτού. Δέν ήταν αυτό...
Από τήν άλλη χρησιμοποιούσατε, τήν λέξη τουλάχιστον, «απειροελάχιστα». Ήμουν όμως σίγουρος, ότι δέν αναφέρεστε στά μαθηματικά απειροελάχιστα, διότι ως μή μαθηματικός αποκλείεται να τά γνωρίζετε (δέν υπάρχει εκλαϊκευμένη βιβλιογραφία, και η μαθηματική είναι πολύ εξειδικευμένη)


Εντυπωσιάστηκα!
Α, ώστε έτσι αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ! Υπήρξε μαθηματικός που με στρίμωξε και ομίλησα περί του «απειροελάχιστου»! Είστε και ψεύτης πέραν των άλλων. Πότε ομίλησα περί απειροελάχιστου και δεν το ξέρω; Βάζετε στο στόμα μου λόγια που δεν είπα για να νικήστε τον τρισκατάρατο; Ποτέ δεν μίλησα για απειροελάχιστο και σας προκαλώ, εκτός και μίλησε άλλος περί αυτού και του ανταπάντησα ή τουλάχιστον δεν επιχειρηματολόγησα με την επίκληση του απειροελάχιστου που μου είναι έκφραση που δεν έχει κανένα νόημα για μένα, αφού για μένα, από το άπειρα ελάχιστο έως το άπειρο ή «απόσταση» είναι σταθερά άπειρη. Μείνετε τουλάχιστον, έστω και τώρα, ειλικρινής σε κάτι. Εγώ έχω μιλήσει για εφαπτόμενα, αλλά δεν είναι δική έκφραση παρά του Ευκλείδη και εξακολουθώ να μιλάω γιατί πέραν του ότι προβλέπονται αξιωματικά, δεν υπάρχει άλλο αξίωμα που να αντιλέγει στα εφαπτόμενα. Κανείς δεν μπορεί να απαγορεύσει τον γεωμέτρη να θεωρήσει σχήματα όσο κοντά ή μακριά μεταξύ τους επιθυμεί. Όμως δεν υπάρχει καν τέτοια ανάγκη να επικαλεστώ τις δυνατότητες του γεωμέτρη. Δοσμένο τετράγωνο επί του επιπέδου, δεν απέχει από το επίπεδο ή εφάπτεται του επιπέδου. Έχετε κάποια αξιωματικά θεμελιωμένη αντίρρηση; Αν δεν έχετε, σε τι με κατηγορείτε ότι χρησιμοποιώ τη λέξη εφαπτόμενα και μάλιστα στριμώχτηκα αξιωματικά από μαθηματικούς περί την έννοια αυτή; Εσείς μπορείτε να με στριμώξετε; Εφαπτόμενα είναι τα απέχοντα μηδενικά μεταξύ τους χωρίς να ταυτίζονται γιατί δεν υπάρχει αξίωμα ταύτισης σημείων επί του επιπέδου. Τα σημεία δεν μετακινούνται, ούτε οι ευθείες, ούτε τα σχήματα επί του επιπέδου,, παρά μόνο σαν ομόλογα ή εικονικά σχήματα. Πέραν αυτού τι νόημα έχει η έκφραση «ταύτιση σημείων»; Όταν θεωρήσουμε καταχρηστικά ότι δύο σημεία ταυτίζονται γίνονται ένα σημείο με μία ανάγνωση γιατί τα σημεία δεν αποτελούν στιβάδες επί του επιπέδου. Δεν υπάρχει αξίωμα στήριξης της έννοιας της στιβάδας των σημείων, που η απλούστερη μορφή της είναι η ταύτιση 2 σημείων.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Πού βασίζεστε λοιπόν;
Τήν απάντηση τήν βρήκα, όταν κάποτε μετά από «σκληρές» αντιπαραθέσεις, που είχατε με τούς υπόλοιπυς συνομιλητές, μιλήσατε γιά πρώτη φορά γιά «εφαπτόμενα σημεία»
Εκεί αντελήφθην, ότι εσείς μιλάτε (συνειδητά ή όχι) γιά άλλο συνεχές και ότι ουσιαστικά δέν δέχεστε τούς πραγματικούς αριθμούς.


α. Χάνετε τώρα και τη σοβαρότητά σας αγαπητέ κύριε; Τι σχέση έχουν οι πραγματικοί αριθμοί με ένα θεώρημα υποτίθεται ορθό επί 2500 χρόνια περίπου πριν από την εμφάνιση των πραγματικών αριθμών;
β. Εγώ ομιλώ για εφαπτόμενα ή ο Ευκλείδης; Έχετε διαβάσει ποτέ τα Στοιχεία κύριε Αποκαλυπτικέ; Αμφιβάλω όταν μου λέτε ότι ΕΓΩ ομιλώ (κατ` εξαίρεση δηλαδή όλων των άλλων) για εφαπτόμενα.
γ. Το ισχύον Αρχιμήδειο συνεχές στην ευκλείδεια γεωμετρία που το αρνούμαι γιατί δεν συμφωνεί με τη θεωρία του μέτρου (παρά μόνο αν το μέτρο το κατασκευάσουμε με αυτές τις προδιαγραφές) ήταν αξίωμα ή θεώρημα κύριε χωρίς αξιωματική στήριξη;
δ. Όμως οι πραγματικοί αριθμοί που τώρα επικαλείστε μετά από 2500 χρόνια από τη θεώρησή μας, ορίζουν ακέραιο μέτρο ένα, επί του άξονα.
Αναφέρομαι δε δέκατα του ίδιου μέτρου 1 του R, κατά τάξη (δηλαδή ο αριθμητικός δείκτης δείχνει τη σειρά και όχι το μέγεθος που είναι για όλα τα δέκατα ίδιο):

0,1 0,2, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,10

Εάν έχω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ= 1 με μέσο Μ, με τις ορθές προβολές των Α και Β επί του άξονα R ακριβώς στο 0 και 10 αντίστοιχα, βρείτε μου, αφού υπάρχει αντιστοιχία αριθμών του R και σημείων της ευθείας ΑΒ ένα προς ένα, τον αριθμό επί του R ο οποίος αντιστοιχίζεται με το Μ του ΑΒ. Καθίστε αγαπητέ κύριε που αυτοχρηστήκατε κριτής της ορθότητας, να το μελετήσετε και αν το απαντήσετε θα στηρίξετε τους πραγματικούς αριθμούς στην πράξη και όχι με αερολογίες, ενώ συγχρόνως θα αποδείξετε ότι οι πολλοί έχουν το δίκιο. Μάλλον όμως θα το δείτε, θα φθάσετε σε αδιέξοδο και με τη νέα στρατηγική σας του αποφασίζω να είναι ορθό ότι επιθυμώ, θα κάνετε χρήση της εμπειρίας σας στο πόκερ να μη φανερώνετε τα χαρτιά σας που εν προκειμένω δεν μετράνε στην παρτίδα και το θέμα θα καλυφθεί δια της σιωπής. Έχω βγει πολλές φορές προφήτης, έχω θέσει το θέμα σε δεκάδες μαθηματικούς οι οποίοι κάνανε ότι θα κάνετε κι εσείς ακριβώς.
Παρακαλώ πολύ όταν μου γράφετε να το κάνετε με διαλείμματα διότι παθαίνετε σύγχυση.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Αυτό είναι όλο, αντιλαμβάνομαι τήν απογοήτευσή σας και λυπάμαι γιά τήν τροπή, που πήραν τά πράγματα. Όταν συνειδητοποίησα, ότι η ανατροπή τού πυθαγορείου, ήταν γιά σάς «σκοπός ζωής», ήταν αργά πιά, είχα μπεί στό χορό και μάλιστα σέ έναν άχαρο ρόλο....


Τώρα τουλάχιστον ανακαλύπτετε ότι έχει χάρη;
Δείτε τι λέτε:

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός

Ερχόμαστε στό πυθαγόρειο και τήν ισχύ του.

Τό πυθαγόρειο ισχύει, διότι καμιά από τίς γνωστές αποδείξεις του, δέν παραβιάζει τά ευκλείδεια αξιώματα. Ίσχυε πρίν από αυτά, κατά τήν διάρκεια αυτών και εξακολουθεί νά ισχύει μετά από αυτά.


Δείτε τι λέω:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Αθήνα 2 Απριλίου 2007

Ο κύριος Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας απευθύνθηκε στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία καταθέτοντας τον ισχυρισμό, ότι το πυθαγόρειο θεώρημα είναι εσφαλμένο.
Επικαλέστηκε τα εξής:

1. Ότι κατασκευαστικά δεν μπορεί να αποδειχθεί το θεώρημα, επειδή κατά τους μετασχηματισμούς είναι αδύνατο 2 ζεύγη κατακορυφήν γωνιών - π.χ. 2 ζεύγη ίσων μεταξύ τους ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων - να εφάπτονται ταυτόχρονα στο «κέντρο» του υπό σύνθεση τετραγώνου, ώστε να το αποτελέσουν.

2. Ότι θεωρητικά το πυθαγόρειο θεώρημα:
α. Ζητά και προβαίνει προς απόδειξή του, σε αθροίσεις σχημάτων (Το άθροισμα των τετραγώνων κ.τ.λ.) που δεν προβλέπονται από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, ούτε από την νεότερη τυποποίησή του από τον Hilbert.
β. Δεν έχει την αναγκαία για κάθε θεώρημα αξιωματική στήριξη.

Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, ανταποκρινόμενη με ευθύνη στις αιτιάσεις του κυρίου Λάμπρου Θ. Μαγκλάρα, θεωρώντας ταυτόχρονα χρέος της να διαλευκάνει το ζήτημα, τον κάλεσε στην Επιτροπή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ και παρουσία πλήθους συναδέλφων μαθηματικών καθηγητών, του παρέσχε τις εξής διευκρινήσεις σχετικά με το πυθαγόρειο θεώρημα.

1. Σε σχέση με την κατασκευαστική αδυναμία, που όντως εμφανίζεται επί εποπτικής φύσεως, π.χ. υλικά υποδείγματα, όπως ορθά και ο ίδιος επισημαίνει, αυτή η αδυναμία ουδόλως επηρεάζει την ορθότητα του πυθαγορείου, καθώς η κατασκευή είναι εποπτική και τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης.

2. Σε σχέση με τις αθροίσεις σχημάτων, του επισημάνθηκε, ότι όντως αυτές δεν προβλέπονται (όπως ορθά ισχυρίζεται) από την γεωμετρία, αλλά κατά ερμηνεία, οι αθροίσεις αυτές ανάγονται σε αθροίσεις εμβαδών, δηλονότι αριθμών και όχι σχημάτων. Έτσι, επί ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου, με μέτρο κάθετης πλευράς 1, το τετράγωνο της υποτείνουσας εκφράζεται από τον ακέραιο θετικό αριθμό 2, δηλαδή από τετράγωνο με εμβαδόν 2.

3. Σε σχέση με την αξιωματική στήριξη του πυθαγορείου, αυτή υποδείχθηκε στον κύριο Λάμπρο Θ. Μαγκλάρα, ότι ευρίσκεται στο αξίωμα του εμβαδού, αφού οι αθροίσεις είναι αθροίσεις εμβαδών και όχι σχημάτων.


ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Ο εισάγων την ερμηνεία.
ΠΡΟΕΔΡΟΣ
ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄
Γιώργος Τασσόπουλος

ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΜΕ
Νικόλαος Αλεξανδρής

Τώρα σαν ειδικός επί των συγγραμμάτων, σας καλώ να μου πείτε σε ποια συγγράμματα θα βρείτε όλες αυτές τις εξαιρέσεις ισχύος του πυθαγορείου και την κατηγορηματική αναφορά ότι το πυθαγόρειο ισχύει αποκλειστικά με την εισαγωγή ερμηνείας του, να αφορά εμβαδά σε όλη τη διαχρονική μαθηματική βιβλιογραφία. Ρωτήστε όποιον μαθητή ή φοιτητή ή καθηγητή ξέρετε που δεν έχει ιδέα περί του κυρίου Μαγκλάρα αν γνωρίζουν ότι το πυθαγόρειο ισχύει αποκλειστικά με εμβαδά και όχι με π.χ. υλικά υποδείγματα.
Για του λόγου το αληθές θα σας κάνω μια παραπομπή και πάλι στον εξαιρετικό καθηγητή του πανεπιστημίου Κρήτης κύριο Πάρη Πάμφιλο και στην Ευκλείδεια γεωμετρία του, να σας δοθεί απαντήση, εκτός του άλλων, στις συνεχείς υποδείξεις σας ότι δεν πρόκειται για υλικά μέτρα. Αυτό που θα δείτε διδάσκεται σήμερα στα πανεπιστήμια.
Google – Πάρις Πάμφιλος – Ευκλείδεια γεωμετρία – Κεφάλαιο ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ – σελίδα 74.
http://translate.google.com/translate?h ... ~pamfilos/
Αφού τα υλικά υποδείγματα διδάσκονται στα πανεπιστήμια (ο κύριος Πάρις Πάμφιλος έχει πλακοστρώσει όλη την Κρήτη!), έπαψε ξαφνικά για σας να ισχύει η αδυναμία 4 ορθών γωνιών, είτε τετραγώνων σχημάτων, είτε υλικών υποδειγμάτων σαν αυτά που χρησιμοποιεί προς διδασκαλία ο σεβαστός καθηγητής, να εφάπτονται στο κέντρο του υπό σύνθεση τετραγώνου; Ο κύριος Λάμπρος Μαγκλάρας εισάγει τα υλικά υποδείγματα; Ίσως χρειάζεται να «βάλετε χέρι» στον κύριο Πάμφιλο λέγοντας αυτές τις ανοησίες που λέτε σε μένα, αλλά θα περάσετε καλά μαζί του, είμαι βέβαιος.
Δεν έχω άλλα να σας πω εκτός από το διαρκές έκτοτε, ότι λυπάμαι για λογαριασμό σας.
Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας
Και για την μεταφορά των απόψεών μου
Λουκάς Μαντάς.

Δικό μου συμπλήρωμα:
Δεν σας βλέπω να κάνετε ούτε κιχ αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ τουλάχιστο επί της ουσίας των θεμάτων που σας εισάγει ο κύριο Μαγκλάρας και αναιρώ κι εγώ την εκτίμησή μου για το πρόσωπό σας.
Λουκάς Μαντάς


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2008, 16:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Φεβ 2007, 13:59
Δημοσ.: 131
n-χασμένη προσωπικότητα...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2008, 16:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Σεπ 2006, 15:07
Δημοσ.: 1294
Τοποθεσια: Ελευσίνα
Συγνώμη καταρχήν για το οφτοπικ! Θα ήθελα να σας παρακαλέσω ως απλός χρήστης να αποφεύετε τέτοιους χαρακτηρισμούς! Με ενοχλεί ιδιαίτερα όταν οι χαρακτηρισμοί αυτοί είναι προς τον κύριο αποκαλυπτικό που τόσο εκτιμούμε εδώ μέσα καθώς μας έχει κερδίσει τους περισσότερους (δεν λέω όλους καθώς δεν μπορώ να μιλώ εκ μέρους ενός ολόκληρου φόρουμ) με το ενδιαφέρον του, την αγάπη του για το αντικείμενο, τις γνώσεις του και με την γενικότερη στάση του!

_________________
http://soundcloud.com/iliasvafeiadis/
God is absence. God is the solitude of man.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2008, 20:17 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 19 Μαρ 2008, 19:48
Δημοσ.: 18
Παράθεση:
Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας και να είστε καλά μου μάθατε τη νέα στρατηγική της επιθυμίας που είναι πολύ παλιά.
...
Παρά το ότι με έθιξε το ύφος ανωτερότητας που απρόκληρα και εντελώς αναιτιολόγητα δείξατε στο πρόσωπό μου
...
ανακαλώ και δεν σας συγχωρώ
...
σας κατανοώ γιατί έχετε ένα πρεστίζ στο εδώ φόρουμ, αλλά δικαιώνομαι αναφερόμενος στην υποκρισία σας.
...
Δηλαδή τώρα γίνατε και μάγος αγαπητέ κύριε Αποκαλυπτικέ εκτός από φιγουρατζής στους αγνούς και άδολους (κυρίως) φοιτητές;
...
Δεν σας συγχωρώ, αλλά σας λυπάμαι.
...
Οι μαθηματικές διαφορές δεν είναι ανθρώπινες. Η υποκρισία όμως είναι.
...
Να είστε ειλικρινής για μια φορά για να μην γίνω σαν εσάς και χειρότερος και το μπορώ να είσαστε βέβαιος.
...
είστε έμπειρος υποκριτής
...
εμφανίζετε υστέρηση εν προκειμένω
...
για να σας κάνουμε το χατίρι αγαπητέ έμπειρε παίκτη του πόκερ;
...
από θέση ειδήμονα που δεν είστε, και αποδεικνύεται ότι δεν είστε.
...
Σας λυπάμαι και το επαναλαμβάνω.
...
Αυτό λέγεται επίσης και ΛΑΣΠΗ επί της οποίας έχετε και εξ αντικειμένου ειδικότητα.
...
Είστε και ψεύτης πέραν των άλλων.
...
Χάνετε τώρα και τη σοβαρότητά σας
...
Παρακαλώ πολύ όταν μου γράφετε να το κάνετε με διαλείμματα διότι παθαίνετε σύγχυση.
...
αυτές τις ανοησίες που λέτε σε μένα, αλλά θα περάσετε καλά μαζί του, είμαι βέβαιος.
...
Δεν έχω άλλα να σας πω εκτός από το διαρκές έκτοτε, ότι λυπάμαι για λογαριασμό σας.
...


Κύριε Αποκαλυπτικέ χάνετε το χρόνο σας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Τελευταία απάντηση του κυρίου Μαγκλάρα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Μαρ 2008, 16:03 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 15:50
Δημοσ.: 406
Το τελευταίο μήνυμα του κυρίου Μαγκλάρα, που εκ μέρους του παραθέτω στο φόρουμ, αφορά και τους χρήστες KNIK, Heliasv και Sequence.


Ο κύριος Λάμπρος Μαγκλάρας δηλώνει τα εξής:

1. Γνωρίζει τον κύριο Αποκαλυπτικό εδώ και πέντε χρόνια. Τον γνωρίζει με πρωτοβουλία του κυρίου Αποκαλυπτικού και όχι δική του. Γνωρίζει επίσης και το όνομά του και την οικογενειακή του κατάσταση (αν είναι παντρεμένος, αν έχει παιδιά, πως λένε τη γυναίκα του και τα παιδιά του), τον τόπο διαμονής του, την επαγγελματική του απασχόληση και τα τυπικά του προσόντα, όπως γνωρίζει και ο κύριος Αποκαλυπτικός τα αντίστοιχα του κυρίου Μαγκλάρα, πράγματα τα οποία ασφαλώς δεν ενδιαφέρουν κανέναν άλλον πέραν των δυο τους.

2. Αναγνωρίζει στο πρόσωπο του κυρίου Αποκαλυπτικού μία σημαντική προσωπικότητα σε εξαιρετικά πολλούς (για έναν άνθρωπο) τομείς της διανόησης. Πρόκειται για πραγματική ιδιοφυία με εξαιρετικά νοητικά προσόντα, άξια να τα ζηλέψει κανείς απευθείας, όπως και ο κύριος Μαγκλάρας τα ζήλευε και εξακολουθεί να τα ζηλεύει ανεξάρτητα από τις εξελίξεις. Αυτό δεν εκτίμησε ο κύριος Αποκαλυπτικός, ότι δηλαδή θα εντυπωσίαζε έτσι κι αλλιώς και προσαρμόστηκε σε θέσεις που δεν πιστεύει για να γίνει αρεστός. Προτίμησε να τον εκλάβουν σαν μαθηματικό ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ και τώρα δηλώνει με αποστροφή ότι ο κύριος Μαγκλάρας δεν είναι μαθηματικός. Βγάλε τη σκούφια σου και βάρα με, θα έλεγε κανείς.

3. Δεν είναι αληθές ότι ο κύριος Αποκαλυπτικός, μετέβαλε στάση απέναντι στον κύριο Μαγκλάρα (δικαίωμά του απόλυτο) με την αιτία όμως που ο ίδιος προβάλλει, δήλα δή όπως θα έλεγε και ο ίδιος, την μεταγενέστερη «ανακάλυψη» ότι ο κύριος Μαγκλάρας άρχισε να ομιλεί ξαφνικά για εφαπτόμενα. Το αληθές είναι ότι ο κύριος Αποκαλυπτικός γνώρισε τον κύριο Μαγκλάρα από το πρώτο κείμενο του κυρίου Μαγκλάρα στο διαδίκτυο, στο οποίο αναφέρεται απευθείας σε εφαπτόμενα και η αναφορά σε εφαπτόμενα δεν είναι βέβαια μεταγενέστερη. Επειδή το πρώτο μήνυμα του κυρίου Μαγκλάρα υπάρχει στο http://www.mathematics.gr που είναι μερικά χρόνια ΥΠΟ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ, μπορεί να το βρει κανείς στην εξής διεύθυνση ανηρτημένο από ομάδα μαθηματικών, που αν μη τι άλλο, δεν αρνούνται να αναρωτηθούν για τα όσα ο κύριος Μαγκλάρας υποστηρίζει και αναλαμβάνουν την ευθύνη της δημοσίευσής του γνωρίζοντας ότι θα έρθει σε επαφή με παιδιά και γονείς.
http://www.frontsyn.gr/articles/airetiko.html
Σε εαυτό το κείμενο ο κύριος Μαγκλάρας το πρώτο πράγμα που δηλώνει, είναι ότι δεν είναι μαθηματικός (κάτι που επιμελώς αποκρύπτει ο κύριος Αποκαλυπτικός για τον εαυτό του και δεν αντιλαμβάνομαι το λόγο) και παντού λέει ότι, ούτε επιθυμεί να γίνει μαθηματικός. Λέει επίσης ότι ούτε παρακαλεί κανέναν να ασπαστεί τις απόψεις του, καθώς επίσης κάνει και σαφέστατη αναφορά σε εφαπτόμενα. Πέραν του ότι η έννοια του εφαπτόμενου είναι ευκλείδεια αναφερόμενη σε αξιώματα, δεν είναι αληθές λοιπόν ότι ξαφνικά σε μια στροφή των συζητήσεων εμφανίστηκε ο κύριος Μαγκλάρας να εισάγει την έννοια «εφαπτόμενα» όπως ισχυρίζεται ο κύριος Αποκαλυπτικός.

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός
Πού βασίζεστε λοιπόν;
Τήν απάντηση τήν βρήκα, όταν κάποτε μετά από «σκληρές» αντιπαραθέσεις, που είχατε με τούς υπόλοιπους συνομιλητές, μιλήσατε γιά πρώτη φορά γιά «εφαπτόμενα σημεία»


Ουδέν ανακριβέστερο και εμφανώς προσχηματικό. Εξαρχής μίλησε ο κύριος Μαγκλάρας από το πρώτο του μήνυμα γνωριμίας για εφαπτόμενα και όχι «όταν κάποτε μετά από «σκληρές» αντιπαραθέσεις, που είχατε με τούς υπόλοιπους συνομιλητές, μιλήσατε γιά πρώτη φορά γιά εφαπτόμενα σημεία».

4. Μετά τη δημοσίευση των νέων θέσεων του κυρίου Αποκαλυπτικού σε σχέση με τους ισχυρισμούς τους κυρίου Μαγκλάρα, σε άλλο φόρουμ, άλλος χρήστης μαθηματικός που από τότε παρακολουθεί την «διαμάχη» ονόματι cauchy, (το ονομα το γνωρίζει πολύ καλά ο κύριος Αποκαλυπτικός γιατί είχε και μαζί του αντιπαραθέσεις υπερασπιζόμενος τον κύριο Μαγκλάρα) δημοσίευσε το εξής:

Παράθεση:
Παράθεση:
cauchy
Κάπου έχει δίκιο να διαμαρτύρεται ο Λάμπρος, γιατί ο apokalyptikos δήλωνε στο mathematics.gr άλλα από αυτά που λέει σήμερα. Πχ τότε έλεγε:


Αποκαλυπτικός
Όμως οι άρρητοι σχετίζονται (ιστορικώς τουλάχιστον) μέ τό πυθαγόρειον θεώρημα, καί επί τού θέματος τούτου έχω ήδη λάβει θέσιν. Θεωρώ τήν απόδειξιν τού κυρίου lmrs απολύτως ορθή, καθ’ ότι χρησιμοποιεί τά ίδια «επιστημονικά standards», που χρησιμοποίησεν ο Πυθαγόρας ο ίδιος.


Αυτό αποτελεί μια σταθερά. Δεν έπαψε ποτέ να ισχύει. Ούτε ο κύριος Μαγκλάρας ισχυρίστηκε (τουλάχιστον στα αρχικά βήματα) ότι αποδεικνύει το σφάλμα του πυθαγορείου με άλλα standars από αυτά του Πυθαγόρα ή του Ευκλείδη.

Αυτό έρχεται να απαντήσει στον αγαπητό φίλο KNIK που λέει:

Παράθεση:
KNIK
n-χασμένη προσωπικότητα...


Όντως. Αλλά δεν διευκρινίσατε αγαπητέ φίλε σε ποιον αναφέρεστε;

5. Ήταν τόσο μεγάλη η ταύτιση απόψεων μεταξύ του κυρίου Αποκαλυπτικού και του Μαγκλάρα ώστε όλοι σχεδόν οι μαθηματικοί θεωρούσαν Αποκαλυπτικό και Μαγκλάρα ένα και το αυτό πρόσωπο. Δείτε στο εδώ φόρουμ:

http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php? ... ght=#16647

Πιστεύω καλό είναι να διαβάσει κανείς όλο το θέμα που εκκινεί με τις εξής θέσεις του κυρίου Αποκαλυπτικού:

Παράθεση:
Αποκαλυπτικός:
Δέν υπάρχει πιό δύσκολο πράγμα, από το να αποδείξει κανείς ένα θεώρημα «παλαιάς εποχής», όταν έχουν ειδικά μεσολαβήσει άνω τών 2000 ετών, διάστημα κατά τό οποίο συνέβησαν, στόν χώρο τών φυσικών επιστημών και τών μαθηματικών, ουκ ολίγα...
Ζητώ εκ τών προτέρων κατανόηση γιά τό αναγκαστικά μακροσκελές τού κειμένου (γιά τα πλαίσια ενός forum), αλλά δέν γίνεται αλλοιώς, όταν όπου και να κοιτάξουμε, προβάλλονται επιχειρήματα (και όχι αβάσιμα) που καταρρίπτουν το εν λόγω θεώρημα. Λοιπόν...


Στη συνέχεια βέβαια θα δείτε πως οι μαθηματικοί του φόρουμ, τον ταυτίζουν με τον κύριο Λάμπρο Μαγκλάρα. Διαβάστε το όλο και να το συγκρίνετε παρακαλώ με τα τελευταία του κείμενα, εδώ που τώρα γράφουμε. Δείτε πως ανατρέπει την απόδειξη ισχύος του πυθαγορείου που εμφανίζει ο χρήστης nearsighted_1. Η διαφορά είναι ότι ο κύριος Μαγκλάρας εξακολουθεί να ανατρέπει το πυθαγόρειο με χίλιους δύο τρόπους, ενώ ο κύριος Αποκαλυπτικός βρίσκεται ανακόλουθος ως προς τις θέσεις του μέσα στο ίδιο αυτό φόρουμ με αστείο αιτιολογικό ότι ξαφνικά είδε τον κύριο Μαγκλάρα να μιλά για εφαπτόμενα.

Αγαπητέ KNIK σου δίνω ένα άλλο κριτήριο να αποφασίσεις ποιος είναι n-χασμένη προσωπικότητα. Σε αυτό το φόρουμ στηρίζει την ανατροπή του πυθαγορείου και μην ψάχνετε για να βεβαιώσετε όσα σαν αληθή σας παραθέτω.

6. Ποια είναι η πραγματική αιτία της μετάλλαξης του κυρίου Αποκαλυπτικού;
Μα, το ότι τον τίμησε με την συνομιλία της η κυρία zoi (Ζωή Σουραδάκη) όπως κατέστησε γνωστό το όνομα στον κύριο Μαγκλάρα ο ευγενέστατος καθηγητής κύριος Απόστολος Γιαννόπουλος με τον οποίο και συνομιλούσε ο κύριος Μαγκλάρας, όπως συνομιλούσε και με την κυρία zoi. Τα κείμενα υπάρχουν στο εδώ φόρουμ. Μόνον η ματαιοδοξία κατέστησε συμβατικό και προσαρμοσμένο τον κύριο Αποκαλυπτικό. Αφού συνομίλησε με την κυρία zoi, έκτοτε άρχισε η μετάλλαξη.
Αυτά ως προς τον κύριο Αποκαλυπτικό.

Μένει τώρα να απαντήσει ο κύριος Μαγκλάρας στους αγαπητούς Heliasv και Sequence:

Παράθεση:
Heliasv
Συγνώμη καταρχήν για το οφτοπικ! Θα ήθελα να σας παρακαλέσω ως απλός χρήστης να αποφεύετε τέτοιους χαρακτηρισμούς! Με ενοχλεί ιδιαίτερα όταν οι χαρακτηρισμοί αυτοί είναι προς τον κύριο αποκαλυπτικό που τόσο εκτιμούμε εδώ μέσα καθώς μας έχει κερδίσει τους περισσότερους (δεν λέω όλους καθώς δεν μπορώ να μιλώ εκ μέρους ενός ολόκληρου φόρουμ) με το ενδιαφέρον του, την αγάπη του για το αντικείμενο, τις γνώσεις του και με την γενικότερη στάση του!


Μαγκλάρας
Αγαπητέ φίλε ζητώ συγγνώμη που καταστρέφω με χαρακτηρισμούς την εικόνα του κυρίου Αποκαλυπτικού. Λέω λίγα και σκέφτομαι πολύ περισσότερα. Λυπάσαι λίγο και λυπάμαι πολύ περισσότερο, γιατί ο κύριος Αποκαλυπτικός είναι φυσιογνωμία, αλλά έχει ανάλογα αυξημένα με τα προσόντα του και τα μειονεκτήματά του. Όσα λέω δεν μπορούν να μου αναιρέσουν το υπέρ του ισοζύγιο, αναλογιζόμενος ότι, όσο ικανός και να είναι κάποιος στο πνεύμα δεν μπορεί να απαλλαγεί από τις ανθρώπινες αδυναμίες. Δεν του κρατώ καμία κακία και πάντα θα τον σκέπτομαι με τις καλές του πτυχές. Εσύ αισθάνεσαι άσχημα και εγώ πονάω…

Μαγκλάρας
Αγαπητέ Sequence, λέτε ότι έχω απειλήσει τον κύριο Αποκαλυπτικό με την παρακάτω αναφορά:
«αυτές τις ανοησίες που λέτε σε μένα, αλλά θα περάσετε καλά μαζί του, είμαι βέβαιος».

Παρακαλώ να μου υποδείξετε που ακριβώς το αναφέρω αυτό; Γιατί εισάγετε εμβόλιμα μια πρόταση σαν δική μου την οποία ποτέ δεν διατύπωσα; Να το θεωρήσω εμπάθεια ή συκοφαντία; Κάνετε μόνος σας την επιλογή.

Παράθεση:
Sequence
Κύριε Αποκαλυπτικέ χάνετε το χρόνο σας.


Κανένας δεν μπορεί να χάσει χρόνο αγαπητέ Sequence, γιατί κανένας δεν μπορεί και να κερδίσει. Η ζωή περνάει και αδιαφορεί για τις δραστηριότητές μας. Σας το λέω εκ πείρας. Άλλος θα φύγει σοφός, άλλος θα φύγει ήρωας, άλλος θα φύγει ανακόλουθος και άλλος και σοφός και ήρωας και ανακόλουθος.

Ευχαριστώ που διαβάσετε με τη δική μου μεσολάβηση, το τελευταίο μήνυμα του κυρίου Μαγκλάρα στο φόρουμ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 25 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group