forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 18:49

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: lim (sinx/x)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 01:57 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα de le Hospital για να αποδείξουμε ότι
lim (sinx/x) με χ->0 είναι ίσον με 1;[/tex]

_________________
΄Εν οίδα ,ότι ουδέν οίδα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 07:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 28 Φεβ 2006, 14:47
Δημοσ.: 1751
Τοποθεσια: Αργυρούπολη
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής αποτελούν παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τα individual limes τους είναι 0, και το όριο de L'Hosptital υπάρχει.
Sure, γιατί όχι?

_________________
"I am the happiest man alive. I have that in me that can convert poverty into riches, adversity into prosperity, and I am more invulnerable than Achilles; fortune hath not one place to hit me."


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 18:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου, σελίδες 224-225 για να βρεις την παράγωγο του αριθμητή, δηλαδή για να γράψεις ότι (ημx)'=συνx, έχεις χρησιμοποιήσει ήδη ότι το όριο L=Lim (sinx/x) με χ - > 0 ισούται με 1,άρα ανακυκλώνεται η απόδειξη. Οπότε το θέμα είναι αν υπάρχει άλλη απόδειξη του (ημx)'=συνx

_________________
΄Εν οίδα ,ότι ουδέν οίδα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Φεβ 2007, 07:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 28 Φεβ 2006, 14:47
Δημοσ.: 1751
Τοποθεσια: Αργυρούπολη
Χμμ...
Έχεις δίκιο, δεν το σκέφτηκα.

...

Όντως, με όποιον τρόπο προσπαθώ να αποδείξω ότι [tex][\sin{x}]' = \cos{x}[/tex], πάντα χρησιμοποιώ (ή αποδεικνύω αναγκαστικά) το [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1[/tex].

Θα το κοιτάξω περισσότερο και θα επανέλθω...

_________________
"I am the happiest man alive. I have that in me that can convert poverty into riches, adversity into prosperity, and I am more invulnerable than Achilles; fortune hath not one place to hit me."


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: lim [sin(x)/x] =1
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Φεβ 2007, 15:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Αγαπητέ Bilstef,

δεν είμαι σίγουρα ο πιό κατάλληλος να σε βοηθήσει, αλλά φτιάξε ένα σχηματάκι να χαρεί η καρδούλα σου και η λύση θα εμφανιστεί μπροστά σου.
Φτιάξε π.χ. τον μοναδιαίο κύκλο και φέρε το ημίτονο, τό συνημίτονο και τήν εφαπτομένη στο διάστημα (0, π/2) π.χ.
Θά φανεί αμέσως

sin(x) < x < tan(x) Οπότε

1< x/sin(x) < 1/cos(x) Οπότε

1> (sin(x)) /x > cos(x) για μικρά x

Οπότε έχεις αμέσως αυτό που ζητάς. Εάν θέλεις περισσότερη αυστηρότητα οδηγήσου στο ίδιο αποτέλεσμα μέσω τών εμβαδών τών δύο τριγώνων και τού κυκλικού τομέως. Ένα σχήμα λέει συχνά περισσότερα από 1000 λέξεις.

Άν τώρα επιμένεις και θέλεις να αποδείξεις πρώτα ότι η παράγωγος τού ημιτόνου ισούται προς το συνημίτονο, ωρίστε :

lim [sin(x+h) – sin(x)] / h = lim [( 2cos((Xo+h+Xo))/2) * sin((Xo+h-Xo))/2)] /h =

lim [cos(Xo + h/2)) * sin(h/2)] /h/2 = lim [(cos (Xo + h/2))*((sin(h/2))/h/2]

Όμως lim cos (Xo+h/2) = cos(Xo)

και lim [sin(h/2)] / h/2 = 1
(όλα τά όρια βέβαια τού h τείνοντος στο μηδέν)

Άρα d(sin(x)) = cos(x)


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: lim (sinx/x)
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Απρ 2007, 23:51 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Ιαν 2007, 15:29
Δημοσ.: 75
Τοποθεσια: Αθηνα
bilstef έγραψε:
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα de le Hospital για να αποδείξουμε ότι
lim (sinx/x) με χ->0 είναι ίσον με 1;[/tex]


Εξάλλου δεν το χρειάζεσαι, το σχολικό βιβλίο έχει μια απλή απόδειξη σελ.172 :wink:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group