forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Σεπ 2017, 16:13

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 23 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Η ισχύς τού Πυθαγορείου Θεωρήματος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Φεβ 2007, 21:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Δέν υπάρχει πιό δύσκολο πράγμα, από το να αποδείξει κανείς ένα θεώρημα «παλαιάς εποχής», όταν έχουν ειδικά μεσολαβήσει άνω τών 2000 ετών, διάστημα κατά τό οποίο συνέβησαν, στόν χώρο τών φυσικών επιστημών και τών μαθηματικών, ουκ ολίγα...
Ζητώ εκ τών προτέρων κατανόηση γιά τό αναγκαστικά μακροσκελές τού κειμένου (γιά τα πλαίσια ενός forum), αλλά δέν γίνεται αλλοιώς, όταν όπου και να κοιτάξουμε, προβάλλονται επιχειρήματα (και όχι αβάσιμα) που καταρρίπτουν το εν λόγω θεώρημα. Λοιπόν...
Για να κατανοήσουμε το πυθαγόρειο θεώρημα, πρέπει πρώτα να ξεκαθαρίσουμε ορισμένες έννοιες που αφορούν στους αριθμούς (και όχι μόνο) και ειναι άρρηκτα συνδεδεμένες με αυτό και την απόδειξή του.
Είναι σήμερα αρκετά διαδεδομένη η άποψη, ότι όλες μας οι ιδέες βασίζονται σε νοητικά ερεθίσματα μέσω τών αισθήσεων. Ο αριθμός 2 π.χ. σύμφωνα μ’ αυτή τήν άποψη δημιουργήθηκε σε προϊστορικούς χρόνους από τήν επαναληπτική παρατήρηση δύο δέντρων, δύο ζώων δύο πραγμάτων δηλαδή. Απο κοινού με τήν εξελιχθείσα ικανότητα απαρίθμησης αντικειμένων αλλά και μέτρησης μηκών, επιφανειών, όγκων, βαρών κτλ. οδήγησε αυτός ο αφαιρετικός μηχανισμός στη σύγχρονη μαθηματική έννοια τών «πραγματικών αριθμών».
Η επιλογή τής έννοιας «πραγματικοί αριθμοί» (με αριστοτελικές ρίζες) υποδηλώνει τήν εκ τών προτέρων πρόθεση να απορριφθεί καθε αριθμητική έννοια που δεν ανάγεται στήν απλή απαρίθμηση ή μέτρηση χειροπιαστών αντικειμένων, ως «αδύνατη» ή ως «φανταστική». Ο αριθμός Ριζα(-1) θεωρείται ακόμη και σήμερα, από πολλούς, κυριολεκτικά φανταστικός.

Ο Euler επιχειρηματολογούσε, ότι ο Ριζα(-1) δέν μπορεί να υπάρχει στη φύση, καθώς θά έκφραζε ένα μήκος, τού οποίου το τετράγωνο θα ήταν μικρότερο τού μηδενός. Η επιφάνεια όμως κάθε τετραγώνου πρέπει να είναι πάντα θετική. Άρα ο Ριζα(-1) είναι αδύνατος.

Αυτή ακριβώς τή θέση τού Euler και την εμπειριστική αντίληψη τής πραγματικότητας αναίρεσε υποδειγματικά ο μεγάλος Gauss καταδεικνύοντας τη φυσική πραγματικότητα τού Ριζα(-1)
Η «γραμμή» Gauss αρχίζει ιστορικώς με τους πυθαγόρειους, συνεχίζεται στούς αρχαιοελληνικούς χρόνους με τούς πλατωνικούς και τους μετέχοντες τής πλατωνικής Ακαδημίας, και στους νεώτερους με τούς Leonardo da Vinci, Kepler, Bernoulli, Leibniz, Riemann (μαθητής τού Gauss)....
Η αντίπαλος «γραμμή» αρχίζει ιστορικώς με τόν Αριστοτέλη, συνεχίζεται με τούς αριστοτελικούς και στούς νεώτερους χρόνους με τους Galilei, Newton, Descartes, Lagrange, Cauchy, Euler... και όλους τούς μοντέρνους εμπειριστές και θετικιστές.
Τά μαθηματικά σήμερα έχουν την μορφή που έχουν, ανάλογα με ποιά γραμμή υπερίσχυε στις διάφορες ιστορικές περιόδους.
Αυτά τα λίγα, αν και λίαν γενικευμένα και ελλειπή, αρκούν για να μιλήσουμε για το πυθαγόρειο και το πνεύμα του.

Γιά τη πυθαγόρεια-πλατωνική σκέψη λοιπόν οι αριθμοί δεν έρχονται από την αντιληπτική ικανότητα τών ανθρωπίνων αισθήσεων, αλλά σχηματίζουν θα λέγαμε στη νόηση ένα ιδιαίτερο είδος Ιδέας. Η ουσία τέτοιων Ιδεών είναι αυτή που αποδίδει στη νόηση τήν ικανότητα να αποφανθεί πέραν τού ορατού, πέραν τού αισθητού.
Άς τό δούμε αυτό, με πλατωνικό «μάτι» σε τρία αρχαία, γνωστά, προβλήματα :
Ο διπλασιασμός τού ευθυγράμμου τμήματος, τού τετραγώνου και τού κύβου.

1.) Μάς δίδεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Πώς κατασκεύαζουμε ένα νέο διπλού μήκους;
Ως γνωστόν λοιπόν επί ημιευθείας Εχ και με τον διαβήτη επί τού Ε ορίζουμε τό σημείο Δ, έτσι ώστε ΕΔ=ΑΒ. Ακολούθως με τόν διαβήτη επί τού Δ και με άνοιγμα ΔΕ, ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΥΜΕ τον διαβήτη και ορίζουμε το σημείο Ε´που μάς αποδίδει το ζητούμενο.

Η λύση είναι μεν τετριμμένη, όμως σημαντική είναι η παρατήρηση, ότι διά τής περιστροφής εξήλθαμε τού μικρού μονοδιάστατου «κόσμου» τής ευθείας. Και αυτή η περιστροφή αποτελεί αναγκαία συνθήκη γιά την πραγμάτωση τής κατασκευής.

2.) Τό επόμενο πρόβλημα, που απασχόλησε τόν Πλάτωνα στο γνωστό διάλογο Μένωνα και Θεαιτήτου είναι ο διπλασιασμός τού τετραγώνου. Η κατασκευή απαιτεί δηλαδή τό νέο τετράγωνο νά έχει διπλάσια επιφάνεια απο το πρώτο. Τό πρόβλημα αυτό δέν είναι τόσο εύκολο όσο τό πρώτο. Διπλασιασμός τής πλευράς τού τετραγώνου οδηγεί σε τετραπλασιασμό τού τετραγώνου. Ποιό μήκος οδηγεί ΑΚΡΙΒΩΣ στή διπλή επιφάνεια;
Στό πλατωνικό αυτό διάλογο είναι ο Σωκράτης που οδηγεί τόν μικρό δούλο στή λύση τού προβλήματος. Διπλασιάζοντας τήν πλευρά τού τετραγώνου παίρνουμε ένα νέο, αποτελούμενο από τέσσερα ίδια μέ τό πρώτο. Εάν ενώσουμε τις διαγώνιες τών τεσσάρων τετραγώνων, παίρνουμε ένα νέο τετράγωνο διπλάσιο τού πρώτου.
Παρατήρηση :
Η διαγώνιος τού αρχικού τετραγώνου και τό νέο τετράγωνο είναι κατά 45 μοίρες ΠΕΡΙΣΤΡΑΜΜΕΝΑ ως πρός το αρχικό.
Εάν δούμε τό θέμα «αριστοτελικά» ή από τήν οπτική γωνία τών «πραγματικών αριθμών» τού Euler, τότε η διαγώνιος είναι ένα απλό μήκος όπως όλα τά άλλα.
Εάν το δούμε όμως με «πλατωνικό μάτι» τότε η δημιουργία τής διαγωνίου σωματώνει μία υψηλώτερη δύναμη απ’ ότι η πρώτη κατασκευή. Ο διπλασιασμός τού τετραγώνου απαιτεί δηλαδή μία επιπλέον ανακάλυψη, τής οποίας η Ιδέα δέν εξάγεται διά λογικού τρόπου εκ τών δεδομένων τού προβλήματος, αλλά ούτε και εκ τής λύσεως τού πρώτου προβλήματος. Η Ιδέα αυτή λοιπόν αποδίδεται στούς πυθαγόρειους και μάς λέει ότι :
Το μήκος τής διαγωνίου ενός τετραγώνου δέν ανήκει στην ίδια τάξη μηκών, που εξάγονται μέσω απλού πολλαπλασιασμού ή διαιρέσεως τής αρχικής πλευράς κατά ακέραια αναλογία.
Διαγώνιος καί πλευρά είναι δηλαδή μεγέθη ασύμμετρα.

3.) Τό πρόβλημα τού διπλασιασμού τού κύβου, ένα τών διασημωτέρων τής αρχαιότητας, μάς φέρνει αντιμέτωπους με το ΠΑΡΑΔΟΞΟ, ότι η μέθοδος που ακολουθήθηκε κατά τόν διπλασιασμό τού τετραγώνου, δέν μπορεί να εφαρμοστεί εδώ. Δέν είναι κάν εφικτή με κανόνα και διαβήτη.
Ο μεγάλος Αρχύτας δημιούργησε ωστόσο τήν απαραίτητη πλευρά μέσω τομών τριών επιφανειών, (που εδημιούργησε πάλιν μέσω περιστροφών) : μιάς σπείρας, ενός κυλίνδρου και ενός κώνου.
Γιά τα τρία αυτά προβλήματα παρατηρούμε τα εξής σημαντικά :

α) Γιά τη λύση καθ’ενός προβλήματος απαιτούνται σκέψεις που υπερβαίνουν τό πλαίσιο τών δεδομένων του.
β)Η λύσις εκάστου προβλήματος εξαρτάται από Αρχές που υπερβαίνουν τήν Αρχή που διέπει το προηγούμενο.
γ) Η επενέργεια τής Περιστροφής, ως δυναμικής κίνησης, αποτελεί κοινό χαρακτηριστικό και τών τριών προβλημάτων.

Αυτά τά τρία συμπεράσματα μάς οδηγούν ήδη σε μιά πρώτη προσέγγιση τής πλατωνικής εννοίας τής «Δυνάμεως» κατά ανιούσα τάξη.
Αυτός ο τρόπος προσέγγισης οδήγησε και στη λύση τού παραδόξου τού Kepler καί τήν ανακάλυψη τών κυκλικών και αργότερον τών ελλειπτικών συναρτήσεων από τόν Gauß. Η ανακάλυψη δηλαδή «Δυνάμεων» ολοέν και ανωτέρω τάξεων.
Από τήν πλευρά δηλαδή τών Φυσικών Αρχών είναι η Άσυμμετρία εκείνη που εκδηλώνει τή «Δύναμη» (=δυνατότης) να δημιουργήσουμε δύο τετράγωνα π.χ. με σχέση επιφανειών 1: 2. Είναι ο αριθμός εκείνος δηλαδή που σήμερα ονομάζουμε Ρίζα 2.
Οι Θαλής, Πυθαγόρας, Θεόδωρος καί Θεαίτητος κατέδειξαν ήδη τότε, ότι ο Ρίζα 2 αποτελεί ένα ειδικό μόνο μέρος σχέσεων, οι οποίες γεννούνται μέσω κυκλικής δράσεως και που ονομάσανε τό γεωμετρικό μέσο μεταξύ δύο ακροτάτων. Εάν φέρουμε π.χ. κύκλο διαμέτρου ΑΒ, εκλάβουμε σημείο Ρ επί τής περιφερείας του καί φέρουμε τήν ΡΣ κάθετον επί τής διαμέτρου, παρατηρούμε: Εάν κινηθεί το Ρ από το Β προς το Α, τότε η ΡΣ είναι πάντα ο γεωμετρικός μέσος τών ΑΣ και ΑΒ. Έτσι γεννήθηκε αυτό που ονομάζουμε γεωμετρικός τόπος. Αυτός ο τρόπος σκέψης ακολουθεί τήν ίδια πάντα Αρχή: Γέννηση π.χ. τετραγωνικών καί κυβικών μεγεθών (Απολλώνιος) μέσω Δράσεως που δρά επί Δράσεως.

Εδώ είναι τώρα τό πρόβλημα που προκύπτει με τήν σημερινή Άλγεβρα όπως αυτή διαμορφώθηκε τό αργότερο μετά τους Descartes- Lagrange- Euler.
Παράδειγμα :
Η φορμαλιστική άλγεβρα καταγράφουσα γιά τά δύο τελευταία προβλήματα :
χ^2 = 2 και χ^3 =2 αποκρύπτει το γεγονός, ότι οι λύσεις των απαιτούν τελείως διαφορετικές γεωμετρικές μεθόδους ή «Δυνάμεις». Όταν λέμε η λύση τής χ*χ=2 είναι η Ρίζα 2, ουσιαστικά δέν λύνουμε τίποτε, απλώς απαντάμε διά τής ερωτήσεως «Ποιά είναι η πλευρά τού τετραγώνου εμβαδού 2;» Γιά να τήν βρούμε χρειαζόμαστε τήν κατασκευή.
Ή η εξίσωση τής Αναλυτικής Γεωμετρίας χ^2 + y^2 = 1 η οποία περιγράφει κύκλο ακτίνος 1 περί τού χ=0,y=0. Αυτή η εξίσωση εξάγεται τού πυθαγορείου θεωρήματος καί αντιστοιχεί στή δήλωση, ότι τό σημείο (χ,y) απέχει τού σημείου (0,0) 1. Αποκρύπτει όμως παντελώς, όπως όλα τα φορμαλιστικά μαθηματικά, τήν φυσική ενέργεια και επενέργεια ενός κύκλου, δηλαδή τήν περιστροφή. Αποκρύπτει επίσης τήν αντιστροφή.
Παράδειγμα :
Άς εξετάσουμε τή δημιουργία τών γεωμετρικών μέσων διά τής κυκλικής δράσεως, αλλά αυτή τη φορά από τήν οπτική γωνία τής αντιστροφής. Η κυκλική «τροχιά» τού Ρ παράγει όπως είδαμε όλα τά είδη τών γεωμετρικών μέσων. Αλλά τί γίνεται με τις αντιστρόφους; Μπορεί τό σύνολο τών γεωμετρικών μέσων νά παράγει κύκλο;
Όχι, δέν μπορεί, υπάρχει μιά «ανωτέρα Αρχή» που παράγει τόν κύκλο, τήν οποία αργότερον ονόμασε ο Leibniz «υπερβατική». Αυτές οι «κυκλικές υπερβατικότητες» ταυτίζονται με τα αλληλοεπιδρώμενα εκείνα μεγέθη που καλούμε «τριγωνομετρικές συναρτήσεις» και οι μεταξύ των σχέσεις εκφράζουν τήν ασυμμετρία καμπύλου και ευθείας.

Άς αφήσουμε λοιπόν (έστω προσωρινώς) όλα τα φορμαλιστικά συστήματα κατά μέρος, μαζί με τήν στατική ευκλείδεια γεωμετρία και ας δούμε αυτές τις ανακαλύψεις από τήν πλευρά τής κίνησης.
Οι πυθαγόρειοι κατέδειξαν άν μή τι άλλο, ότι η πλευρά τετραγώνου επιφάνειας 1 είναι ασύμμετρη πρός τήν πλευρά τετραγώνου επιφάνειας 2. Αυτό, με «πλατωνικό μάτι» σημαίνει, ότι ένα τετράγωνο διπλασιάζεται μέσω μιάς άλλης Αρχής απ’ότι η ευθεία γραμμή.
Αυτή η σχέση ορίζει ένα μέγεθος νέου τύπου, το οποίο (όπως και όλοι οι αριθμοί) δεν μπορεί νά οριστεί φορμαλιστικά έξω από τις φυσικές σχέσεις από τις οποίες και ξεπηδάει. Μ’άλλα λόγια: η Ρίζα 2 δέν είναι ο αριθμός 1,414213......, αλλά ένα μέγεθος που υπάρχει ως φυσική σχέση μεταξύ δύο τετραγώνων με επιφάνειες 1 και 2. Όπως μάς λέει ο Πλάτων στόν Θεαίτητο, αυτό το μέγεθος αποτελεί μόνο μία ειδική μορφή μιάς ολόκληρης τάξης μεγεθών, τα οποία μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ως γεωμετρικά μέσα δύο ακροτάτων.
Ένας τελείως νέος τύπος μεγεθών παράγεται π.χ. κατά τόν διπλασιασμό τού κύβου. Η κατασκευή τού Αρχύτα καθιστά σαφές, ότι αυτά τα μεγέθη ΔΕΝ παράγονται μέσω απλής κυκλικής περιστροφής (δράσης), αλλά απαιτούν κυκλική δράση που να επενεργεί κάθετα σε μία άλλη κυκλική δράση. (Αυτό εννοείται με το Δράσις επι Δράσεως) Αυτή η επενέργεια επί επενεργείας παράγει τή σπείρα, τον κύλινδρο και τόν κώνο τού Αρχύτα. Πάνω σ’αυτή τη παράδοση συνέχισε και ο άλλος μεγάλος τής αρχαιότητας, ο Απολλώνιος με τήν ανάπτυξη τών κωνικών τομών.
Βλέπουμε ήδη τη διαφορά πρός τούς ονομαζόμενους αριστοτελικούς, τούς εμπειριστές κτλ. Η κίνηση δεν «ξεπηδά» από τά σώματα, τά σώματα ξεπηδούν από την κίνηση!

Αλλά ας δούμε λίγο το Ρίζα(-1). Είναι φανταστικός; Είναι προϊόν καθαρής φαντασίας; Τί είναι τέλος πάντων; Και με το «τί είναι» δέν εννοώ φορμαλιστικά, στά πλαίσια δηλαδή οποιουδήποτε (όσο και μεγαλοφυούς) συστήματος, εννοώ οντολογική υπόσταση.
Αλλά άς αφήσουμε να μιλήσει γι’αυτό ο ίδιος ο Gauss :
«Τό μέγεθος Ρίζα(-1) είναι μία φυσική Αρχή βαθυτάτου νοήματος και σπουδαιοτάτης σημασίας γιά τή «μεταφυσική» θεωρία τού χώρου»
Και τό κατέδειξε, κατασκεύασε τό 17γωνο με κανόνα και διαβήτη. Άς τό δοκιμάσει όποιος εμπειριστής νομίζει, ότι μπορεί, ή όποιος φορμαλιστής με απλή φορμαλιστική γεωμετρία.
Η κατασκευή κατανοείται και πραγματώνεται μόνον εάν κατανοηθεί η σχέση αισθητού καί μή αισθητού. Από τή πλευρά τού αισθητού φαίνεται, ότι ο κύκλος μερίζεται με κανόνα και διαβήτη μόνο σε 2, 3 ή 5 ίσα μέρη, όπως επιστεύετο γιά χιλιάδες χρόνια.
Ο Gauss ανεγνώρισε, ότι ο ορατός κύκλος είναι το δημιούργημα μιάς διαδικασίας, η οποία μπορεί να εκφραστεί μόνο στο μιγαδικό (complex, όπως το ονόμασε) επίπεδο. Από αυτή τή σκοπιά δηλαδή αποτελεί ο χωρισμός τού κύκλου μία γενικότερη μορφή τών αρχαίων προβλημάτων τού διπλασιασμού τού τετραγώνου και τού κύβου. Τά τελευταία βασίζονται στίς Αρχές, που παράγουν ένα, αντιστοίχως δύο μέσα μεταξύ δύο ακροτήτων.
Ο χωρισμός τού κύκλου σε ν μέρη ανάγεται στο πρόβλημα να βρεθεί η Αρχή, η οποία θα παράγει ν-1 μέσα μεταξύ δύο ακροτήτων. Άν δηλαδή το ν-1 είναι ίσο με 2 υψωμένο σε μία δύναμη τού 2, τότε μετασχηματίζεται το πρόβλημα σε μία σειρά απο τετραγωνικές ρίζες και η κατασκευή είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη.
Τά λεγόμενα «φανταστικά μεγέθη» είναι δηλαδή αντανακλάσεις μιάς δράσεως που είναι οντολογικά υπερβατική.
Η «γραμμή Gauss» δεν ψάχνει γι’ αποτελέσματα, ψάχνει γιά «αόρατες» Αρχές και αυτές δέν υπάρχουν σέ ιδιότητες τής ύλης.
Τα διάφορα ΠΑΡΑΔΟΞΑ που εμφανίζονται στό χώρο τών μαθηματικών, εμφανίζονται, όταν Ιδέες «ανωτέρας τάξεως» προβληθούν σε χαμηλώτερο επίπεδο, εις τό οποίον είναι μή εκφράσιμες.
Είναι όπως οι λέξεις αυτού τού κειμένου, που προσπαθούν να μεταδώσουν ένα νόημα, παραμένουσες οι ίδιες απλές, ανιαρές λέξεις. Τό νόημα είναι πίσω από τίς λέξεις, δέν φανερώνεται μέσω τών λέξεων εποπτικά, νοείται, πρόκειται γιά τό « κεκρυμμένο είναι».

Έτσι και στο πυθαγόρειο θεώρημα, τα εποπτικά τετράγωνα σχήματα δέν εξαντλούν τήν ισχύ τής « κεκρυμμένης Αρχής» που διέπει τίς σχέσεις τους, αυτή νοείται. (Εκτός που η λέξη τετράγωνο υποδήλωνε τότε αριθμό γινόμενο δύο άλλων ίσων και όχι σχήμα, αλλά αυτό, όπως και μία λεπτομερής απόδειξις του π.θ. χρήζει ξεχωριστής συζητήσεως)

Αυτά όλα τά προβλήματα που είδαμε εδώ μέσα, αποκρύπτουν πολύ μεγάλες Αλήθειες γιά να τά καταρρίψει η οποιαδήποτε φορμαλιστική θεωρία ή εμπειριστική θεώρηση. Οι μέν πρώτες αυτοεξαντλούνται στα όρια που θέτουν τα ίδια τα αξιώματά τους, οι δέ δεύτερες λειτουργούν αφαιρετικά τής ύλης, όχι όμως τής φύσης όπως τή βλέπει το «πλατωνικό μάτι».

Αποκαλυπτικός

ΥΓ
Ο χωρισμός σε « παρατάξεις» δέν αποσκοπεί στο να οδηγηθούμε σε « εμφύλιο μαθηματικό σπαραγμό», σκιαγραφεί απλά καί μόνο ωρισμένες τάσεις και χρησιμεύει στο να ξέρουμε για τί μιλάμε.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Φεβ 2007, 23:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 19:18
Δημοσ.: 3078
Τοποθεσια: Από δω κι από κεί.
Η πορεία κάθε Μαθηματικής ιδέας στην ιστορία της ανθρωπότητας είναι η εξής:

Πρακτική ανάγκη \rightarrow Μαθηματική Λογική (δηλαδή κανόνες και ιδιότητες που τη διέπουν) \rightarrow Αξιωματική Θεμελίωση.

Στην πορεία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας λοιπόν η Αξιωματική Θεμελίωση που χρησιμοποιούμε σήμερα έγινε από τον David Hilbert ο οποίος εισήγαγε ένα τυπικο αξιωματικό σύστημα για την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Σε αντίθεση με τον Ευκλείδη ο οποίος δε χρησιμοποίησε απροσδιόριστους όρους και στηρίχθηκε υπερβόλικά στη διαίσθηση, ο Hilbert ξεκίνησε με τους απροσδιόριστους όρους σημείο, ευθεία, κείται επί ή πίπτει επί ή βρίσκεται επί, ισότητα (απόδοση του αγγλικού όρου congruence) και μεταξύ. Στη συνέχεια έδωσε 13 Αξιώματα χωρισμένα σε 5 ομάδες. Με αυτόν τον τρόπο κατάφερε να απαλλάξει την Ευκλείδεια Γεωμετρία από την εποπτεία. Είναι δηλαδή δυνατό να κάνουμε Γεωμετρία στηριζόμενοι μόνο στα αξιώματα, χωρίς καμμία εποπτεία. Στα πλαίσια αυτού του τυπικού αξιωματικού συστήματος λοιπόν, έχοντας απαλλαγεί από την εποπτεία, μπορούμε και πάλι να αποδείξουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Άρα το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα πλαίσια αυτής της αξιωματικής θεμελίωσης έχει καθολική ισχύ.

Xμμ λίγο άσχετο αλλά γιατί έχω την εντύπωση πως έχω ξανακάνει την ίδια συζήτηση;

Εdit: Δεν είναι μόνο ο Hilbert που εισήγαγε ένα τυπικό αξιωματικο σύστημα στην Ευκλείδεια Γεωμετρία βέβαια. Υπάρχουν και άλλα αξιώματικά συστήματα το ίδιο "σωστά" που χρησιμοποιούν διαφορετικούς απροσδιόριστους όρους και αξιώματα από του Hilbert.

_________________
Γι' αυτό σου λέω.
Την άλλη φορά που θα μας ρίξουνε
να μην την κοπανήσουμε. Να ζυγιαστούμε.
Μην ξεπουλήσουμε φτηνά το τομάρι μας ρε.
Μη. Βρέχει. Δόσμου τσιγάρο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Η ισχύς τού Πυθαγορείου Θεωρήματος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Φεβ 2007, 12:24 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Νοέμ 2006, 12:39
Δημοσ.: 16
Apokalyptikos έγραψε:
... Η επιλογή τής έννοιας «πραγματικοί αριθμοί» (με αριστοτελικές ρίζες) υποδηλώνει τήν εκ τών προτέρων πρόθεση να απορριφθεί καθε αριθμητική έννοια που δεν ανάγεται στήν απλή απαρίθμηση ή μέτρηση χειροπιαστών αντικειμένων, ως «αδύνατη» ή ως «φανταστική».

Κύριε Μαγκλάρα,
Θα ήθελα να καταλάβω αυτό που λέτε. Γιατί η επιλογή των πραγματικών αριθμών υποδηλώνει την απόρριψη κάθε αριθμητικής έννοιας που δεν ανάγεται στήν απλή απαρίθμηση;
samios


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Προς Samios
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Φεβ 2007, 17:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Αγαπητέ φίλε, μάλλον τα μπερδεύεις, ή θα ρωτήσεις εμένα ή τόν Κύριο Μαγκλάρα, και τούς δύο συγχρόνως δέ γίνεται.
Ως προς τήν ερώτησή σου τώρα:
Η άποψή μου είναι ότι οι αποκαλούμενοι άρρητοι, μιγαδικοί, φανταστικοί κτλ. αριθμοί, δεν είναι λιγότερον πραγματικοί από αυτούς που επισήμως καλούμε πραγματικούς. Μ’αυτό το σκεπτικό ανέφερα άλλωστε τον Gauss.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Φεβ 2007, 18:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 28 Φεβ 2006, 00:06
Δημοσ.: 5211
Για να μην μπερδευτεί και κανείς άλλος, θα ήθελα να Σας παρακαλέσω να τηρήσετε τον κανονισμό του φόρουμ:
Κανονισμός έγραψε:
Παρακαλείστε κατά την εγγραφή σας να δηλώνετε τo πραγματικό σας ονοματεπώνυμο.

_________________
cogito ergo sum
δραματική σχολή


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Η ισχύς τού Πυθαγορείου Θεωρήματος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 09:16 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 19 Μαρ 2006, 09:42
Δημοσ.: 25
Apokalyptikos έγραψε:
Ζητώ εκ τών προτέρων κατανόηση γιά τό αναγκαστικά μακροσκελές τού κειμένου (γιά τα πλαίσια ενός forum), αλλά δέν γίνεται αλλοιώς, όταν όπου και να κοιτάξουμε, προβάλλονται επιχειρήματα (και όχι αβάσιμα) που καταρρίπτουν το εν λόγω θεώρημα.

Εικόνα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Προς Nearsighted_1
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 11:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Αγαπητέ φίλε, ναι έτσι είναι, όμως πιστεύεις ότι έγραψα τό πάραπάνω κείμενο από μαζοχισμό;
Άν δέν διακρίνει κανείς, κατανοήσει και αποδεχθεί τήν φυσική Αρχή που διέπει τούς γεωμετρικούς μέσους μεταξύ δύο ακροτάτων, που είναι ένα είδος πλατωνικής Ιδέας, τότε υπάρχει ο κίνδυνος να εμφανιστεί ένας εμπειριστής π.χ. και να σού πεί :
«Πώς γράφεις τήν τελευταία σχέση ; Η (ΑΓ)^2 + (ΑΒ)^2 υπονοεί άθροιση τετραγώνων σχημάτων, αυτών που σχηματίζουν οι δύο πλευρές τού ορθογωνίου τριγώνου, κάτι που δεν προβλεπεται από τήν Γεωμετρία»
Δέν πρέπει τότε να τού εξηγήσεις τί υπονοεί η τυπολογία που (ορθώς) εφαρμόζεις;

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 11:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Νομίζω ότι ο nearsighted_1 στηρίζεται στο εξής βιβλίο:

http://pclab.math.uoa.gr/users/angelo/Hilbert.pdf

μελετήστε το.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Η ισχύς τού Πυθαγορείου Θεωρήματος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 13:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Έχετε ακούσει για τον Lyndon LaRouche;

http://en.wikipedia.org/wiki/Lyndon_LaRouche

Δείτε και εδώ (ειδικότερα, το "Dynamis")

http://wlym.com/tiki/tiki-index.php

Παρατηρώ κάποιες ομοιότητες με την δική σας συλλογιστική. Δύο σχετικοί σύνδεσμοι:

http://www.schillerinstitute.org/educ/p ... 2.html#fn1

και

http://wlym.com/antidummies/part66.html


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 14:19 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 19 Μαρ 2006, 09:42
Δημοσ.: 25
Ο σύλλογος http://www.alaska.net/~clund/e_djublons ... ociety.htm απαριθμεί χιλιάδες μέλη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Επί τού προηγουμένου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 14:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Αγαπητή Κυρία Zoi, στις 23.02.2005 γιορτάστηκαν στη Γερμανία τα 150 χρόνια από τον θάνατο τού Gauss. Στο πανεπιστήμιο τού Goettingen, στό οποίο υπήρξε Καθηγητής Αστρονομίας, έλαβε χώρα σχετικό συμπόσιο, όπου και συζητήθηκαν πολλά απο αυτά που αναφέρω και στο πνεύμα που τα αναφέρω.
Ο Gauss θεωρείται απο τους οπαδούς του ως συνεχιστής τού πυθαγορείου-πλατωνικού πνεύματος σέ αντίθεση με τον Euler π.χ. που ήταν φορμαλιστής.
Μή λησμονείτε, ότι τήν εποχή εκείνη τα μαθηματικά και η φιλοσοφία ήταν στενώτερα συνδεδεμένα απ’ότι σήμερα.
Τώρα μόλις είδα και τήν απάντηση τού Κυρίου Nearsighted_1, μόλις αντιληφθώ περί τίνος πρόκειται, θα λάβω θέσιν.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επί τού προηγουμένου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 15:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Apokalyptikos έγραψε:
Αγαπητή Κυρία Zoi, στις 23.02.2005 γιορτάστηκαν στη Γερμανία τα 150 χρόνια από τον θάνατο τού Gauss. Στο πανεπιστήμιο τού Goettingen, στό οποίο υπήρξε Καθηγητής Αστρονομίας, έλαβε χώρα σχετικό συμπόσιο, όπου και συζητήθηκαν πολλά απο αυτά που αναφέρω και στο πνεύμα που τα αναφέρω.


Φαντάζομαι ότι θα έγιναν πολλές παρόμοιες εκδηλώσεις στη Γερμανία εκείνη τη χρονιά.

Παράθεση:
Ο Gauss θεωρείται απο τους οπαδούς του ως συνεχιστής τού πυθαγορείου-πλατωνικού πνεύματος σέ αντίθεση με τον Euler π.χ. που ήταν φορμαλιστής.


Και ο LaRouche εξ όσων γνωρίζω.

Παράθεση:
Μή λησμονείτε, ότι τήν εποχή εκείνη τα μαθηματικά και η φιλοσοφία ήταν στενώτερα συνδεδεμένα απ’ότι σήμερα.


Εκείνη την εποχή ίσως. Κάπως αργότερα όμως, ο Henri Lebesgue έλεγε: "In my opinion, a mathematician, in so far as he is a mathematician, need not preoccupy himself with philosophy - an opinion, moreover, which has been expressed by many philosophers".


Τελευταία επεξεργασία απο zoi την 14 Φεβ 2007, 23:06, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Επί τών προηγουμένων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 18:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Πρός Κυρίαν Zoi

Επιτρέψτε μου τότε ν’ανταπαντήσω με μιά ρήση τού Kantor (όχι πολύ παλαιότερου), όταν έγραφε επί τής Θεωρίας Συνόλων (Πολλαπλοτήτων όπως έλεγε ο ίδιος).
Μεταφράζω από τό πρωτότυπο:

«.....υπό τόν όρο πολλαπλότης εννοώ δηλαδή γενικώς κάθε «Πλήθος» που μπορεί να νοηθεί ως «Ένα» και με αυτό τον τρόπο, πιστεύω ότι ορίζω κάτι που είναι συγγενές τού πλατωνικού Είδους ή τής πλατωνικής Ιδέας»

Έψαξα τις σελίδες που μού παραθέσατε, εδώ πρόκειται μάλλον περί πολιτικής κινήσεως, παρ’όλα αυτά έχει πάμπολλα στοιχεία που τα έχει πάρει απο τα γραφτά τού ίδιου τού Gauss καθώς και τού ίδιου τού Riemann. Εντύπωση μού προκάλεσε το γεγονός, ότι είδα να αναφέρεται κάπου τό όνομα τού Dr. Jonathan Tennenbaum, τόν οποίον άκουσα σε μία διάλεξη, στο Schiller Institut, περί τής Θεωρίας Σχετικότητος .

Προς nearsighted_1

Δεν αντιλαμβάνομαι τι θέλετε να μού πείτε.


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επί τών προηγουμένων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Φεβ 2007, 21:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Apokalyptikos έγραψε:
Πρός Κυρίαν Zoi

Επιτρέψτε μου τότε ν’ανταπαντήσω με μιά ρήση τού Kantor (όχι πολύ παλαιότερου), όταν έγραφε επί τής Θεωρίας Συνόλων (Πολλαπλοτήτων όπως έλεγε ο ίδιος).
Μεταφράζω από τό πρωτότυπο:

«.....υπό τόν όρο πολλαπλότης εννοώ δηλαδή γενικώς κάθε «Πλήθος» που μπορεί να νοηθεί ως «Ένα» και με αυτό τον τρόπο, πιστεύω ότι ορίζω κάτι που είναι συγγενές τού πλατωνικού Είδους ή τής πλατωνικής Ιδέας»

Έψαξα τις σελίδες που μού παραθέσατε, εδώ πρόκειται μάλλον περί πολιτικής κινήσεως, παρ’όλα αυτά έχει πάμπολλα στοιχεία που τα έχει πάρει απο τα γραφτά τού ίδιου τού Gauss καθώς και τού ίδιου τού Riemann. Εντύπωση μού προκάλεσε το γεγονός, ότι είδα να αναφέρεται κάπου τό όνομα τού Dr. Jonathan Tennenbaum, τόν οποίον άκουσα σε μία διάλεξη, στο Schiller Institut, περί τής Θεωρίας Σχετικότητος .

Αποκαλυπτικός


Κατ' αρχήν, μου είναι δύσκολο να σας προσφωνήσω Κύριε Αποκαλυπτικέ, παρακαλώ να μην το εκλάβετε ως αγένεια εκ μέρους μου.

Με συγχωρείτε για την παρεξήγηση: αν από το δικό μου μήνυμα μαθαίνετε για την ενδιαφέρουσα αυτή "πολιτική κίνηση" και τη σχέση της με τους Πυθαγόρα, Πλάτωνα, Gauss, Riemann κλπ., τότε η δική μου άστοχη παρεμβολή θα σας επιτρέψει να κρίνετε αυτή τη σχέση (στο βαθμό που σας ενδιαφέρει).

Απ' ότι φαίνεται δεν γνωρίζετε ότι το Schiller Institute χρηματοδοτείται από την "πολιτική κίνηση" του LaRouche:

"In 1984, LaRouche co-founded (along with his wife, Helga Zepp-LaRouche), the Schiller Institute, which was to be a global umbrella organization for his ideas."

Δεν έχετε παρά να ρίξετε μια ματιά στην ιστοσελίδα του:

http://www.schillerinstitute.org/index.html

Ο Jonathan Tennenbaum, εκτός από τα Μαθηματικά και την θεωρία της σχετικότητας, φαίνεται ότι ασχολείται και με τα οικονομικά (για την ακρίβεια, τα Keplerian Economics!):

http://www.schillerinstitute.org/educ/k ... o_jbt.html

Να σας παραπέμψω και σε μια ομιλία του στη Ρωσική Βουλή!:

http://www.schillerinstitute.org/duma/d ... nbaum.html

Το περιοδικό Fidelio που εκδίδει το Ινστιτούτο ασχολείται αρκετά με τα Μαθηματικά. Ενδεικτικό είναι το άρθρο του ίδιου του LaRouche (ιδρυτή της LaRouche-Riemann method!!) με τίτλο "We must attack the Mathematicians to solve the Economic Crisis":

http://www.schillerinstitute.org/fid_91 ... oscow.html

Ας επιστρέψουμε στο θέμα που εισάγετε. Πιστεύετε ότι οι Μαθηματικοί έχουν λόγο να ασπαστούν κάποια συγκεκριμένη φιλοσοφική θεώρηση; Τα ονόματα που αναφέρατε ήταν συνειδητά ενταγμένα σε κάποια από αυτές; Αν γνωρίζετε την ουσία και τις ιστορικές λεπτομέρειες μιας τόσο σημαντικής "διαμάχης", η παρουσίαση των θέσεων σας θα είναι πράγματι αποκαλυπτική.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Πρός Κυρίαν Zoi
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Φεβ 2007, 21:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Αγαπητή Κυρία Zoi,
όχι, οι μαθηματικοί δέν έχουν λόγο να ασπαστούν κάποια συγκεκριμένη φιλοσοφική θεώρηση.
Αλλά έχοντες σίγουρα κάποια θά αποδεχθούν π.χ. τόν Cantor ή όχι. Όπως και συμβαίνει δηλαδή. Ο ίδιος ο Cantor ήταν πάντως όπως είπαμε πλατωνιστής, ας διαβάσω λίγο πάρακάτω:

«...και στόν Leibniz αναγνωρίζω τήν ιδίαν Αρχή. Μόλις πρόσφατα με τόν Νεοεμπειρισμό, τόν Αισθητισμό(Sensualism) και τόν Σκεπτικισμό, καθώς και την εξ’αυτών εξαγομένη κριτική τού Kant πιστεύεται, ότι η πηγή τής Γνώσεως και η Βεβαιότης έγκεινται στην Εποπτεία και ότι όλη μας η νοητική δύναμις εξαντλείται στο Κόσμο τού αισθητού. Κατά τή δική μου πεποίθηση όμως, αυτά τα στοιχεία δέν προσφέρουν βέβαιη γνώση, διότι η γνώση λαμβάνεται μόνον από έννοιες και ιδέες ,οι οποίες το πολύ που μπορούν, είναι να ερεθιστούν απο εξωτερικές εμπειρίες. Οι λέξεις, περατή νόηση(endlicher Verstand), που τόσο συχνά ακούω τελευταία, δέν ισχύουν κατά κανένα τρόπο, όπως πιστεύω. Όσο, πράγματι, περιορισμένη και άν είναι η ανθρώπινη φύσις, από τό άπειρο δέχεται πολλά.»

Κυττάξτε, δεν γνωρίζω εάν το έδαφος εδώ, είναι πρόσφορο για φιλοσοφικές προεκτάσεις, αλλά όπως τα imaginaries ήταν πραγματικά για τον Gauss, έτσι και τα transfinites ήταν πραγματικά για τον Cantor. Αμφότεροι δέ επίστεψαν, ότι ανεκάλυψαν μία πλατωνική Αρχή. Τά ίδια μεγέθη τα θεωρούσε ο Euler φανταστικά, όπως και ο Kronecker π.χ. τά transfinites(εκτός που μπλόκαρε όπου μπορούσε τη δημοσίευσή τους). Τί περιμένετε, να πώ, οι δύο πρώτοι ήταν καλύτεροι τών δευτέρων; Όχι, αλλά κάπου στα ενδόμυχα πιστεύω, ότι εάν ο Euler έψαχνε για το «κεκρυμμένο είναι», θά ήταν ακόμη ποιό Μεγάλος απ’ότι ήδη είναι.

Αλήθεια είναι πάντως, κατά τη γνώμη μου, ότι κάθε φορμαλιστικός μετασχηματισμός (και ο απλούστερος) υποκρύπτει και μιά δράση, η οποία εάν φανερωθεί, διευρύνει τόν πνευματικό ορίζοντα τού μαθηματικού και τόν καθιστά γονιμώτερον.

Θα σάς δώσω ένα απλό, γελοίο θα έλεγα παράδειγμα, και θα σάς αφήσω να το σκεφτείτε. Να δείτε που θα σάς δυσκολέψει περισσότερο απ’όσο νομίζετε, αν δέν το έχετε αντιμετωπίσει μ΄αυτό το μάτι μέχρι τώρα.

Μάθημα στο σχολείο, υποθέτω πρώτη ή δευτέρα γυμνασίου. Η δασκάλα:
Θά λύσουμε σήμερα τό εξής σύστημα εξισώσεων:

x+y =4
-x+2y=2

Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε:

3y=6 και y=2 και δι’αντικαταστάσεως x=2

Μπόμπος: Ποιά η γεωμετρική σημασία τών ανωτέρω;

Η δασκάλα εξηγεί : Εάν φέρουμε τούς άξονες χ και y, τότε η πρώτη εξίσωση παριστά μιά ευθεία διερχομένη τών σημείων (0,4) και (4,0), η δεύτερη τών σημείων (0,1) και (4,3), η δέ λύσις y=2 π.χ. παριστά μιάν ευθεία διερχομένη τού σημείου τομής τών δύο άλλων, τό (2,2).

Ο Μπόμπος επιμένει και ξαναρωτά : Ποιά η γεωμετρική σημασία τής κατά μέλη προσθέσεως;

Εσείς τί πιστεύετε Κυρία Zoi; Αρκεί η διαβεβαίωση, ότι πρόκειται περί αλγεβρικής τεχνικής, η οποία εφαρμόζεται με επιτυχία εξ απάντων τών αιώνων;

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 23 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group