forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Σεπ 2017, 16:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 23 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πρός Κυρίαν Zoi
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Φεβ 2007, 08:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Κύριε Αποκαλυπτικέ,

Δεν έχω κάποιο λόγο να διαφωνήσω με όσα λέτε. Να σχολιάσω όμως με τη σειρά μου προς αποφυγήν ενδεχόμενων παρεξηγήσεων:

Ο Cantor δεν είναι απαγορευμένος Μαθηματικός (το αντίθετο θα έλεγα) και αν κάποιοι, κάποτε, μπλόκαραν όπου μπορούσαν τη δημοσίευση των αποτελεσμάτων του για "φιλοσοφικούς λόγους", αυτός είναι ένας ακόμα λόγος για να θυμηθούμε την ρήση του Lebesgue. Μιλάμε για την έρευνα στα Μαθηματικά και για την ελευθερία να σκεπτόμαστε.

Αν ο Cantor και ο Gauss επίστεψαν ότι ανεκάλυψαν μία πλατωνική Αρχή, αυτό σημαίνει ότι όποιος ερευνά με επιτυχία τα Μαθηματικά έχει την ίδια πεποίθηση; Και αν όχι, μήπως κάθε Μαθηματικός είναι πλατωνιστής χωρίς να το γνωρίζει και ψάχνει για το "κεκρυμμένο είναι" αλλά δεν το ομολογεί;

Η γνώμη σας ότι κάθε φορμαλιστικός μετασχηματισμός υποκρύπτει μία δράση είναι όντως γόνιμη. Κάθε παράδειγμα, όπως αυτό που φέρατε τώρα, είναι πολύ ενδιαφέρον και χρήσιμο. Πιστεύετε όμως ότι κάθε φορά που κάποιος Μαθηματικός επινοεί έναν τέτοιο μετασχηματισμό έχει προηγουμένως κατανοήσει εις βάθος την "δράση" η οποία υποκρύπτεται; Δεν είμαι βεβαία για το τι εννοείτε. Λένε ότι ο Descartes εισήγαγε την "αριθμητικοποίηση της γεωμετρίας", δεν είναι όμως ακριβώς αλήθεια ότι η "αριθμητικοποίηση" ήταν η πρόθεσή του. Από τη μία πλευρά έβλεπε ότι μπορούσε να απελευθερώσει την Γεωμετρία από την χρήση των σχημάτων (έλυσε άλλωστε κατ' αυτόν τον τρόπο ένα πρόβλημα του Πάππου το οποίο βασάνιζε πολλούς), από την άλλη προσπαθούσε να ερμηνεύσει γεωμετρικά τους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς. Αυτό θέλετε να πείτε;

Το παράδειγμά σας: η δασκάλα (έρχομαι στη θέση της) τους μιλάει για ένα σύστημα εξισώσεων. Ενδέχεται να έχει στο νού της ένα πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής. Δεν μίλησε στα παιδιά για ευθείες, τι λέει το αναλυτικό πρόγραμμα; Ο Μπόμπος είναι "διαβασμένος", ίσως είναι ο μικρός Gauss. Την μεταφέρει στο δικό του πλαίσιο και συμμερίζομαι την έκπληξή της. Ευτυχώς, το συγκεκριμένο παράδειγμα επιδέχεται απλή γεωμετρική λύση. Τα τέσσερα σημεία σας είναι κορυφές παραλληλογράμμου, το δε σημείο που ζητάμε είναι το σημείο τομής των διαγωνίων: βρίσκεται εύκολα. Ακόμα και αν δεν είχαμε την εξαιρετική αυτή τύχη, θα είχαμε να κάνουμε με ένα τραπέζιο και θα μας βοηθούσε η ομοιότητα τριγώνων.

Φαντάζομαι ότι κάποια άλλη δράση έχετε στο νού σας, διαφωτίστε μας. Μιλάμε για την απαλοιφή του Gauss αν καταλαβαίνω καλά. Μπορώ να ισχυριστώ ότι έχει "αλγεβρική" ιστορία αιώνων. Αν όχι οι Βαβυλώνιοι, οι Κινέζοι την είχαν από πολύ παλιά υπόψιν τους (κατά κάποιον τρόπο). Ο Cardan την ονόμαζε regula de mondo το 1545, αλλά ο Gauss πρώτος την έβαλε σε εφαρμογή για συστήματα με πολλούς αγνώστους (έξι τον αριθμό; ). Διορθώστε με αν παρεξήγησα και πείτε μας πώς την βλέπετε εσείς.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Επί τών προηγουμένων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Φεβ 2007, 21:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Κυρία Zoi,

αυτά όλα τά περί πλατωνικής ιδέας τά ανέφερα μόνο και μόνο, επειδή είχα τό πυθαγόρειο κατά νού.
Τώρα, το τί είναι ο κάθε μαθηματικός, κατά πάσα πιθανότητα δέν το γνωρίζει ούτε και ο ίδιος, εκείνοι που ασχολούνται μαζί του, τού προσάπτουν τα όποια προσωνύμια. Οι εποχές που έψαχνε κανείς συνειδητά ή όχι γιά φιλοσοφικά άλλοθι έχουν περάσει. Αν και είχα διαβάσει κάποτε μία στατιστική μελέτη, η οποία κατεδείκνυε, ότι το 70% τών εκπαιδευτικών μαθηματικών είναι πλατωνιστές.

Ως προς το παράδειγμα τώρα.

Όταν έχουμε πρός λύσιν ένα γραμμικό σύστημα 2 εξισώσεων πρώτου βαθμού, τί μαθαίνουμε στο σχολείο; Ποιά μεθοδολογία ακολουθούμε;

Σκοπός είναι να προσθέσουμε τίς δύο εξισώσεις, ώστε να εξαλειφθεί η μία μεταβλητή. Εάν αυτό δέν επιτυγχάνεται διά αμέσου προσθέσεως, πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη τής μιάς εξ αυτών με τόν ίδιον αριθμό, έτσι ώστε η πρόσθεση κατά μέλη που θα ακολουθήσει, να μάς οδηγήσει σε μία εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή.

Η ερώτηση ήταν :
Ποιά η γεωμετρική σημασία τής πράξεως «πρόσθεση κατά μέλη»; Υπάρχει κατ ‘αρχάς; Τί θα πεί προσθέτουμε ευθείες, εν προκειμένω;

Η απάντηση είναι απλή :
Μέσω τής προσθέσεως τών γραμμικών εξισώσεων περιστρέφουμε τις ευθείες (ή τα επίπεδα, άν έχουμε 3 μεταβλητές και 3 π.χ. εξισώσεις) με σταθερό τό σημείο τομής τους, έτσι ώστε να καταστούν παράλληλες προς τούς άξονες συντεταγμένων (ή τα επίπεδα).
Κυρία Zoi, κατανοώ τήν απογοήτευσή σας, αλλά δεν ισχυρίστηκα, ότι πρόκειται περί ανακαλύψεως «πλατωνικής ιδέας». Ήθελα απλώς να τονίσω, ότι ο «τυφλός» φορμαλισμός καλό είναι να συνοδεύεται και από κάποια γεωμετρική ερμηνεία. Άν μή τί άλλο δεν βλάπτει...

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επί τών προηγουμένων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Φεβ 2007, 22:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ο "φορμαλισμός" δεν αποκρύπτει κάτι, και μάλλον προηγήθηκε ιστορικά της γεωμετρικής σας ερμηνείας (η οποία διδάσκεται νομίζω σε ένα μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας). Θα σας αποχαιρετήσω με δύο παραπομπές: στο πρώτο άρθρο θα δείτε (σελίδα 11 και πέρα) τον συμβολισμό του Gauss:

https://drum.umd.edu/dspace/bitstream/1 ... R-3307.pdf

Το δεύτερο είναι του Euler:

http://www.mathsym.org/euler/e310.pdf

Ζωή


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 00:40 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
Κατ' αρχάς θέλω να σας ευχαριστήσω γι αυτή τη συζήτηση, μαθαίνω πολλά .

Δεύτερο θα ήθελα να ρωτήσω :
Ο Αποκαλυπτικός έγραψε
Παράθεση:
Η ερώτηση ήταν :
Ποιά η γεωμετρική σημασία τής πράξεως «πρόσθεση κατά μέλη»; Υπάρχει κατ ‘αρχάς; Τί θα πεί προσθέτουμε ευθείες, εν προκειμένω;
Η απάντηση είναι απλή :
Μέσω τής προσθέσεως τών γραμμικών εξισώσεων περιστρέφουμε τις ευθείες (ή τα επίπεδα, άν έχουμε 3 μεταβλητές και 3 π.χ. εξισώσεις) με σταθερό τό σημείο τομής τους, έτσι ώστε να καταστούν παράλληλες προς τούς άξονες συντεταγμένων (ή τα επίπεδα).


Η όλη μέθοδος έχει στόχο να ΒΡΟΥΜΕ το σημείο τομής ,άρα τι σημαίνει στρέφω τις ευθείες περί του σημείου τομής τους, αφού δεν το ξέρω ;

Επίσης , Τι σημαίνει αλγεβρικά- αναλυτικά περιστρέφω μια ευθεία;

_________________
΄Εν οίδα ,ότι ουδέν οίδα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Πρός Κυρίαν Zoi
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 16:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Αγαπητή Κυρία Zoi,

ουδόλως διαφωνώ ως προς την ιστορικότητα, η επιλογή τού παραδείγματος ήταν αυθόρμητος και σίγουρα όχι η πιό πετυχημένη.
Επί τή ευκαιρία, επειδή βλέπω έχετε μεγάλην ευχέρεια στο διαδίκτυο, μήπως γνωρίζετε αντίστοιχον σελίδα τού Gauss, γραμμένη από τόν ίδιον, ή έστω στα γερμανικά κατά πιστή μετάφρασιν; Έχω την ιδιορρυθμίαν να θέλω να διαβάζω τά κείμενα στη μητρική γλώσσα τού κάθε μαθηματικού ή δυνατόν δέ από ιδιόγραφα.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Πρός Κύριον Bilstef
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 16:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Αγαπητέ Bilstef,

Τό παράδειγμα που έδωσα είναι υποπροϊόν μιάς άλλης συζήτησης, έξω απο αυτή χάνει προφανώς τό νόημά του.
Ισχυρίστηκα απλά, ότι και ο ποιό απλός φορμαλιστικός μετασχηματισμός υποκρύπτει μιά δράση, η οποία άν γίνει συνειδητή (κι αυτό γίνεται μέσω τής γεωμετρικής κατασκευής ή τουλάχιστον γεωμετρικής ερμηνείας), καθιστά τό πνεύμα γονιμώτερο.
Ο φορμαλισμός προσφέρει εκ τού ασφαλούς στόν μαθηματικό ένα φερέγγυο εργαλείο εργασίας, με τό οποίο εξοικονομεί χρόνο, γιατί δέν χρειάζεται κάθε φορά να ανατρέχει σε γεωμετρικές κατασκευές, για να πιστοποιήσει τήν ορθότητά τους.
Έλα όμως στη θέση ενός «Μπόμπου» π.χ. ο οποίος δεν έχει διαβεί ακόμη όλα αυτά τά μονοπάτια και νιώθει τήν ανάγκη να ανακαλύψει εκ νέου τόν τροχό. Τί θα τού πείς;

Τό ανθρώπινο μυαλό εκκινεί άλλωστε πάντα εμπειρικά και οι πρώτες «αφαιρέσεις» είναι αφαιρέσεις πραγματικών φυσικών εμπειριών

Άς δούμε τό παράδειγμα, που είναι καθαρά αλγεβρικό (αφορά τή λύση τού γραμμικού συστήματος), αναλυτικώτερα και κυττάξτε πόσα πράγματα μπορεί να πεί κανείς σ’έναν ενοχλητικό μπόμπιρα που κάπου θέλει και να σε φέρει σε αμηχανία:

x+y =4 (1)
-x+2y=2 (2)

Εάν φέρουμε τούς άξονες χ και y, τότε η πρώτη εξίσωση παριστά μιά ευθεία διερχομένη τών σημείων (0,4) και (4,0), η δεύτερη τών σημείων (0,1) και (4,3), η δέ λύσις y=2 π.χ. παριστά μιάν ευθεία διερχομένη τού σημείου τομής τών δύο άλλων, τό (2,2).
Αυτά όλα μεταφέρονται στό χαρτί, ο καθένας μπορεί να δεί, ότι οι δύο ευθείες τέμνονται και άν πάρει κανείς τετραγωνισμένο χαρτί, όπως οι μαθητές στο σχολείο, αναγνωρίζει κανείς και το σημείο τομής ως (2,2)

Αλγεβρικά τώρα, η μέθοδος λύσης συνίσταται στο να βρούμε τρόπο να εξαλείψουμε τη μία μεταβλητή. Αυτό το επιτυγχάνουμε, εν προκειμένω, αθροίζοντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη και ως διά μαγείας λαμβάνουμε τήν 3y=6 και τελικώς την y=2 που δι’αντικαταστάσεως οδηγεί και στη x=2
Τώρα εάν είστε συνεπής, με τόν εαυτόν σας πρώτ’ απ’όλα, οφείλετε να δώσετε εξήγηση γι΄αυτή τήν εξαφάνιση τού x. Πού πήγε το x; Εάν ζούσατε σέ άλλες εποχές, σέ άλλους τόπους θα κινδυνεύατε αγαπητέ μου να κατηγορηθείτε γιά μαγεία και οι μάγοι οδηγούνται στη πυρά!
Ευτυχώς περάσανε αυτές οι εποχές, ελπίζουμε αμετάκλητα, και είμαστε και σε θέση να δώσουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις.

Η απάντηση είναι αυτή που έδωσα και στο προηγούμενο μήνυμα.
Με τήν άθροιση τών δύο εξισώσεων και τή σύγχρονο απαλοιφή τής μιάς μεταβλητής, στρέψαμε απλώς κατάλληλα τις ευθείες, ως προς τό σημείο τομής τους, ώστε να καταστούν παράλληλες προς τούς άξονες συντεταγμένων.

Πίσω από τήν άθροιση κατά μέλη κρύβεται και μία Αρχή Ισοδυναμίας. Είναι αυτό που λέμε, ότι το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο προς κάθε άλλο που αποτελείται απο μία απο τις αρχικές εξισώσεις και μία προκύπτουσα απο το άθροισμα τών δύο αρχικών.

Ακόμη και εδώ μπορεί κανείς να δώσει μιά φυσική εξήγηση για τήν ισοδυναμία, για να ικανοποιήσει τον κάθε μπόμπιρα.
Είναι η περίφημη ζυγαριά με τα δύο πιάτα. Εάν ευρίσκεται ήδη σε ισορροπία, θα παραμείνει, όσα βάρη και άν προσθέσουμε, αρκεί να είναι τά ίδια και για τά δύο πιάτα.

Λυπάμαι που σάς ταλαιπώρησα με ένα τόσο γελοίο παράδειγμα, το χρησιμοποίησα απλώς ως μέσο καταδείξεως αυτού που ονόμασα κεκρυμμένη δράση, που συχνά με τη σειρά της υποκρύπτει μιά φυσική Αρχή.


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πρός Κυρίαν Zoi
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 16:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Ο παρακάτω σύνδεσμος θα πρέπει λογικά να σας ευχαριστήσει:

http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/ca ... 38910.html


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Πρός Κυρίαν Zoi
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2007, 23:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Κυρία Zoi,

είμαι όντως κατενθουσιασμένος, πολύ καλός ο σύνδεσμος που μού δώσατε, σάς ευχαριστώ δεόντως.

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 23 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group