forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Σεπ 2017, 19:14

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: ευκλείδιος χωρος και εσωτερικό γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Δεκ 2006, 01:59 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
Σε κάποιο σημείο η Κυρία zoi έγραψε
Παράθεση:
Σήμερα, οι μαθηματικοί που εργάζονται στον "Ευκλείδειο χώρο" (τον βάζω σε εισαγωγικά για να συνεννοούμαστε) εννοούν το εξής πράγμα: τον R^n εφοδιασμένο με μια "Ευκλείδεια δομή" (την βάζω κι αυτήν σε εισαγωγικά για να συνεννοούμαστε): το οποίο σημαίνει, ένα εσωτερικό γινόμενο και την "έννοια απόστασης" που αυτή επάγει στο χώρο.


Θα ήθελα να ρωτήσω:
1) τι "ανάγκη" οδήγησε στο να εισαχθεί το εσωτερικό γινόμενο ;
2) Φυσικώς το εσωτερικό γινόμενο εκφράζει έργο. Γεωμετρικώς τι εκφράζει;

Ευχαριστώ

_________________
΄Εν οίδα ,ότι ουδέν οίδα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Δεκ 2006, 07:34 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Το εσωτερικό γινόμενο είναι χρήσιμο γιατί μας επιτρέπει να ορίζουμε γωνίες μεταξύ δυο διανυσμάτων. Ορίζουμε
<center>[tex]\cos (x,y) = \frac{\left<x, y\right>}{\|x\|\cdot\|y\|}[/tex]</center>
που από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι ποσότητα απόλυτα φραγμένη από το 1. Έτσι, προκύπτει άμεσα η έννοια της καθετότητας ενώ ισχύει και η αρχή του Παραλληλόγραμου και το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Αν και το εσωτερικό γινόμενο επάγει νόρμα στον χώρο που ορίζεται, υπάρχουν διανυσματικοί χώροι με νόρμα που δεν μπορούν να λάβουν δομή εσωτερικού γινομένου (ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο [tex]\mathbb{R}^2[/tex] με την νόρμα-maximum).

Mε το εσωτερικό γινόμενο είναι δυνατόν να δείξεις χρήσιμες ιδιότητες που σε απλούς χώρους είτε είναι πολύ δύσκολο, είτε αδύνατον να το πράξεις. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα στους απειροδιάστατους χώρους. Χαρακτηριστικό είναι ότι στους χώρους Hilbert (μια κατηγορία χώρων με εσωτερικό γινόμενο) το θεώρημα Hahn-Banach -το πιο σημαντικό εργαλείο της συναρτησιακής ανάλυσης- προκύπτει άμεσα.

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Εσωτερικό γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2006, 08:24 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 01 Δεκ 2006, 21:14
Δημοσ.: 2
Το εσωτερικό γινόμενο είναι μία ΔΙΤΙΜΗ, ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ που ικανομποιεί συγκεκριμένες ιδιότητες. Στο σχολείο, αλλά και γενικότερα γίνεται παρανόηση μεταξύ του ΣΥΝΗΘΟΥΣ ή ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ εσωτερικού γινομένου που δεν είναι παρά ένα παράδειγμα εσωτερικού γινομένου και της δίτιμης σχέσης. Γιατί συμβαίνει αυτό;;; Νομίζω ότι είναι το πιο συνηθισμένο παράδειγμα παρανόησης και λάθος γνώσης. :o


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Δεκ 2006, 15:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
Παράθεση:
γίνεται παρανόηση μεταξύ του ΣΥΝΗΘΟΥΣ ή ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ εσωτερικού γινομένου που δεν είναι παρά ένα παράδειγμα εσωτερικού γινομένου και της δίτιμης σχέσης.

dimitrakalisperi μπορείς να δώσεις σε παρακαλώ κάποιες διευκρινίσεις ,γιατί δεν κατάλαβα;

_________________
΄Εν οίδα ,ότι ουδέν οίδα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: ερώτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Αύγ 2007, 12:34 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Αύγ 2007, 14:13
Δημοσ.: 29
Γνωρίζει κανεις την Διαφορά ανύσματος και διανύσματος ;;;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group