forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Οκτ 2017, 22:22

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μάιος 2009, 11:10 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 31 Μάιος 2009, 10:56
Δημοσ.: 2
Καλησπέρα.

Δεν ξέρω αν δημοσιεύω το post στην κατάλληλη ενότητα, οπότε αν κρίνετε ότι πρέπει να μεταφερθεί, so be it :P

Την προηγούμενη εβδομάδα, προσπάθησα να βρω έναν τρόπο να υπολογίσω τα τρίγωνα στο παρακάτω σχήμα:
Εικόνα
(ξεκινάω copy-paste από εδώ)

Ως σημείο αναφοράς θα πάρουμε τον αριθμό των τριγώνων που υπάρχουν στην βάση και κοιτάνε προς τα πάνω. Στην περίπτωσή μας, είναι τα κόκκινα και συνολικά είναι 10.

Ξεκινάμε μετρώντας τα τρίγωνα που κοιτάνε προς τα πάνω. Στο σχήμα βλέπουμε ότι σχηματίζονται και μεγαλύτερα τρίγωνα, όπως για παράδειγμα το μπλε τρίγωνο που έχει βάση 2 τριγώνων και το γαλάζιο που έχει 4. Όλα τα τρίγωνα αυτά τα υπολογίζουμε με τον παρακάτω τρόπο:

Παίρνουμε τον αριθμό των τριγώνων στην βάση και κάνουμε την παρακάτω πρόσθεση:

10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55.
Και συνεχίζουμε:

9 + 8 + 7 + … + 1 = 45
8 + 7 … + 1 = 36
…..
…..
2 + 1 = 3
1 = 1

Τέλος, προσθέτουμε τα αποτελέσματα των προσθέσεων:

55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 220.

Κρατήστε την παραπάνω παράσταση στην RAM σας επειδή θα μας χρειαστεί. Το 220 είναι ο αριθμός των όρθιων τριγώνων που υπάρχουν στο σχήμα. Για να υπολογίσουμε και αυτά που κοιτάνε προς τα κάτω, όπως είναι τα πράσινα και το λαχανί στο σχήμα μας, ανατρέχουμε στην προηγούμενη πρόσθεση που βάλατε στην RAM σας. Αριθμούμε τους αριθμούς από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο.

1ος = 55, 2ος = 45, 3ος = 36 … 10ος = 1

Παίρνουμε τους αριθμούς που βρίσκονται σε άρτια θέση και τους προσθέτουμε μεταξύ τους:

45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 95

Βρήκαμε και τα τρίγωνα που βλέπουν προς τα κάτω. Προσθέτουμε τους 2 αριθμούς μας και έχουμε το τελικό αποτέλεσμα:

220 + 95 = 315 τρίγωνα στο σχήμα.

Ύστερα προσπάθησα να βρω έναν μαθηματικό τύπο για τον παραπάνω υπολογισμό. Σε ένα άλλο forum, ένας χρήστης μου επισήμανε ότι:

1+2+3+...+Ν = Ν*(Ν+1)/2

και ότι το σύνολο των όρθιων τριγώνων ισούται με Ν*(Ν+1)*(Ν+2)/6. Χρησιμοποιώντας αυτό ως σημείο αναφοράς, προσπάθησα να βγάλω και έναν τύπο για τα ανάποδα τρίγωνα, αλλά χωρίς επιτυχία.

Γι' αυτό αποφάσισα να ζητήσω την βοήθειά σας :D

Οποιαδήποτε βοήθεια είναι πολύτιμη.

Ευχαριστώ

Υ.Γ. Δεν είμαι μαθηματικός, με προγραμματισμό ασχολούμαι.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Αύγ 2009, 11:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Δέν ξέρω εάν είναι ακόμη επίκαιρο....αλλά η λύση είναι νομίζω η εξής :

[n(n+2)(2n+1)]/8…αν n άρτιος

[n(n+2)(2n+1)-1]/8...αν n περιττός

Στό σχήμα σου έχεις n=10, άρα έχεις όντως 315 τρίγωνα (1 η βάση τού τριγώνου και 9 οι παράλληλες γραμμές πρός αυτήν, σύνολο 10)

Στό Bielefeld τής Γερμανίας ασχολείται ο Καθηγητής Torsten Sillke μέ τέτοιου είδους προβλήματα, μιά ματιά στή σελίδα του θά βοηθήσει...

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Αύγ 2009, 17:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 27 Σεπ 2007, 18:07
Δημοσ.: 1920
1 δεν ειναι??


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Αύγ 2009, 20:49 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 31 Μάιος 2009, 10:56
Δημοσ.: 2
Apokalyptikos έγραψε:
Δέν ξέρω εάν είναι ακόμη επίκαιρο....αλλά η λύση είναι νομίζω η εξής :

[n(n+2)(2n+1)]/8…αν n άρτιος

[n(n+2)(2n+1)-1]/8...αν n περιττός

Στό σχήμα σου έχεις n=10, άρα έχεις όντως 315 τρίγωνα (1 η βάση τού τριγώνου και 9 οι παράλληλες γραμμές πρός αυτήν, σύνολο 10)

Στό Bielefeld τής Γερμανίας ασχολείται ο Καθηγητής Torsten Sillke μέ τέτοιου είδους προβλήματα, μιά ματιά στή σελίδα του θά βοηθήσει...

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/

Αποκαλυπτικός

Πόσο τσάκαλος είσαι!

Ναι αυτή είναι η λύση επιτέεεεεεεεεελους!

Ευχαριστώ πολύ φίλε :thumbup: :thumbup: :thumbup: :thumbup: :clap:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Ιουν 2012, 19:06 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Ιουν 2012, 19:01
Δημοσ.: 1
13


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group