forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 16 Νοέμ 2018, 14:03

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεώρημα Cantor IR.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Νοέμ 2017, 22:35 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 65
Το θεώρημα του Cantor λέει οτι το δυναμοσύνολο P(A) κάθε συνόλου A δεν μπορεί να είναι ισόμορφο με το σύνολο.Πράγματι αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο X του δυναμοσυνόλου σε μια συνάρτηση fX:A->{0,1} όπου fX(s)=1 αν s ανήκει στο X και 0 διαφορετικά.Έστω μια 1-1 και επί αντιστοιχία g:A->{fX}. Ορίζουμε μια νέα συνάρτηση fo:A->{0,1} ως εξής: fo(x)=0 αν για g(x)=fX ισχύει fX(x)=1 και 0 διαφορετικά. Οπότε η έχουμε την fo:A->{0,1} fo=/= fX για κάθε Χ υποσύνολο του Α άτοπο.
Οπότε το P(IR) δεν είναι ισόμορφο με το IR,το P(P(IR)) με το P(IR) κ.ο.κ.Όμως αυτή η μη ισομορφία ισχύει μεταβατικά? Μπορούμε να τροποποιήσουμε την παραπάνω απόδειξη για να το αποδείξουμε?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεώρημα Cantor IR.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Νοέμ 2017, 00:22 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 318
Τοποθεσια: United States of America
Αν καταλαβα καλα τι εννοεις,ναι ισχυει.Το P(A) εχει αυστηρα μεγαλυτερο πληθαριθμο απο το Α καθως η συναρτηση x->{x} ειναι 1-1.Αρα το P(P(A)) εχει αυστηρα μεγαλυτερο πληθαριθμο απο το P(A),αρα και απο το Α.Με αλλα λογια η σχεση < στα συνολα ειναι πραγματι μεταβατικη.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεώρημα Cantor IR.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Νοέμ 2017, 08:18 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 65
Δεν μιλάμε απαραίτητα για πραγματικούς αριθμούς, το ερώτημα είναι γιατί ισχύ αυτό.Και αν δεν αποδειχθεί μεταβατικότητα γενικά μπορούμε να τροποποιήσουμε την παραπάνω απόδειξη για να την αποδείξουμε στην περίπτωση των IR,P(IR),P(P(IR));


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεώρημα Cantor IR.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Νοέμ 2017, 21:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 318
Τοποθεσια: United States of America
Ας τα παρουμε ενα ενα.Καταρχην το συμπερασμα ισχυει για τυχαιο συνολο Α και οχι μονο για Α=|R.Η περιπτωση Α=|R ειναι ειδικη περιπτωση.Η σχεση |Α|<|Β| στα συνολα σημαινει |Α|<=|Β| και |Α| διαφορο |Β|.Τωρα η σχεση |Α|<=|Β| οριζεται: Υπαρχει συναρτηση f:A -> B η οποια ειναι 1-1.Τωρα ισχυριζομαι οτι η σχεση < ειναι μεταβατικη.Αυτο αποδεικνυεται ως εξης.
Αν |Α|<|Β| και |Β|<|Γ| τοτε υπαρχουν συναρτησεις f:A ->B και g:B -> Γ η οποιες ειναι 1-1 και οι δυο.Τωρα η συναρτηση gof: A->Γ ευκολα αποδεικνυεται οτι ειναι 1-1.Αρα |Α|<=|Γ|.
Ας υποθεσουμε οτι |Α|=|Γ|.Τοτε |Α|<=|Β|<=|Γ|<=|Α|.Αρα |Α|<=|Β| και |Β|<=|Α|.Αρα απο το θεωρημα Schroder Bernstein εχουμε |Α|=|Β| το οποιο ειναι ατοπο επειδη εχουμε υποθεσει οτι |Α|<|Β|.
Αρα εχουμε |Α| διαφορο |Γ|,το οποιο σημαινει οτι |Α|<|Γ|.Αυτη ειναι η αποδειξη της μεταβατικοτητας της σχεσης <.
Προφανως αν εχουμε |Α|<|Β| για δυο συνολα τοτε αυτο συνεπαγεται οτι |Α| διαφορο |Β| εξ'ορισμου.
Ελπιζω να βοηθησα.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group