[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/c4a8cb40394753b1de04aa795ac30605.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/7ccd4df7eb98547b94b243a0d29fb19a.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/e3ea33dc678f195e1a6e9b03882a2599.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4312: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4314: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4315: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4316: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
forum.math.uoa.gr • Προβολή θέματος - Αρχή της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα

forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 19:56

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Αρχή της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Νοέμ 2016, 20:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Καλησπέρα, θα ήθελα τη βοήθειά σας σε ένα ζήτημα. Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία τα ευθύγραμμα τμήματα έχουν ορισμένη τη
σύγκριση και την ισότητα και αποτελούν ένα ολικά διατεταγμένο σύνολο. H αρχή της πληρότητας στα ευθύγραμμα τμήματα
ισχύει ως αξίωμα η ως πρόταση και αν ναι πως αποδεικνύεται; Δηλαδή αν ένα μη κενό σύνολο ευθυγράμμων τμημάτων είναι άνω(αντ.κάτω)φραγμένο υπάρχει supremum(αντ.infimum)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αρχή της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Νοέμ 2016, 12:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Ο Hilbert όρισε το Αξίωμα τής Πληρότητας για να φέρει σε 1-1 αντιστοιχία τα σημεία της ευθείας με τους πραγματικούς αριθμούς.

Το αξιωματικο σύστημα του Hilbert περιλαμβάνει 5 Αξιώματα (με της παραλληλίας). Ένα απο αυτά είναι το Αξίωμα Συνέχειας που περιλαμβάνει 2 υποαξιώματα :

-Για κάθε μήκος α και για κάθε μήκος β υπάρχει ένας φυσικός αριθμός n ετσι ώστε α < n β (αρχιμήδειο αξίωμα)
-Για κάθε ευθεία g και για κάθε μη κενό υποσύνολο [unparseable or potentially dangerous latex formula] του συνόλου των σημείων του g ισχύει :

Εάν υπάρχει ένα [unparseable or potentially dangerous latex formula] με [unparseable or potentially dangerous latex formula] για κάθε [unparseable or potentially dangerous latex formula], τότε υπάρχει και ένα [unparseable or potentially dangerous latex formula] με την εξής ιδιότητα :

[unparseable or potentially dangerous latex formula]


Εδώ βλέπουμε το γνωστό Αξίωμα της Πληρότητας τού συνόλου τών πραγματικών αριθμών, και μάλιστα υπο μορφήν supremum αξιώματος.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αρχή της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Νοέμ 2016, 19:28 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Apokalyptikos κατ'αρχήν σε ευχαριστώ θερμά. Σύμφωνα με αυτό που παραθέτεις το αξίωμα της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα
προκύπτει άμεσα,αλλά το δεύτερο υποαξίωμα συνέχειας Hilbert διατυπώνεται ως εξής:
Τα σημεία μιας ευθείας σχηματίζουν σύστημα, το οποίο, τηρούμενης της γραμμικής διάταξης, του πρώτου αξιώματος ισοδυναμίας και του αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη(δηλαδή το πρώτο υποαξίωμα που αναφέρεις) δεν είναι επεκτάσιμο, δηλ. σ' αυτό το σύστημα σημείων δεν είναι δυνατόν να προστεθεί ένα ακόμα σημείο, έτσι ώστε στο επεκτεταμένο σύστημα που αποτελείται από το αρχικό σύστημα και το συμπληρωματικό σημείο να ικανοποιούνται τα παραπάνω αξιώματα (αξίωμα γραμμικής πληρότητας).
Πως μπορεί να προκύψει από αυτό το αξίωμα, αυτό που παραθέτεις;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αρχή της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Νοέμ 2016, 11:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Τό ίδιο έγραψα και εγώ...σε «άλλη» γλώσσα... ώστε να γίνει εμφανής η ισοδυναμία τής περιγραφής κατά Hilbert με την ιδιότητα supremum που ζήτησες... Άν ζητούσες πχ «Ισχύει η Αρχή του Εγκιβωτισμού κατα Dedekind;»...θα σού έγραφα :
Έστω \varepsilon τυχαία ευθεία και [unparseable or potentially dangerous latex formula] δύο υποσύνολα τής ευθείας ξένα μεταξύ τους, έτσι ώστε [unparseable or potentially dangerous latex formula] και

1.Κανένα σημείο τού S δεν κείται μεταξύ δύο σημείων τού T
2.Κανένα σημείο τού T δεν κείται μεταξύ δύο σημείων τού S

Τότε υπάρχει ακριβώς ένα σημείο [unparseable or potentially dangerous latex formula] ώστε να ισχύει :ή [unparseable or potentially dangerous latex formula] ή [unparseable or potentially dangerous latex formula] ή [unparseable or potentially dangerous latex formula]


Το αξίωμα της Πληρότητας είναι ανεξάρτητο τών υπολοίπων αξιωμάτων....περιέχει πολλά «δεν»...πολλά... «απαγορευτικά»...εκ πρώτης όψεως τουλάχιστον (δεν επιδέχεται επέκτασιν, δεν μπορεί να προστεθεί σημείο).
Ουσιαστικά όμως έρχεται να άρει «απαγορεύσεις» που κρύβονται στα υπόλοιπα αξιώματα. Αν περιοριστούμε δηλαδή στα σημεία και στα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν απο την μονάδα με κατασκευή μέσω κανόνα και διαβήτη τότε ισχύουν όλα τα υπόλοιπα γνωστά αξιώματα. Όμως η Γεωμετρία πάει παραπέρα. Η συνεχής ευθεία δεν περιλαμβάνει μόνο αυτά τα σημεία και αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα, αλλά και άλλα. Το ευθύγραμμο τμήμα μήκους \pi δεν θα είχε τότε έννοια. Το αξίωμα τής Πληρότητας απαιτεί λοιπόν αυτό που κάνουν οι τομές Dedekind στην αριθμητική, το συνεχές.


Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να το γράψουμε και με μιά απλή πρόταση :

Σέ κάθε μή αρνητικό πραγματικό αριθμό \lambda αντιστοιχεί ένα ευθύγραμμο τμήμα AB, έτσι ώστε [unparseable or potentially dangerous latex formula]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αρχή της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Νοέμ 2016, 22:39 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Apokalyptikos δεν νομίζω ότι το ή αρχή τoυ supremum για τα σημεία μιας ευθείας αποδεικνύεται αυστηρά από
το αξίωμα του Hilbert, αλλά αυτό που κατάλαβα είναι το εξής: H αρχή του supremum είναι κάτι που δεχόμαστε
για ολικά διατεταγμένα σύνολα τα οποία δεν επεκτείνονται διατηρώντας τη διάταξη. Για παράδειγμα η αρχή του
sup ισχύει για το R γιατί επεκτείνεται στο C αλλά χωρίς να διατηρεί τη διάταξη , ενώ δεν ισχύει για το Q το οποίο
επεκτείνεται στο R διατηρώντας τη διάταξη. Βέβαια η αρχή του supremum αποδεικνύεται στο R μέσω τομών Dedekind
αλλά τα βιβλία εξακολουθούν να την αναφέρουν ως αξίωμα. Σύμφωνα με το αξίωμα Hilbert τα σημεία της ευθείας
είναι ένα κατάλληλο σύνολο. Πάντως όπως πολύ σωστά αντιλήφθηκες στο τελευταίο μήνυμα σου, αυτό ακριβώς
προσπαθώ να αποδείξω, ότι για κάθε άρρητο υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα που τον έχει για μέτρο. Αυτό αναφέρεται
μόνο στη Γεωμετρία του Κανέλλου όπου ωστόσο η απόδειξη παραλείπεται. Για μια ακόμα φορά σε ευχαριστώ!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αρχή της πληρότητας για ευθύγραμμα τμήματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Νοέμ 2016, 19:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Να μου επιτρέψεις να μην συμφωνήσω...Απο σύγχρονη οπτική γωνία (άλλωστε η ιδιότητα supremum είναι σύγχρονη σχετικά έννοια) είναι κάπως έτσι:

Απο κάθε σύνολο μιάς οικογένειας συνόλων μπορούμε να επιλέξουμε ένα στοιχείο. Αυτό είναι το Αξίωμα της Επιλογής.

Ένα πολύ δυνατό αξίωμα διότι μας δίδει την δυνατότητα μέσα απο απείρως πολλές τυχαίες επιλογές να έχουμε «άμεση απόφαση».

Μάς βεβαιώνει δλδ. ότι υπάρχει μια απεικόνιση [unparseable or potentially dangerous latex formula] με [unparseable or potentially dangerous latex formula]

Το μειονέκτημα: Μάς βεβαιώνει μεν ότι υπάρχει, αλλά δεν μας δίδει τον τρόπο κατασκευής μιάς τέτοιας απεικόνισης. Αυτός είναι και ο λόγος που δεν έτυχε ολικής αποδοχής απο την μαθηματική κοινότητα, ειδικά όταν με το αξίωμα αυτό απεδείχθη η Αρχή της καλής Διάταξης.

Έτσι, οι φυσικοί αριθμοί είναι καλώς διατεταγμένοι (καθε υποσύνολο τών φυσικών περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο) όμως οι πραγματικοί αριθμοί δέν είναι καλώς διατεταγμένοι με την συνήθη σχέση διάταξης. Το διάστημα [unparseable or potentially dangerous latex formula] πχ. δεν περιέχει ελάχιστο στοιχείο.

Η Αρχή της καλής Διάταξης μας βεβαιώνει λοιπόν ότι υπάρχει μια σχέση < στο \mathbb{R} (που δεν είναι υποχρεωτικά η ίδια που απορρέει απο τον συνήθη ορισμό) και επομένως και το \mathbb{R} είναι καλώς διατεταγμένο.

Αν δεν ίσχυε το Αξίωμα της Επιλογής δεν θα ίσχυε και η Αρχή της καλής Διάταξης. Μέ τό αξίωμα τής Επιλογής αποδεικνύεται και το Λήμμα του Zorn που μάς λέει ότι αν σε κάθε ολικώς διατεταγμένο υποσύνολο ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου Μ υπάρχει ένα άνω φράγμα, τότε το Μ περιέχει ένα μέγιστο στοιχείο.

Μπορεί να αποδειχθεί (όχι και τόσο εύκολα) η ισοδυναμία του Αξιώματος της Επιλογής, της Αρχής της καλής Διάταξης και τού Λήμματος του Zorn.



Ως προς το μήκος τώρα...

Με την μέθοδο τού εγκιβωτισμού για ευθύγραμμα τμήματα (ουσιαστικά λόγω τού αρχιμηδείου αξιώματος) μπορούμε και αντιστοιχούμε σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα έναν αριθμό (μέτρησης)

Η διαδικασία είναι γνωστή...δεν την περιγράφω...

Απομένει να διευκρινιστεί άν σε κάθε μη αρνητικό πραγματικό αριθμό \lambda υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα μέτρου \lambda, Με άλλα λόγια υπάρχει για κάθε εγκιβωτισμό ένα σημείο που να κείται επι όλων τών ευθυγράμμων τμημάτων;

Εδώ απαιτείται ένα ακόμα αξίωμα, αυτό τού Cantor:

Για κάθε εγκιβωτισμό ευθυγράμμων τμημάτων υπάρχει (ακριβώς) ένα σημείο που να ανήκει σε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα.

Αυτό το αξίωμα μάς βεβαιώνει ότι η ευθεία δεν έχει «τρύπες». Τα δύο αξιώματα, τού Αρχιμήδη και τού Cantor είναι ουσιαστικά τα αξιώματα συνέχειας.

Έτσι καταλήγουμε στην Πρόταση:

Για κάθε μονάδα μέτρησης
-αντιστοιχεί σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα ένας πραγματικός αριθμός, το μέτρο του
- αντιστοιχεί σε κάθε μή αρνητικό πραγματικό αριθμό \lambda ένα ευθύγραμμο τμήμα μέτρου \lambda


Αυτή η πρόταση και το αξίωμα συνέχειας είναι που μας ανοίγουν την πόρτα τής Αναλυτικής Γεωμετρίας διότι μπορούμε και αντιστοιχούμε μονοσήμαντα τα σημεία τού επιπέδου με ζεύγη αριθμών από το [unparseable or potentially dangerous latex formula]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group