forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 08:48

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Διοφαντική εξίσωση. Η λύση μου είναι προβληματική;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Δεκ 2014, 13:07 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 12:10
Δημοσ.: 1
Στη θεωρία του βιβλίου μαθηματικά κατεύθυνσης της Β' λυκείου σελ 172 λέει ότι (συνοπτικά):
Αν αχ+βχ=γ μια γραμμική διοφαντική εξίσωση με ΜΚΔ(α,β)=δ. Τότε:
-Αν δ|γ έχει ακέραιες τιμές ως λύση, του στυλ (χο,ψο)
-Αν δ=1,τότε έχει άπειρες ακέραιες λύσεις,που δίνονται από τους τύπους: χ=χ0+βτ και ψ=ψο-ατ

Πάω να λύσω αυτή τη εξίσωση:2χ+3ψ=5 . Δηλαδή προσπαθώ να βρω ακέραιες τιμές χ,ψ :
δ=1 , δ|5 (είναι τέλεια διαίρεση) και επίσης δ=1, συνεπώς θα χρησιμοποιήσω τους τύπους.
Χρειάζομαι να βρω τα χ0,ψο επειδή τα ζητάνε οι δυο τύποι παραπάνω. Θα τα 'επινοήσω' :
Γράφω το δ ως γραμμικό συνδυασμό των α=2, β=3:

δ=α(;;;)+β(;;;)=> 1=2(-1)+3(1), ισχύει. Κατόπιν, 5*1=2*5*(-1)+3*5(1) => 5=2(-5)+3(5)
δηλαδή, βρήκα μια μερική λύση της 2χ+3ψ=5. Οπότε, χο=-5 ,ψο=5.
χ=χο+βτ |||||||||| ψ=ψο-ατ
χ=-5+3τ |||||||||| ψ= 5-2τ
Δοκιμές:
τ=1 : χ=-5+3*1 |||||||||| ψ=5-2*1
χ=-2 |||||||||| ψ=3
επαλήθευση: (χ,ψ) τα βάζω στον αρχικό τύπο της εκφώνησης: 2χ+3ψ=5 => 2*(-2)+3*3=5
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ΑΝ ΟΜΩΣ βάλω (χο,ψο)=(-1,1) => (χ,ψ)=(2,-1) και δεν επαληθεύεται η 2χ=3ψ=5 :(

Μα γιατί; Αφού το (χο,ψο)=(-5,5) είναι το (χο,ψο)=(-1,1) επί μια σταθερά αναλογίας λ=5. Δεν παραβίασα την ισορροπία των ανάλογων ποσών: κ=λμ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διοφαντική εξίσωση. Η λύση μου είναι προβληματική;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Δεκ 2014, 17:59 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Μάιος 2012, 18:24
Δημοσ.: 81
Και ποιος είπε ότι δικαιούσαι να πολλαπλασιάζεις με μία σταθερά αναλογίας; Εξηγούμαι:

Ας εξετάσουμε πότε το (x_0 + \beta \tau, y_0 - \alpha \tau) είναι λύση της εξίσωσης \alpha x + \beta y = \gamma.
Θέλουμε να ισχύει \alpha (x_0 + \beta \tau) + \beta (y_0 - \alpha \tau) = \gamma. Ισοδύναμα \alpha x_0 + \beta y_0 + \alpha \beta \tau - \beta \alpha \tau = \gamma, δηλαδή \alpha x_0 + \beta y_0 = \gamma.
Άρα το (x_0 + \beta \tau, y_0 - \alpha \tau) είναι λύση της αρχικής εξίσωσης αν και μόνο αν το (x_0, y_0) είναι λύση (ανεξάρτητα από την τιμή του \delta).

Στο δικό σου παράδειγμα, το (-5, 5) είναι λύση της αρχικής εξίσωσης, ενώ το (-1, 1) δεν είναι αφού 2(-1)+3(1)=1 \neq 5.

Αν δηλαδή έχεις μία λύση (x_0,y_0) δεν έπεται ότι το (\lambda x_0, \lambda y_0) είναι λύση.
Κάτι τέτοιο θα σήμαινε ότι \alpha (\lambda x_0) + \beta (\lambda y_0) = \gamma, ή ισοδύναμα \lambda(\alpha x_0 + \beta y_0) = \gamma, δηλαδή (αφού το (x_0,y_0) είναι λύση), \lambda \gamma = \gamma.
Το τελευταίο ισχύει μόνο όταν \lambda = 1 (κάτι που το ξέραμε ήδη) ή όταν \gamma = 0 (στην οποία περίπτωση η εξίσωσή σου καλείται ομογενής, και δικαιούσαι όχι μόνο να πολλαπλασιάζεις μία λύση επί μία σταθερά, αλλά και να προσθέτεις δύο λύσεις, παραμένοντας μέσα στον χώρο των λύσεων).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group