forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2017, 12:19

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: asinx+bcosx=c
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2014, 16:58 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Οκτ 2014, 16:48
Δημοσ.: 2
xairete!

mporeite na mou peite pws lynw mia eksiswsi tis morfis asinx+bcosx=c me a,b,c pragmatikous arithmous diaforous tou midenos?

poia vimata prepei na akolouthisw?

kserw oti prepei na metasximatisw tin eksiswsi se Rsin(x+q)=c, opou R^2=a^2+b^2 kai tanq=b/a

mporw eukola na vrw to q, alla poio apo ola ta q prepei na lavw ipopsi mou? episis to R pws vriskw an einai thetiko I arnitiko?

h peite mou parakalw ta vimata gia na lysw tetoies eksiswseis

euxaristw!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: asinx+bcosx=c
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2014, 17:47 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Ηρεμία θέλει:

Πρώτα να δούμε το asinx+bcosx = Rsin(x+q) ως ταυτότητα. Δηλαδή R=f(a,b) και q=g(a,b) ώστε για κάθε x , asinx+bcosx = Rsin(x+q).
Γνωστή ταυτότητα: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Άρα, ζητάμε: για κάθε x , asinx+bcosx = R(sin x cos q + cos x sin q) ή asinx-Rsin x cos q= Rcos x sin q -bcosx ή sinx(a-Rcos q)= cos x (Rsin q -b).

Για x=0 προκύπτει: 0=Rsin q -b ή Rsin q =b ή sin q =\frac{b}{R}.
Όμοια, θα προκύψει για x = \frac{\pi}{2} ότι: cos q =\frac{a}{R}.

Έτσι: 1 = (sin^2q +cos^2q)=\frac{a^2}{R^2}+\frac{b^2}{R^2} ή R^2=a^2+b^2

και φυσικά: tanq=\frac{sinq}{cosq} = \frac {\frac{b}{R}}{ \frac{a}{R}} = \frac{b}{a}.

Από αυτή την σχέση μπορείς να επιλέξεις οποιοδήποτε q θέλεις. Μπορείς να δεις, αν θες, ότι για διαφορετικές επιλογές q με tanq_1=tanq_2 θα έχεις: Rsin(x+q_1)=Rsin(x+q_2) ή Rsin(x+q_1)=-Rsin(x+q_2).

Ανάλογα επιλέγεις και το R: Έστω ότι έχεις διαλέξει το q, τότε επιλέγεις το R (ουσιαστικά το πρόσημό του) από την αρχική σχέση για x=0, δηλαδή: Rsin q =b.

Τέλος, λύνεις την Rsin(x+q)=c.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: asinx+bcosx=c
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2014, 18:12 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Οκτ 2014, 16:48
Δημοσ.: 2
όχι, δεν θέλω να αποδείξω ότι tanq=b/a και R^2 = a^2 + b^2, αυτά δίνονται ως γνωστά σαν τριγωνομετρική ταυτότητα. Είναι απαραίτητο να βρω τα sinq και cosq για να τη λύσω? Θα ήθελα αν γίνεται να τα παρακάμψω και να χρησιμοποιήσω μόνο τα tanq=b/a και R^2 = a^2 + b^2

επομένως στο πρώτο βήμα, από το b/a βρίσκω το tanq και συνεπώς όλα τα q που είναι της μορφής k180+q (με το q να είναι θετικό ή αρνητικό, σωστά?)

παίρνω λοιπόν, όπως λες, όποιο q από αυτά θέλω

μετά λες ανάλογα επιλέγω και το πρόσημο του R (την απόλυτη τιμή του την ξέρω), αλλά πώς το κάνω αυτό, χωρίς να καταφύγω στο Rsinq=b? γιατί το Rsinq=b δεν το δίνει (ο εξεταστής ας πούμε) σαν τριγωνομετρική ταυτότητα!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: asinx+bcosx=c
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Οκτ 2014, 21:50 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Μα μια αντικατάσταση είναι! Θέτεις x=0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group