forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 03:16

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Αντιμετάθεση πράξεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Νοέμ 2013, 16:58 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2013, 16:32
Δημοσ.: 1
Αναρωτιόμουν εάν η συνέχεια μια συνάρτησης f:A→R ,A⊆R (έστω ότι η συνέχεια ισχύει στο πεδίο ορισμού της) είναι ικανή να επιτρέψει μια αντιμετάθεση πράξεων ως εξής:

limf[g(x)]=f[limg(x)], όταν x→ξ, όπου g:Β→Α, A⊆R και το ξ ανήκει στο Β.

Έχω υπόψιν ότι αυτό ισχύει για g=x ή ακόμα πιο γενικά οταν η g είναι και αυτή συνεχής.
Ρωτάω για την περίπτωση όπου δεν δηλώνεται κάτι τόσο συγκεκριμένο για την g.

Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αντιμετάθεση πράξεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2013, 01:03 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Μάιος 2012, 18:24
Δημοσ.: 81
Έστω \xi σημείο συσσώρευσης του B. Αν υπάρχει το \lim_{x \to \xi} g(x)=L και επιπλέον L \in A και η f είναι συνεχής στο L τότε ισχύει \lim_{x \to \xi} f(g(x)) = f(L).
Μπορείς να το δεις συνδυάζοντας τον ε-δ ορισμό συνέχειας της f στο L και ε-δ τον ορισμό του ορίου της g στο \xi.

Αν L\not \in A τότε δεν έχει νόημα το δεύτερο μέλος αυτού που γράφεις (εκτός αν L=\pm \infty και το A δεν είναι άνω/κάτω φραγμένο αντίστοιχα και χρησιμοποιήσεις τη γραφή f(\pm\infty):=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) οπότε ισχύει αυτό που γράφεις.)

Αν δεν υπάρχει το L τότε το πρώτο μέλος μπορεί να εξακολουθεί να βγάζει νόημα. Π.χ. θα μπορούσες να έχεις A=\mathbb{R}, f(x)=x^2 και η g να παίρνει ακριβώς τις τιμές \pm 1 σε κάθε αρκούντως μικρή γειτονιά του \xi. Σε αυτήν την περίπτωση το πρώτο μέλος θα ήταν ίσο με 1 ενώ το δεύτερο μέλος δε θα οριζόταν.

Γενικότερα, έστω ότι δεν ήξερες ότι η f είναι συνεχής αλλά ήξερες τα ακόλουθα:
  • το L υπάρχει και είναι σημείο συσσώρευσης του A
  • υπάρχει το \lim_{y \to L}f(y)
  • σε κάποια γειτονιά του \xi (με εξαίρεση ίσως το ίδιο το \xi) η g δεν παίρνει την τιμή L
Τότε ισχύει \lim_{x \to \xi}f(g(x)) = \lim_{y \to L}f(y).
Σαν άσκηση προσπάθησε να βρεις παράδειγμα στο οποίο δεν ισχύει η τρίτη συνθήκη της υπόθεσης και χαλάει το συμπέρασμα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group