forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 19:52

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 24 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Νοέμ 2013, 16:16 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Δύο ζητήματα που μου ανέκυψαν από άλλες αφορμές.Με απασχολούν αλλά δεν μπορώ να τα λύσω.Νομίζω ότι αποτελούν ενδιαφέροντα θέματα για τους υποψήφιους λύτες.Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον ασχοληθεί!
Ζήτημα 1ο Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πραγματική συνάρτηση μιας μεταβλητής η οποία σε κάθε σημείο ενός διαστήματος έχει μηδενικό όριο αλλά μη μηδενική τιμή
Ζήτημα 2ο Να αποδειχθεί ότι μια πραγματική συνάρτηση μίας μεταβλητής που είναι γνησίως κυρτή (ή γνησίως κοίλη) δεν έχει κοινό σημείο με την ασύμπτωτή της


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Νοέμ 2013, 17:59 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2013, 14:10
Δημοσ.: 55
To πρώτο σου ερώτημα δεν βγάζει νόημα. Τι εννοείς σε κάθε σημείο ενός διαστήματος να έχει μηδενικό όριο;

_________________
The difficulty in philosophy is to say no more than we know.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 05:49 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Εννοώ ότι σε κάθε σημείο χ0 ενός διαστήματος ισχύει ότι το όριο της συνάρτησης όταν το χ τείνει στο χ0 είναι ίσο με μηδέν


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 11:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 420
Για το πρώτο, θεώρησε ένα κλειστό υποδιάστημα A του διαστήματος, και θέσε F_n=\left\{y\in A\big||f(y)|>\frac{1}{n}\right\}, για n\in\mathbb N, και K_n=\overline{F_n}. Η f δεν είναι πουθενά ίση με 0, άρα \bigcup_{n\in\mathbb N}F_n=A, επομένως \bigcup_{n\in\mathbb N}K_n=A. Tα K_n είναι κλειστά και το A είναι συμπαγής, άρα πλήρης χώρος, επομένως από το θεώρημα του Baire υπάρχει n_0 τέτοιο ώστε το εσωτερικό του K_n να μην είναι το κενό σύνολο. Άρα, υπάρχει x_0\in A και \varepsilon>0 τέτοιο ώστε, αν |x_0-y|<\varepsilon, τότε y\in K_{n_0}. Τότε, το όριο της f στο x_0 δεν είναι 0: αν ήταν, τότε υπάρχει \varepsilon_1>0 τέτοιο ώστε, για κάθε y με |x_0-y|<\varepsilon_1, ισχύει ότι |f(y)|<\frac{1}{2n_0}. Τότε, αν |x_0-y|<\varepsilon_1, \varepsilon, ισχύει ότι |f(y)|<\frac{1}{2n_0}. Όμως, κοντά σε τέτοια y υπάρχουν σημεία z του F_{n_0} για τα οποία ισχύει ότι |f(z)|>\frac{1}{n_0}. Αν πάρουμε y αρκετά κοντά στο x_0 τα z αρκετά κοντά στο y, μπορούμε να έχουμε |x_0-z|<\varepsilon_1, άρα |f(z)|<\frac{1}{2n_0} και αυτό είναι άτοπο.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 11:45 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
philser έγραψε:
Δύο ζητήματα που μου ανέκυψαν από άλλες αφορμές.Με απασχολούν αλλά δεν μπορώ να τα λύσω.Νομίζω ότι αποτελούν ενδιαφέροντα θέματα για τους υποψήφιους λύτες.Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον ασχοληθεί!
Ζήτημα 1ο Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πραγματική συνάρτηση μιας μεταβλητής η οποία σε κάθε σημείο ενός διαστήματος έχει μηδενικό όριο αλλά μη μηδενική τιμή
Ζήτημα 2ο Να αποδειχθεί ότι μια πραγματική συνάρτηση μίας μεταβλητής που είναι γνησίως κυρτή (ή γνησίως κοίλη) δεν έχει κοινό σημείο με την ασύμπτωτή της

Για το 1:

Η f:[0,1]\rightarrow [0,1] με f(x) = \left\{
\begin{array}{ c l }
1,   &    x=0  \\
0,   &    x\in(0,1]
\end{array}
\right. δεν πληροί τα ζητούμενα?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 12:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 380
Για το 1ο: Έστω συνάρτηση f με την ιδιότητα ότι σε κάθε σημείο του διαστήματος I η f έχει μηδενικό όριο. Θα δείξουμε ότι f=0 παντού στο I. Έστω x_0 τυχόν σημείο του I. Επιλέγουμε ακολουθία (x_n)_{n\in \mathbb{N}} με x_n=x_0, \forall n \in \mathbb{N}. Προφανώς x_n\rightarrow x_0, επομένως από την υπόθεσή μας θα πρέπει f(x_n)\rightarrow 0. Όμως f(x_n)=f(x_0), \forall n \in \mathbb{N}, δηλαδή f(x_0)=0, \forall x_0 \in I.

Altair, η συνάρτηση που έγραψες δεν πληροί την υπόθεση στο x=0.

_________________
Infinite possibilities and all he can do is whine.
You can do anything, you lucky bastard, you're alive! What's a little pain compared to that?


Τελευταία επεξεργασία απο 1/2rizax την 13 Νοέμ 2013, 12:17, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 12:16 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
1/2rizax έγραψε:
Για το 1ο: Έστω I το εν λόγω διάστημα και x_0 τυχόν σημείο του I. Επιλέγουμε ακολουθία (x_n)_{n\in \mathbb{N}} με x_n=x_0, \forall n \in \mathbb{N}. Προφανώς x_n\rightarrow x_0, επομένως από την υπόθεσή σου θα πρέπει f(x_n)\rightarrow 0. Όμως f(x_n)=f(x_0), \forall n \in \mathbb{N}, δηλαδή f(x_0)=0, \forall x_0 \in I.

Altair, η συνάρτηση που έγραψες δεν πληροί την υπόθεση στο x=0.

Αφού το όριο της στο 0 είναι 0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 12:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 380
Στο μηδέν το όριο της f δεν υπάρχει: Αν πάρεις την ακολουθία \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in \mathbb{N}, τότε \frac{1}{n}\rightarrow 0 και f\left(\frac{1}{n}\right)=0 \rightarrow 0, ενώ για την ακολουθία (0)_{n\in \mathbb{N}}, f(0)\rightarrow 1 \neq 0.

Το διάστημά σου είναι το [0,1] και όχι το (0,1], οπότε η σταθερή ακολουθία που είναι ίση με το μηδέν είναι και αυτή μέσα στο παιχνίδι.

_________________
Infinite possibilities and all he can do is whine.
You can do anything, you lucky bastard, you're alive! What's a little pain compared to that?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 12:24 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Σωστά!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 13:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 420
1/2rizax έγραψε:
Για το 1ο: Έστω συνάρτηση f με την ιδιότητα ότι σε κάθε σημείο του διαστήματος I η f έχει μηδενικό όριο. Θα δείξουμε ότι f=0 παντού στο I. Έστω x_0 τυχόν σημείο του I. Επιλέγουμε ακολουθία (x_n)_{n\in \mathbb{N}} με x_n=x_0, \forall n \in \mathbb{N}. Προφανώς x_n\rightarrow x_0, επομένως από την υπόθεσή μας θα πρέπει f(x_n)\rightarrow 0. Όμως f(x_n)=f(x_0), \forall n \in \mathbb{N}, δηλαδή f(x_0)=0, \forall x_0 \in I.


Αυτό δεν είναι σωστό. Η αρχή της μεταφοράς στην περίπτωση των ορίων αφορά ακολουθίες (x_n) που ναι μεν συγκλίνουν στο x_0, αλλά x_n\neq x_0 για κάθε n\in\mathbb N.

Επιπλέον, το πρόβλημα με το παράδειγμα του Altair είναι ότι η συνάρτηση είναι μηδενική σε όλο το (0,1], ενώ θέλουμε συναρτήσεις οι οποίες να είναι μη μηδενικές παντού.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 18:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 06 Φεβ 2009, 15:51
Δημοσ.: 1285
Τοποθεσια: Odin's Valhalla
1/2rizax έγραψε:
Στο μηδέν το όριο της f δεν υπάρχει: Αν πάρεις την ακολουθία \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in \mathbb{N}, τότε \frac{1}{n}\rightarrow 0 και f\left(\frac{1}{n}\right)=0 \rightarrow 0, ενώ για την ακολουθία (0)_{n\in \mathbb{N}}, f(0)\rightarrow 1 \neq 0.

Το διάστημά σου είναι το [0,1] και όχι το (0,1], οπότε η σταθερή ακολουθία που είναι ίση με το μηδέν είναι και αυτή μέσα στο παιχνίδι.


Αυτο δεν ειναι καθολου σωστο!

Για την αποδειξη της ΜΗ-ΥΠΑΡΞΗΣ οριου,δεν μπορεις να επιλεγεις ακολουθια που ειναι ΤΑΥΤΟΤΙΚΑ ιση με το σημειο σου!Στην αρχη της μεταφορας ΓΙΑ ΟΡΙΑ,η ισοδυναμια λεει ''...αν και μονο αν για καθε ακολουθια Xn με Xn ΔΙΑΦΟΡΟ του Χο ΓΙΑ ΚΑΘΕ n,ισχυει οτι F(Xn) συγκλινει στο t'' !! Αυτο οφειλεται στο γεγονος οτι στον ε-δ ορισμο του οριου,αν προσεξεις στην πρωτη ανισοτητα λεει ''0<απολ.(Χ-Χο)<δ'',κι οχι ΣΚΕΤΟ ''απολ.(Χ-Χο)<δ'',οπως στην συνεχεια.Ο λογος που δεν μας ''καλυπτει'' η συναρτηση του Altair ειναι αυτος που ειπε ο detnvvp.

_________________
As I ride with the Valkyries through the mountains...



Spoiler:
Εικόνα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 18:31 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
detnvvp έγραψε:
Για το πρώτο, θεώρησε ένα κλειστό υποδιάστημα A του διαστήματος, και θέσε F_n=\left\{y\in A\big||f(y)|>\frac{1}{n}\right\}, για n\in\mathbb N, και K_n=\overline{F_n}. Η f δεν είναι πουθενά ίση με 0, άρα \bigcup_{n\in\mathbb N}F_n=A, επομένως \bigcup_{n\in\mathbb N}K_n=A. Tα K_n είναι κλειστά και το A είναι συμπαγής, άρα πλήρης χώρος, επομένως από το θεώρημα του Baire υπάρχει n_0 τέτοιο ώστε το εσωτερικό του K_n να μην είναι το κενό σύνολο. Άρα, υπάρχει x_0\in A και \varepsilon>0 τέτοιο ώστε, αν |x_0-y|<\varepsilon, τότε y\in K_{n_0}. Τότε, το όριο της f στο x_0 δεν είναι 0: αν ήταν, τότε υπάρχει \varepsilon_1>0 τέτοιο ώστε, για κάθε y με |x_0-y|<\varepsilon_1, ισχύει ότι |f(y)|<\frac{1}{2n_0}. Τότε, αν |x_0-y|<\varepsilon_1, \varepsilon, ισχύει ότι |f(y)|<\frac{1}{2n_0}. Όμως, κοντά σε τέτοια y υπάρχουν σημεία z του F_{n_0} για τα οποία ισχύει ότι |f(z)|>\frac{1}{n_0}. Αν πάρουμε y αρκετά κοντά στο x_0 τα z αρκετά κοντά στο y, μπορούμε να έχουμε |x_0-z|<\varepsilon_1, άρα |f(z)|<\frac{1}{2n_0} και αυτό είναι άτοπο.

Δεν κατάλαβα καλά την διατύπωση.
Η παραπάνω απόδειξη είναι σωστή.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 18:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 06 Φεβ 2009, 15:51
Δημοσ.: 1285
Τοποθεσια: Odin's Valhalla
detnvvp έγραψε:
1/2rizax έγραψε:
Για το 1ο: Έστω συνάρτηση f με την ιδιότητα ότι σε κάθε σημείο του διαστήματος I η f έχει μηδενικό όριο. Θα δείξουμε ότι f=0 παντού στο I. Έστω x_0 τυχόν σημείο του I. Επιλέγουμε ακολουθία (x_n)_{n\in \mathbb{N}} με x_n=x_0, \forall n \in \mathbb{N}. Προφανώς x_n\rightarrow x_0, επομένως από την υπόθεσή μας θα πρέπει f(x_n)\rightarrow 0. Όμως f(x_n)=f(x_0), \forall n \in \mathbb{N}, δηλαδή f(x_0)=0, \forall x_0 \in I.


Αυτό δεν είναι σωστό. Η αρχή της μεταφοράς στην περίπτωση των ορίων αφορά ακολουθίες (x_n) που ναι μεν συγκλίνουν στο x_0, αλλά x_n\neq x_0 για κάθε n\in\mathbb N.

Επιπλέον, το πρόβλημα με το παράδειγμα του Altair είναι ότι η συνάρτηση είναι μηδενική σε όλο το (0,1], ενώ θέλουμε συναρτήσεις οι οποίες να είναι μη μηδενικές παντού.


Αυτο που εγραψε ο 1/2rizax,ΕΙΝΑΙ σωστο.
Δεν εφαρμοσε την αρχη της μεταφορας.Διαλεξε την ακολουθια Χn=Xo για καθε n,η οποια συγκλινει στο Χο,και αρα απο την υποθεση της ασκησης(φανταζομαι αυτο ''εννοει'' η ασκηση),αφου η Χn συγκλινει στο Χο,τοτε θα επρεπε τα αντιστοιχα F(Xn) να συγκλινουν στο 0,και αρα αφου F(Xn)=F(Xο),επεται οτι F(Xο)=0.

_________________
As I ride with the Valkyries through the mountains...



Spoiler:
Εικόνα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2013, 18:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 06 Φεβ 2009, 15:51
Δημοσ.: 1285
Τοποθεσια: Odin's Valhalla
SUMMONING έγραψε:
detnvvp έγραψε:
1/2rizax έγραψε:
Για το 1ο: Έστω συνάρτηση f με την ιδιότητα ότι σε κάθε σημείο του διαστήματος I η f έχει μηδενικό όριο. Θα δείξουμε ότι f=0 παντού στο I. Έστω x_0 τυχόν σημείο του I. Επιλέγουμε ακολουθία (x_n)_{n\in \mathbb{N}} με x_n=x_0, \forall n \in \mathbb{N}. Προφανώς x_n\rightarrow x_0, επομένως από την υπόθεσή μας θα πρέπει f(x_n)\rightarrow 0. Όμως f(x_n)=f(x_0), \forall n \in \mathbb{N}, δηλαδή f(x_0)=0, \forall x_0 \in I.


Αυτό δεν είναι σωστό. Η αρχή της μεταφοράς στην περίπτωση των ορίων αφορά ακολουθίες (x_n) που ναι μεν συγκλίνουν στο x_0, αλλά x_n\neq x_0 για κάθε n\in\mathbb N.

Επιπλέον, το πρόβλημα με το παράδειγμα του Altair είναι ότι η συνάρτηση είναι μηδενική σε όλο το (0,1], ενώ θέλουμε συναρτήσεις οι οποίες να είναι μη μηδενικές παντού.


Αυτο που εγραψε ο 1/2rizax,ΕΙΝΑΙ σωστο.
Δεν εφαρμοσε την αρχη της μεταφορας.Διαλεξε την ακολουθια Χn=Xo για καθε n,η οποια συγκλινει στο Χο,και αρα απο την υποθεση της ασκησης(φανταζομαι αυτο ''εννοει'' η ασκηση),αφου η Χn συγκλινει στο Χο,τοτε θα επρεπε τα αντιστοιχα F(Xn) να συγκλινουν στο 0,και αρα αφου F(Xn)=F(Xο),επεται οτι F(Xο)=0.


Detnvvp,εχεις δικιο,δεν ειχα κοιταξει την δευτερη διευκρινιση του philser.Νομιζα οτι ελεγε ''οποτεδηποτε μια Xn συγκλινει στο Xο,επεται οτι F(Xn) συγκλινουν στο 0'',ενω στην ουσια λεει οτι το ΟΡΙΟ της F(χ) καθως το Χ παει στο Χο ειναι ισο με 0,για ολα τα σημεια Χο.Αρα εχεις δικιο,δεν ειναι σωστη η λυση του 2rizax.

_________________
As I ride with the Valkyries through the mountains...



Spoiler:
Εικόνα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ενδιαφέροντα ζητήματα Απειροστικού Λογισμού
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Νοέμ 2013, 09:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 420
philser έγραψε:
Ζήτημα 2ο Να αποδειχθεί ότι μια πραγματική συνάρτηση μίας μεταβλητής που είναι γνησίως κυρτή (ή γνησίως κοίλη) δεν έχει κοινό σημείο με την ασύμπτωτή της


Για αυτό, ο ορισμός της ασύμπτωτης στο άπειρο είναι μία ευθεία y=ax+b τέτοια ώστε \lim_{x\to\infty}(f(x)-ax-b)=0; Αν ναι, τότε υπέθεσε ότι η f είναι κυρτή, και η y=ax+b είναι ασύμπτωτη της f. Θέσε g(x)=f(x)-ax-b, τότε μπορούμε να δούμε ότι η g είναι γνησίως κυρτή, έχει όριο 0 στο άπειρο, και έχει μία ρίζα x_0 στο \mathbb R.

Θέσε t_x=\frac{1}{x-x_0}, για x>2x_0. Τότε t_x\in(0,1), και, απο την κυρτότητα της g,

g(t_xx+(1-t_x)x_0)< t_xg(x)+(1-t_x)g(x_0)=t_xg(x)\Rightarrow g(x_0+1)<\frac{1}{x-x_0}g(x).

Όμως, η g έχει όριο 0 στο άπειρο, άρα, αφήνοντας το x\to\infty, έχουμε ότι g(x_0+1)\leq 0. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

i) Aν g(x_0+1)=0, τότε 0=g(x_0+1)=g\left(\frac{1}{2}x_0+\frac{1}{2}(x_0+2)\right)<\frac{1}{2}(g(x_0)+g(x_0+2))=\frac{g(x_0+2)}{2}, άρα g(x_0+2)>0. Επομένως, αν n\in\mathbb N με n>2, θέτουμε r_n=\frac{1}{n}. Tότε, g(x_0+2)=g\left((1-r_n)(x_0+1)+r_n(x_0+n+1)\right)<\left(1-r_n)g(x_0+1)+r_ng(x_0+n+1)=r_ng(x_0+n+1). Επομένως, g(x_0+n+1)>ng(x_0+2), και αφήνοντας το n\to\infty, αφού g(x_0+2)>0, έχουμε ότι το όριο της g στο άπειρο δεν μπορεί να είναι ίσο με 0, άτοπο.

ii) Αν g(x_0+1)<0: σταθεροποιούμε n\in \mathbb N, και θέτουμε s_x=\frac{n}{x-x_0-1}, για x>x_0+2n+1. Τότε s_x\in(0,1) και, από την κυρτότητα της g,

g(s_xx+(1-s_x)(x_0+1))<s_xg(x)+(1-s_x)g(x_0+1)\Rightarrow g(x_0+n+1)<s_xg(x)+(1-s_x)g(x_0+1).

Όμως, το s_x πάει στο 0 όταν το x\to\infty, άρα, παίρνοντας όρια στο άπειρο, g(x_0+n+1)\leq g(x_0+1) για κάθε n\in\mathbb N. Όμως, g(x_0+1)<0, άρα η g δεν μπορεί να έχει όριο 0 στο άπειρο, άτοπο. Άρα η f δεν έχει κοινό σημείο με την ασύμπτωτή της.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Τελευταία επεξεργασία απο detnvvp την 15 Νοέμ 2013, 08:35, επεξεργάστηκε 2 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 24 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group