forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 03:39

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Knaster–Tarski theorem
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2013, 14:33 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 11 Σεπ 2013, 18:30
Δημοσ.: 11
Οποιοδήποτε υλικό γ αυτό το θεώρημα θα μου είναι πολύ χρήσιμο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Knaster–Tarski theorem
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2013, 15:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 31 Αύγ 2011, 23:02
Δημοσ.: 74
Καλησπέρα, το θεώρημα έχει φάση. Ελέγξτε και την ορθότητα
Θεώρημα σταθερού σημείου Knaster-Tarski
Έστω (X,\leq) μερικώς διατεταγμένο σύνολο με την ιδιότητα ότι για κάθε υποσύνολο Aτου X υπάρχει το supremum του A στο X. Τότε κάθε ενδοαπεικόνιση F:X\rightarrow X η οποία διατηρεί τη διάταξη έχει σταθερό σημείο.

Απόδειξη: Έστω Z:=\{x\in X\ /\ x\leq F(x)\}\subseteq X και x_{0}:=\bigvee Z το supremum του Z στο X.
Είναι
x\in Z\Rightarrow x\in X και x\leq F(x)\Rightarrow (\forall x\in Z)\ \ x\leq\bigvee\limits_{x\in Z}F(x)
Άρα το \bigvee\limits_{x\in Z}F(x) είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου Z. Επομένως x_{0}\leq\bigvee\limits_{x\in Z}F(x)
Επίσης, x\in Z\Rightarrow x\leq F(x)\Rightarrow F(x)\leq F(F(x))\Rightarrow F(x)\in Z.
Συμπεραίνουμε ότι, (\forall x\in Z)\ \ F(x)\leq x_{0}\leq\bigvee\limits_{x\in Z}F(x)\stackrel{!}{\leq} F(x_{0})
(!) : (\forall x\in Z)\ \ x\leq x_{0}\Rightarrow F(x)\leq F(x_{0})\Rightarrow\bigvee\limits_{x\in Z}F(x)\leq F(x_{0}).
Άρα δείξαμε ότι x_{0}\leq F(x_{0}). Τέλος, αφου η F διατηρεί τη διάταξη παίρνουμε F(x_{0})\leq F(F(x_{0}))\Rightarrow F(x_{0})\in Z\Rightarrow F(x_{0})\leq x_{0}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Knaster–Tarski theorem
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2013, 16:02 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 31 Αύγ 2011, 23:02
Δημοσ.: 74
Επίσης, κάτι που δεν ξέρω σε πιο βιβλίο υπάρχει αλλά το διδάχτηκα πριν απο 2 χρόνια είναι ότι το θεώρημα Schroeder-Bernstein μπορεί να αποδειχτέι άμεσα απο το Knaster-Tarski. Παραθέτω την απόδειξη.

Θεώρημα Schroeder-Bernstein Εστω A, B με κενά σύνολα και f:A\rightarrow B ,g:B\rightarrow A ένα προς ένα συναρτήσεις. Τότε υπάρχει συνάρτηση h:A\rightarrow B η οποία είναι 1-1 και επί.

Απόδειξη Οι f,g επάγουν συναρτήσεις f[\cdot]:P(A)\rightarrow P(B), g[\cdot]:P(B)\rightarrow P(A), οι οποίες διατηρούν τη διάταξη ενώ επίσης ορίζονται και οι συναρτήσεις (\cdot)^{c}:P(A)\rightarrow P(A), (\cdot)^{c}:P(B)\rightarrow P(B), οι οποίες αντιστρέφουν τη διάταξη.
Θεωρούμε τη σύνθεση
P(A)\xrightarrow{(\cdot)^{c}}P(A)\xrightarrow{f[\cdot]}P(B)\xrightarrow{(\cdot)^{c}}P(B)\xrightarrow{g[\cdot]}P(A)
Αυτή διατηρεί τη διάταξη επομένως, απο το θεώρημα Knaster-Tarski υπάρχει A_{0}\in P(A) ώστε g[(f[A_{0}^{c}])^{c}]=A_{0}
Ορίζουμε h:A\rightarrow B με τύπο h(x)=\left\{
\begin{tabular}{l}
 f(x) \ \ \ , x\in A_{0}^{c}=X\smallsetminus A_{0} \\
 g^{-1}(x), x\in A_{0} \\
\end{tabular}\right\\
Μπορείτε να ελέγξετε ότι η h είναι καλώς ορισμένη, ένα προς ένα και επί.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group