forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Οκτ 2017, 13:33

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2013, 20:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 28 Οκτ 2011, 19:56
Δημοσ.: 45
Ειναι η τετραγωνικη ριζα ενος υπερβατικου αριθμου, υπερβατικος αριθμος. Π.χ. η τετραγωνική ρίζα του π ???


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2013, 21:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3625
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς tsimpidas: Δες τον βαθμό επέκτασης [Q( \sqrt{\pi} ):Q]

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2013, 21:35 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 28 Οκτ 2011, 19:56
Δημοσ.: 45
Κ. Ραπτη ευχαριστω, αλλα δεν εχω ιδεα τι ειναι ο βαθμος επεκτασης ...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2013, 21:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3625
Τοποθεσια: Αθήνα
Πάρε το υπόσωμα A του \mathbb{R}που παράγεται από το Q και το \sqrt{\pi} Το υπόσωμα αυτό είναι ένας διανυσματικός χώρος επί των ρητών. Σκέψου για την διάσταση και γράψε το

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2013, 22:03 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 28 Οκτ 2011, 19:56
Δημοσ.: 45
Δε μπορω να πω οτι καταλαβα το νοημα αυτου που μου ειπατε. Παντως, πως σχετιζεται η διασταση του δεδομενου χωρου με την υπερβατικοτητα ή μη της τετραγωνικης ριζας του π ...?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Φεβ 2013, 22:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3625
Τοποθεσια: Αθήνα
Πέρασε μία φορά από το γραφείο να σου εξηγήσω

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Φεβ 2013, 02:39 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Μαρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 302
Τοποθεσια: Κερατσίνι
Δες εδώγια υπερβατικούς και θα πάρεις μία ιδέα που «κολλάνε» οι επεκτάσεις σωμάτων που ανέφερε ο κ.Ράπτης.

_________________
Ζήσε τα μαθηματικά σου!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Φεβ 2013, 02:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το \sqrt{\pi} είναι υπερβατικός αριθμός χρησιμοποιώντας αποκλειστικά τον ορισμό:

"O αριθμός \sqrt{\pi} λέγεται υπερβατικός εάν για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο f(x) με συντελεστές από το \mathbb{Q}, ισχύει f(\sqrt{\pi})\neq 0 ".

Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι υπάρχει κάποιο πολυώνυμο f(x)\in\mathbb{Q}[x], τέτοιο ώστε f(\sqrt{\pi})=0. Εάν γράψουμε

f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{n}x^n, τότε f(\sqrt{\pi})=0\Rightarrow a_0+a_1\sqrt{\pi}+\ldots+a_{n}(\sqrt{\pi})^n=0.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι n=2k (μπορείς να επαναλάβεις βήμα βήμα την απόδειξη για περιττό), οπότε έχουμε

0=a_0+a_1\sqrt{\pi}+\ldots+a_{n}(\sqrt{\pi})^n=a_0+a_1\pi^{\frac{1}{2}}+\ldots+a_{n}\pi^{\frac{n}{2}

}=a_0+a_1\pi^{\frac{1}{2}}+a_2\pi+\ldots+a_{2k-1}\pi^{\frac{2k-1}{2}}+a_{2k}\pi^{k}=

=(a_0+a_2\pi+\ldots +a_{2k-2}\pi^{k-1}+a_{2k}\pi^k)+(a_1\pi^{\frac{1}{2}}+a_3\pi^{\frac{3}{2}}+\ldots+ a_{2k-1}\pi^{\frac{2k-1}{2}})

=(a_0+a_2\pi+\ldots +a_{2k-2}\pi^{k-1}+a_{2k}\pi^k)+\pi^{\frac{1}{2}}(a_1+a_3\pi+\ldots+ a_{2k-1}\pi^{k-1}).

Άρα μπορούμε να ορίσουμε g(x)=a_0+a_2x+\ldots +a_{2k-2}x^{k-1}+a_{2k}x^k και h(x)=a_1+a_3x+\ldots+ a_{2k-1}x^{k-1} τα οποία είναι δύο πολυώνυμα με συντελεστές από το \mathbb{Q} και να ξαναγράψουμε την παραπάνω σχέση ως

0=g(\pi)+h(\pi)\sqrt{\pi}\Rightarrow g(\pi)=\sqrt{\pi}h(\pi)

\Rightarrow g^2(\pi)=\pi h^2(\pi)\Rightarrow g^2(\pi)-\pi h(\pi)=0.

Αυτό πάει να πει ότι μπορούμε να ορίσουμε το πολυώνυμο \phi(x)=g^2(x)-xh^2(x)\in \mathbb{Q}[x], για το οποίο ισχύει ότι \phi(\pi)=0. Άρα ο \pi είναι αλγεβρικός υπεράνω του \mathbb{Q}, άτοπο.

Ελπίζω να μη μου έχει ξεφύγει τίποτα και φυσικά αν κάπου δεν ήμουν σαφής, πες μου να το διορθώσω.

Περιττό να αναφέρω ότι η λύση που προτείνει ο κ. Ράπτης και ο sotmath είναι πολύ πιο κομψή και σίγουρα αξίζει να την καταλάβεις!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: ΕΡΩΤΗΣΗ !
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Φεβ 2013, 14:06 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 28 Οκτ 2011, 19:56
Δημοσ.: 45
Σας ευχαριστω πολυ ολους σας για το ενδιαφερον. Πραγματικα δεν περιμενα να ειναι τοσο πολυπλοκη η απαντηση στο ερωτημα μου. Θα μελετησω και θεωρια Galois, νομιζω αξιζει τον κοπο. Και παλι ευχαριστω!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group