forum.math.uoa.gr
http://forum.math.uoa.gr/

απορια στους φυσικους αριθμους
http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=39&t=11393
Σελίδα 1 από 1

Συγγραφέας:  gallieto [ 09 Απρ 2012, 15:36 ]
Θέμα δημοσίευσης:  απορια στους φυσικους αριθμους

Αν εχουμε δυο αριθμους a και b με σταθερο αθροισμα κα σταθερο αθροισμα τετραγωνων,υπαρχει μοναδικο τετοιο ζευγαρι (a,b) ή οχι?
Αν παρουμε και σταθερο αθροισμα κυβων τοτε υπαρχει μοναδικο?
Δηλαδη που πρεπει να φτασουμε,σε ποια δυναμη για να ειμαστε σιγουροι για τη μοναδικοτητα?Και πως αποδεικνυονται ολα αυτα...

Συγγραφέας:  Altair [ 09 Απρ 2012, 16:06 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

Πιστεύω πως αρκεί το σταθερό άθροισμα των a,b και το σταθερό άθροισμα των τετραγώνων τους.
Απόδειξη:
Έστω a+b=c και a^2+b^2=d , τότε:
(a+b)^2=c^2 , όμως:
(a+b)^2=a^2+b^2 +2ab= d + 2ab
Άρα:
c^2=d + 2ab, δηλαδη: ab =(c^2- d)/2= e.
Λύνοντας το σύστημα:
a+b=c
ab = e
Προκύπτει μοναδικότητα στη λύση.

Συγγραφέας:  gallieto [ 09 Απρ 2012, 16:59 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

Ναι σωστα το σκεφτηκα κι εγω αυτο Altair και μετα σκεφτηκα να αντικαταστησω οπου b στο αθροισμα τετραγωνων το c-a.Βγαινει ενα πολυωνυμο του a 2ου βαθμου,οπου οι λυσεις εξαρτωνται απο τη διακρινουσα την οποια δεν ξερεις γιατι δεν ξερεις τις σταθερες.Δεν ειναι πιθανον να βρεις 2 λυσεις στο Ν?Σκεφτομαι κατι λαθος?

Συγγραφέας:  Ghrifos [ 09 Απρ 2012, 17:13 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

Ρωτας αν ο κυκλος x^2+y^2=d και η ευθεια x+y=c εχουν ενα κοινο σημειο.
Μπορει να εχουν και 2 η κανενα.

Συγγραφέας:  otinanai [ 09 Απρ 2012, 17:28 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

gallieto έγραψε:
Ναι σωστα το σκεφτηκα κι εγω αυτο Altair και μετα σκεφτηκα να αντικαταστησω οπου b στο αθροισμα τετραγωνων το c-a.Βγαινει ενα πολυωνυμο του a 2ου βαθμου,οπου οι λυσεις εξαρτωνται απο τη διακρινουσα την οποια δεν ξερεις γιατι δεν ξερεις τις σταθερες.Δεν ειναι πιθανον να βρεις 2 λυσεις στο Ν?Σκεφτομαι κατι λαθος?


Στην εξίσωση βγαίνει : a(c-a)=e \Leftrightarrow ac - a^2 = e \Leftrightarrow a^2 - ac + e = 0 .Αν η διακρίνουσα είναι θετική έχεις 2 α,άρα και 2 β ,άρα δύο σημεία.Αν είναι 0 έχεις ένα ένα κοινό σημείο,και αν είναι < 0 δεν έχεις κανένα σημείο αφού δεν υπάρχει α πραγματικός άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

Συγγραφέας:  Altair [ 09 Απρ 2012, 17:49 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

(Συγγνώμη για την αργοπορία στην απάντηση, είχα πάει στον οδοντίατρο)
Ας το συνεχίσω:
Βρηκάμε αυτό:
a(c-a)=(c^2-d)/2 , δηλαδή αυτο:
a^2-ac+(c^2-d)/2=0 με:
D=c^2-4((c^2-d)/2)=c^2-2c^2+2d=2d-c^2
Ας θυμηθούμε τι είναι τα c,d. Τότε:
D=2d-c^2=2a^2+2b^2-(a+b)^2=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2>=0

Συγγραφέας:  Altair [ 09 Απρ 2012, 18:04 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

Α και όσον αφορά τις 2 "διαφορετικές" λύσεις, αν το σκεφτείτε καλύτερα θα δείτε ότι ουσιαστικά είτε το:
(a-b)^2>0 ή (a-b)^2=0,
δε παίζει κανένα ρόλο καθώς στη μία περίπτωση απλώς η "μία" λύση θα είναι της μορφής (x,y), ενώ η "άλλη" (y,x) και στη τελευταία περίπτωση θα έχουμε απλώς ότι a=b.

Συγγραφέας:  1/2rizax [ 09 Απρ 2012, 20:17 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

Altair έγραψε:
a^2-ac+(c^2-d)/2=0 με:
D=c^2-4((c^2-d)/2)=c^2-2c^2+2d=2d-c^2


Δεν μπορείς να το λύσεις σαν τριώνυμο αφού τα c και d εξαρτώνται από τα a, b.


a=b-c, (b-c)^2+b^2=d \Rightarrow 2b^2-2bc+c^2-d=0 \Rightarrow \Delta = 4(2d-c^2).
Αυτό δηλαδή που είπε ο Γχρίφος.

Συγγραφέας:  Altair [ 09 Απρ 2012, 20:28 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

Που διαφωνούμε δε κατάλαβα...

Συγγραφέας:  stranger [ 10 Απρ 2012, 13:35 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

Εστω c,d \in \mathbb{N}.Εστω (x,y) \in \mathbb{R}^2 με x+y=c και x^2 + y^2 = d.
Τοτε εχουμε (x+y)^2=c^2 \Rightarrow x^2 + y^2 +2xy=c^2\Rightarrow xy=\frac{c^2-d}{2} \Rightarrow x(c-x)=\frac{c^2-d}{2}\Rightarrow x^2 -cx + \frac{c^2-d}{2} =0.
Αρα βλεπουμε οτι αν c^2-4(\frac{c^2-d}{2}) = 2d-c^2 < 0 τοτε η αρχικη εξισωση δεν εχει λυσεις στο \mathbb{R}^2.
Αν 2d-c^2 \geq 0 \Rightarrow x = \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2} η x = \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2} και επειδη y = c - x βλεπουμε οτι οι λυσεις της αρχικης στο \mathbb{R}^2 ειναι οι (\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}) , (\frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}) την οποια μπορουμε να τη δουμε ως μοναδικη λυση.
Αρα ειναι προφανες οτι η αρχικη εχει λυση στο \mathbb{N}^2 αν και μονο αν 2d-c^2 \geq 0 και
(\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2})\in \mathbb{N}^2 το οποιο συμβαινει αν και μονο αν 2d-c^2 τετραγωνος και c^2 \geq d.
Αν εχει λυση τοτε ειναι μοναδικη.

Συγγραφέας:  Altair [ 10 Απρ 2012, 20:37 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: απορια στους φυσικους αριθμους

stranger έγραψε:
Εστω c,d \in \mathbb{N}.Εστω (x,y) \in \mathbb{R}^2 με x+y=c και x^2 + y^2 = d.
Τοτε εχουμε (x+y)^2=c^2 \Rightarrow x^2 + y^2 +2xy=c^2\Rightarrow xy=\frac{c^2-d}{2} \Rightarrow x(c-x)=\frac{c^2-d}{2}\Rightarrow x^2 -cx + \frac{c^2-d}{2} =0.
Αρα βλεπουμε οτι αν c^2-4(\frac{c^2-d}{2}) = 2d-c^2 < 0 τοτε η αρχικη εξισωση δεν εχει λυσεις στο \mathbb{R}^2.
Αν 2d-c^2 \geq 0 \Rightarrow x = \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2} η x = \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2} και επειδη y = c - x βλεπουμε οτι οι λυσεις της αρχικης στο \mathbb{R}^2 ειναι οι (\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}) , (\frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}) την οποια μπορουμε να τη δουμε ως μοναδικη λυση.
Αρα ειναι προφανες οτι η αρχικη εχει λυση στο \mathbb{N}^2 αν και μονο αν 2d-c^2 \geq 0 και
(\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2})\in \mathbb{N}^2 το οποιο συμβαινει αν και μονο αν 2d-c^2 τετραγωνος και c^2 \geq d.
Αν εχει λυση τοτε ειναι μοναδικη.


Σε ευχαριστώ stranger για την αναλυτική σου απάντηση.

Σελίδα 1 από 1 Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/