forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 19:58

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 15:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Οκτ 2009, 11:55
Δημοσ.: 54
Αν εχουμε δυο αριθμους a και b με σταθερο αθροισμα κα σταθερο αθροισμα τετραγωνων,υπαρχει μοναδικο τετοιο ζευγαρι (a,b) ή οχι?
Αν παρουμε και σταθερο αθροισμα κυβων τοτε υπαρχει μοναδικο?
Δηλαδη που πρεπει να φτασουμε,σε ποια δυναμη για να ειμαστε σιγουροι για τη μοναδικοτητα?Και πως αποδεικνυονται ολα αυτα...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 16:06 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Πιστεύω πως αρκεί το σταθερό άθροισμα των a,b και το σταθερό άθροισμα των τετραγώνων τους.
Απόδειξη:
Έστω a+b=c και a^2+b^2=d , τότε:
(a+b)^2=c^2 , όμως:
(a+b)^2=a^2+b^2 +2ab= d + 2ab
Άρα:
c^2=d + 2ab, δηλαδη: ab =(c^2- d)/2= e.
Λύνοντας το σύστημα:
a+b=c
ab = e
Προκύπτει μοναδικότητα στη λύση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 16:59 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Οκτ 2009, 11:55
Δημοσ.: 54
Ναι σωστα το σκεφτηκα κι εγω αυτο Altair και μετα σκεφτηκα να αντικαταστησω οπου b στο αθροισμα τετραγωνων το c-a.Βγαινει ενα πολυωνυμο του a 2ου βαθμου,οπου οι λυσεις εξαρτωνται απο τη διακρινουσα την οποια δεν ξερεις γιατι δεν ξερεις τις σταθερες.Δεν ειναι πιθανον να βρεις 2 λυσεις στο Ν?Σκεφτομαι κατι λαθος?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 17:13 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 05 Φεβ 2012, 17:40
Δημοσ.: 10
Ρωτας αν ο κυκλος x^2+y^2=d και η ευθεια x+y=c εχουν ενα κοινο σημειο.
Μπορει να εχουν και 2 η κανενα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 17:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
gallieto έγραψε:
Ναι σωστα το σκεφτηκα κι εγω αυτο Altair και μετα σκεφτηκα να αντικαταστησω οπου b στο αθροισμα τετραγωνων το c-a.Βγαινει ενα πολυωνυμο του a 2ου βαθμου,οπου οι λυσεις εξαρτωνται απο τη διακρινουσα την οποια δεν ξερεις γιατι δεν ξερεις τις σταθερες.Δεν ειναι πιθανον να βρεις 2 λυσεις στο Ν?Σκεφτομαι κατι λαθος?


Στην εξίσωση βγαίνει : a(c-a)=e \Leftrightarrow ac - a^2 = e \Leftrightarrow a^2 - ac + e = 0 .Αν η διακρίνουσα είναι θετική έχεις 2 α,άρα και 2 β ,άρα δύο σημεία.Αν είναι 0 έχεις ένα ένα κοινό σημείο,και αν είναι < 0 δεν έχεις κανένα σημείο αφού δεν υπάρχει α πραγματικός άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 17:49 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
(Συγγνώμη για την αργοπορία στην απάντηση, είχα πάει στον οδοντίατρο)
Ας το συνεχίσω:
Βρηκάμε αυτό:
a(c-a)=(c^2-d)/2 , δηλαδή αυτο:
a^2-ac+(c^2-d)/2=0 με:
D=c^2-4((c^2-d)/2)=c^2-2c^2+2d=2d-c^2
Ας θυμηθούμε τι είναι τα c,d. Τότε:
D=2d-c^2=2a^2+2b^2-(a+b)^2=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2>=0


Τελευταία επεξεργασία απο Altair την 09 Απρ 2012, 18:07, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 18:04 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Α και όσον αφορά τις 2 "διαφορετικές" λύσεις, αν το σκεφτείτε καλύτερα θα δείτε ότι ουσιαστικά είτε το:
(a-b)^2>0 ή (a-b)^2=0,
δε παίζει κανένα ρόλο καθώς στη μία περίπτωση απλώς η "μία" λύση θα είναι της μορφής (x,y), ενώ η "άλλη" (y,x) και στη τελευταία περίπτωση θα έχουμε απλώς ότι a=b.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 20:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 380
Altair έγραψε:
a^2-ac+(c^2-d)/2=0 με:
D=c^2-4((c^2-d)/2)=c^2-2c^2+2d=2d-c^2


Δεν μπορείς να το λύσεις σαν τριώνυμο αφού τα c και d εξαρτώνται από τα a, b.


a=b-c, (b-c)^2+b^2=d \Rightarrow 2b^2-2bc+c^2-d=0 \Rightarrow \Delta = 4(2d-c^2).
Αυτό δηλαδή που είπε ο Γχρίφος.

_________________
Infinite possibilities and all he can do is whine.
You can do anything, you lucky bastard, you're alive! What's a little pain compared to that?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2012, 20:28 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Που διαφωνούμε δε κατάλαβα...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Απρ 2012, 13:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Εστω c,d \in \mathbb{N}.Εστω (x,y) \in \mathbb{R}^2 με x+y=c και x^2 + y^2 = d.
Τοτε εχουμε (x+y)^2=c^2 \Rightarrow x^2 + y^2 +2xy=c^2\Rightarrow xy=\frac{c^2-d}{2} \Rightarrow x(c-x)=\frac{c^2-d}{2}\Rightarrow x^2 -cx + \frac{c^2-d}{2} =0.
Αρα βλεπουμε οτι αν c^2-4(\frac{c^2-d}{2}) = 2d-c^2 < 0 τοτε η αρχικη εξισωση δεν εχει λυσεις στο \mathbb{R}^2.
Αν 2d-c^2 \geq 0 \Rightarrow x = \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2} η x = \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2} και επειδη y = c - x βλεπουμε οτι οι λυσεις της αρχικης στο \mathbb{R}^2 ειναι οι (\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}) , (\frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}) την οποια μπορουμε να τη δουμε ως μοναδικη λυση.
Αρα ειναι προφανες οτι η αρχικη εχει λυση στο \mathbb{N}^2 αν και μονο αν 2d-c^2 \geq 0 και
(\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2})\in \mathbb{N}^2 το οποιο συμβαινει αν και μονο αν 2d-c^2 τετραγωνος και c^2 \geq d.
Αν εχει λυση τοτε ειναι μοναδικη.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: απορια στους φυσικους αριθμους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Απρ 2012, 20:37 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
stranger έγραψε:
Εστω c,d \in \mathbb{N}.Εστω (x,y) \in \mathbb{R}^2 με x+y=c και x^2 + y^2 = d.
Τοτε εχουμε (x+y)^2=c^2 \Rightarrow x^2 + y^2 +2xy=c^2\Rightarrow xy=\frac{c^2-d}{2} \Rightarrow x(c-x)=\frac{c^2-d}{2}\Rightarrow x^2 -cx + \frac{c^2-d}{2} =0.
Αρα βλεπουμε οτι αν c^2-4(\frac{c^2-d}{2}) = 2d-c^2 < 0 τοτε η αρχικη εξισωση δεν εχει λυσεις στο \mathbb{R}^2.
Αν 2d-c^2 \geq 0 \Rightarrow x = \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2} η x = \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2} και επειδη y = c - x βλεπουμε οτι οι λυσεις της αρχικης στο \mathbb{R}^2 ειναι οι (\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}) , (\frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}) την οποια μπορουμε να τη δουμε ως μοναδικη λυση.
Αρα ειναι προφανες οτι η αρχικη εχει λυση στο \mathbb{N}^2 αν και μονο αν 2d-c^2 \geq 0 και
(\frac{c + \sqrt{2d-c^2}}{2}, \frac{c - \sqrt{2d-c^2}}{2})\in \mathbb{N}^2 το οποιο συμβαινει αν και μονο αν 2d-c^2 τετραγωνος και c^2 \geq d.
Αν εχει λυση τοτε ειναι μοναδικη.


Σε ευχαριστώ stranger για την αναλυτική σου απάντηση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group