forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 01:23

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μια ωραία ισότητα ανάμεσα στο e και τους πρώτους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Νοέμ 2011, 22:19 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 09 Νοέμ 2011, 21:32
Δημοσ.: 14
Πρόσφατα έμαθα για το θεμελιώδες θεώρημα των πρώτων και με μάγεψε το πως η διανομή των πρώτων περιγράφεται απ'τον λογάριθμο του e.

Μετά σκέφτηκα, γιατί να μην πάρω μια ισότητα του e απ'την ίδια σχέση? Έτσι λύνοντας ως προς e βρίσκουμε την μάλλον καταπληκτική σχέση:

e = \lim_{n\to\infty} n^{\frac{\pi(n)}{n}}

,όπου π(n) είναι η συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων. Έτσι ο εκθέτης είναι η πυκνότητα των πρώτων μέσα στους φυσικούς αριθμούς.

Για n = ένα δις τρις, το λάθος είναι περίπου 2%. Βέβαια αυτός ο τύπος δεν είναι χρήσιμος ως αλγόριθμος για τον υπολογισμό του e, αφού συγκλίνει βασανιστικά αργά. Αλλά είναι ιδιαίτερα όμορφος καθώς εκφράζει τον e συναρτήσει των πρώτων.

Αναρωτιέμαι πώς αυτός ο κομψός τύπος δεν υπάρχει στο Wikipedia αλλά και σε άλλα site με ορισμούς του e. Αξίζει μία αναφορά δε νομίζετε?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μια ωραία ισότητα ανάμεσα στο e και τους πρώτους
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2011, 23:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Μπορείς να βρείς τον e και στο λάθος 2% R(n):=|n^{\frac{\pi(n)}{n}}-e| στο οποίο αναφέρεσαι. Συγκεκριμμένα R(n) \leq e^{e^{e^e}} n^{e-3} που δείχνει ότι \lim_{n \to \infty} R(n)=0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group