forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 18:03

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 14 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ερώτημα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιούλ 2007, 21:39 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Ιουν 2007, 23:31
Δημοσ.: 19
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
Άκουσα κάπου την εξής ερώτηση:

Το σύνολο όλων των συνόλων,έχει τον εαυτό του σαν στοιχείο;

Περιμένω τις απόψεις σας


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιούλ 2007, 22:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 19:18
Δημοσ.: 3078
Τοποθεσια: Από δω κι από κεί.
Μήπως εννοείς αν το σύνολο όλων των συνόλων που δεν περιλαμβάνουν τον εαυτό τους, έχει τον εαυτό του σαν στοιχείο;

_________________
Γι' αυτό σου λέω.
Την άλλη φορά που θα μας ρίξουνε
να μην την κοπανήσουμε. Να ζυγιαστούμε.
Μην ξεπουλήσουμε φτηνά το τομάρι μας ρε.
Μη. Βρέχει. Δόσμου τσιγάρο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιούλ 2007, 22:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 19 Μαρ 2006, 13:08
Δημοσ.: 485
Υπάρχει ένα αξίωμα στην θεωρία συνόλων(κατά κάποιο τρόπο αυτή είναι και η βάση όλων των μαθηματικών)που λέει ότι υπάρχει ένα σύνολο. Ένα άλλο αξίωμα λέει ότι από κάθε σύνολο μπορούμε να πάρουμε ένα άλλο σύνολο, το δυναμοσύνολο. Με βάση τα παραπάνω 2 γνωρίζουμε ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα.

_________________
Είμαι ο groovemaster. To υπογράφω.

founder of the \heartsuit tex command.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτημα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιούλ 2007, 22:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Lorentz έγραψε:
Άκουσα κάπου την εξής ερώτηση:

Το σύνολο όλων των συνόλων,έχει τον εαυτό του σαν στοιχείο;

Περιμένω τις απόψεις σας

Δύσκολη η απάντηση, εάν την δεχθούμε, δεχόμαστε την αυτοαναφορά. Και οι αυτοαναφορές μπορούν να οδηγήσουν σε αντιφάσεις. Είναι δυνατόν να έχουμε αποτελέσματα θεμιτών συμπερασματικών διεργασιών τα οποία οδηγούν σε αντιφάσεις.

Αυτές τις αντιφάσεις τις ονομάζουμε παράδοξα.

Η μελέτη των παραδόξων έχει ξεκινήσει (από όσα ξέρω) με το "παράδοξο του επιμενίδη": Όλοι οι κρητικοί είναι ψεύτες. Ο επιμενίδης, κρητικός όντας (κατά τον μύθο διατύπωσε το παράδοξο αλλά και απέκτησε σοφία αφού κοιμήθηκε επί 57 χρόνια σε ένα σπήλαιο) διατύπωσε το παράδοξο του επιμενίδη εννοώντας ότι όλοι οι κρητικοί λένε πάντοτε ψέματα ή πάντοτε αλήθεια.

Αν λοιπόν η πρόταση "όλοι οι κρητικοί είναι ψεύτες" είναι αληθής τότε, αφού διατυπώνεται από Κρητικό, πρέπει να είναι ψέματα και αυτό οδηγεί σε αντίφαση.

πρόκειται δηλαδή για μία πρόταση που αναφέρεται στον εαυτό της έμμεσα (σε δύο βήματα: 1=ο επιμενίδης ειναι κρητικός, 2=οι κρητικοί λένε ψέματα).

υπάρχουν πολλά παράδοξα με τα οποία ασχολήθηκαν οι φιλόσοφοι κατά καιρούς, μάλιστα γίνεται εκτενής ανάλυση της αυτοαναφοράς και των συνόλων στον Παρμενίδη του Πλάτωνα.

Ένα από τα παράδοξα, διατυπωμένο από τον Ράσελ (Russel), είναι το εξης: αν δεχθούμε τον ορισμό του κάντορ για το σύνολο, ότι δηλαδή σύνολο είναι, δεδομένης μίας ιδιότητας, συλλογή αντικειμένων που έχουν μία ιδιότητα, τότε:

α) Στοιχεία ενός συνόλου, μπορεί να είναι σύνολα (το σύνολο των συνόλων με πληθάριθμο 1)
β) Ένα σύνολο, μπορεί να ανήκει στον εαυτό του (πχ το σύνολο όλων των συνόλων)

Θεωρούμε λοιπόν το σύνολο Α όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους.

Έστω Α ανήκει στο Α. Τότε το Α δεν ανήκει στο Α αφού Α = το σύνολο Α όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους.

Έστω Α δεν ανήκει στο Α. Τότε το Α ανήκει στο Α, αφού Α= το σύνολο Α όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους

φτάνουμε δηλαδή σε ένα παράδοξο, μία πρόταση που δεν μπορεί να είναι αληθής ούτε ψευδής την ίδια στιγμή.

Το παραπάνω ονομάζεται "το παραδοξο του ράσελ"

Τα παραπάνω αποτελούν απλώς την κορυφή του παγόβουνου, αφού, όπως έδειξε ο μεγάλος Γκέντελ (ή τελος πάντων η επέκταση των όσων έδειξε ο Γκέντελ), σε κάθε σύστημα αξιωμάτων, υπάρχει ένα δένδρο αληθείας (δηλαδή τα πράγματα που μπορείς να αποδείξεις με βάση τα αξιώματά σου), πλήν όμως υπάρχουν αλήθειες που δεν μπορείς να τις φτάσεις (να διατυπώσεις ένα θεώρημα που τις δείχνει, ή ότι, εάν έχεις μία πρόταση, δεν μπορείς να αποδείξεις ότι είναι αληθής, παρόλο που είναι) και επίσης, υπάρχει ένα δένδρο ψεύδους, πλην όμως υπάρχουν ψευδή πράγματα που δεν μπορείς να δείξεις ότι είναι ψευδή.

Δηλαδή, αν φανταστούμε τα αξιώματα ώς ρίζες και τα θεωρήματα ως κλαδιά, υπάρχει και το φόντο, αλήθειες (ή ψέματα) στις οποίες δεν φτάνουν τα κλαδιά.

Οι παραπάνω ιδέες διατυπώνονται με ιδιαίτερη ομορφιά (τουλάχιστον εμένα με απορρόφησε) στο βιβλίο του Νταγκλας Χοφστατερ: "Godel, Echer, Bach: an eternal golden braid" (http://www.amazon.com/Godel-Escher-Bach-Eternal-Golden/dp/0465026567/ref=sr_1_2/002-8818507-1708041?ie=UTF8&s=books&qid=1183495273&sr=1-2)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Ιούλ 2007, 14:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Καλημερα.

Δεν υπαρχει το συνολο ολων των συνολων. Με αλλα λογια, η προταση

\exists A \left( \forall B \left(B \in A \right) \right)

ειναι ψευδης. Ενα τετοιο συνολο θα επρεπε εξ ορισμου να περιεχει τον εαυτο του.

Υπαρχει ενα αξιωμα στη συνολοθεωρια που λεει :

'Καθε μη κενο συνολο A εχει τουλαχιστον ενα στοιχειο ξενο προς το A.'

(Εμφανιζεται με διαφορα ονοματα οπως Αξιωμα της Θεμελιωσης, Αξιωμα της Κανονικοτητας, κλπ.)

Απο αυτο μπορει να αποδειχθει οτι δεν υπαρχει το συνολο ολων των συνολων. Γενικοτερα, αποδεικνυεται οτι δεν υπαρχει συνολο που να περιεχει τον εαυτο του.

Αποδειξη : Εστω A συνολο τετοιο ωστε A \in A. Θεωρουμε το συνολο B=\{A\}. Αφου το B ειναι μη κενο, συμφωνα με το αξιωμα της θεμελιωσης, εχουμε B \cap A = \emptyset. Αυτο ομως ειναι ατοπο, αφου A \in A και A \in B.

Καλα να περνας,

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Τελευταία επεξεργασία απο dement την 06 Ιούλ 2007, 13:08, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Ιούλ 2007, 18:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Χμ...Χμ...λίγο τολμηρή η θέση τού φίλου Dement, ή έστω «πολύ» απόλυτη. Η περιγραφή τού φίλου Γιώργου ποιό πάνω, είναι τουλάχιστον ποιό μετριοπαθής και αφήνει περιθώρια γιά περαιτέρω επεξηγήσεις....
Τέλος πάντων, εξαρτάται και από τό «βάθος» που αποζητά με τήν ερώτησή του και ο φίλος Lorentz....
Αφήνει πάντως μιά «πικράδα», λές και η αντινομία Russell στερείται ολοκληρωτικά βάσεως...Είναι δηλαδή η ZF τώρα συνεκτική και πρίν δέν ήταν; Μάλλον όχι, θά έλεγα, απλώς δέν επιτρέπει τής αντινομίας να εκφραστεί. Άλλο τό ένα, άλλο τό άλλο...Τό αξίωμα τής θεμελίωσης λειτουργεί περισσότερο σά προστατευτική ασπίδα, αμυντικά, περιοριστικά δηλαδή και λιγώτερο δημιουργικά...
Άς είναι, έγκυρη η απάντηση, όπως και νάχει....

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Ιούλ 2007, 22:55 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Ιουν 2007, 23:31
Δημοσ.: 19
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.Πάντως και από άλλα ερωτήματα που έστειλα,διακρίνω υψηλό επίπεδο στο forum.
Εσείς εδώ στο forum είστε προπτυχιακοί φοιτητές ή κάνετε ανώτερες σπουδές;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιούλ 2007, 12:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Lorentz έγραψε:
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.Πάντως και από άλλα ερωτήματα που έστειλα,διακρίνω υψηλό επίπεδο στο forum.
Εσείς εδώ στο forum είστε προπτυχιακοί φοιτητές ή κάνετε ανώτερες σπουδές;


έχω την εντύπωση ότι οι περισσότεροι είμαστε προπτυχιακοί


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: as mhn eimaste toso apolutoi
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Αύγ 2007, 20:16 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
To kserw oti einai ligo arga....apla uparqoun kai montela ths ZF opou den isquei h principle of foundation....kai epitrepoun "teratosynola" ths morfhs A={A} malista den kserw gia pio logw na dextoume auth thn arxh isws epeidh mas fainontai pio "omorfa" ta montela pou dhmiourgoume dexomenoi oti kathe synolo prepei na einai edraiwmeno...Genikotera den tha thewrousa mia apanthsh mesw aksiwmatwn panakeia dedomenou oti den gnwrizoume kan an einai syneph...to erwthma pou etheses basizetai sto isqyro plhgma pou katafere o Russel sto oikodomhma tou Cantor (malista ligo prin thn ekdosh tou) kai shmane thn axiomatikh themeliwsh ths thewrias sunolwn...Eqw thn aisthhsh oti se tetoia epipeda ta mathhmatika mplekontai me thn filosofia kai telika eite dexesai kati eite oxi...Telos,to sunolo olwn twn sunolwn den einai synolo alla "klash"...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: as mhn eimaste toso apolutoi
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Αύγ 2007, 21:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Khelben έγραψε:
To kserw oti einai ligo arga....apla uparqoun kai montela ths ZF opou den isquei h principle of foundation....kai epitrepoun "teratosynola" ths morfhs A={A} malista den kserw gia pio logw na dextoume auth thn arxh isws epeidh mas fainontai pio "omorfa" ta montela pou dhmiourgoume dexomenoi oti kathe synolo prepei na einai edraiwmeno...Genikotera den tha thewrousa mia apanthsh mesw aksiwmatwn panakeia dedomenou oti den gnwrizoume kan an einai syneph...to erwthma pou etheses basizetai sto isqyro plhgma pou katafere o Russel sto oikodomhma tou Cantor (malista ligo prin thn ekdosh tou) kai shmane thn axiomatikh themeliwsh ths thewrias sunolwn...Eqw thn aisthhsh oti se tetoia epipeda ta mathhmatika mplekontai me thn filosofia kai telika eite dexesai kati eite oxi...Telos,to sunolo olwn twn sunolwn den einai synolo alla "klash"...


ρε μεγάλε δεν διαβάζεται αυτό το πράγμα. να στραβωθούμε θελεις;

Ιτ ις νερυ διφφικυλτ το ρεαδ τηις τηινγ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Αύγ 2007, 01:29 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 20 Αύγ 2006, 20:56
Δημοσ.: 51
Τοποθεσια: Myth Drannor(Waterdeep)
Xmmmmm....sorry gia thn puknothta....den katalaba kala to paradokso pou aneferes...uparqei kai h periptwsh h protash "oloi oi krhtikoi einai pseytes" na einai pseydhs......auto synepagetai 'oti (toulaxiston) enas krhtikos leei alhtheia....giati na einai autos pou leei thn sugkekrimenh protash???


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Αύγ 2007, 07:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 28 Φεβ 2006, 00:06
Δημοσ.: 5211
Khelben έγραψε:
Xmmmmm....sorry gia thn puknothta....den katalaba kala to paradokso pou aneferes...uparqei kai h periptwsh h protash "oloi oi krhtikoi einai pseytes" na einai pseydhs......auto synepagetai 'oti (toulaxiston) enas krhtikos leei alhtheia....giati na einai autos pou leei thn sugkekrimenh protash???
Δεν αναφερόμαστε στην πυκνότητα.
κανονισμός έγραψε:
Η χρήση greeklish καλό θα ήταν να αποφεύγεται. Όσοι εμμένουν στη χρήση τους θα δέχονται παρατηρήσεις από τους moderators/ administrators. ΤΟ ΙΔΙΟ ΙΣΧΥΕΙ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΗ ΓΡΑΦΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΜΕ CAPS-LOCK.

_________________
cogito ergo sum
δραματική σχολή


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτημα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιαν 2010, 13:09 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 51
Γιατί το σύνολο όλων των συνόλων ορίζει μια αυτοαναφορική πρόταση;(είναι μη ρητορική η ερώτηση)Αποδεικνύεται ότι κάθε πρόταση που αναφέρεται στην αλήθεια η το ψεύδος αυτής εγκυμονεί παράδοξα;Μόνο όσες αποφαίνονται για την αλήθεια η μη αυτών εγκυμονούν παράδοξα;Όλες οι παραπάνω ή μόνο κάποιες απο αυτές;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτημα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιαν 2010, 09:20 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 51
Απαντώντας σε κάποιες απο τις παραπάνω ερωτήσεις.Υπάρχουν προτάσεις που αναφέρονται στον εαυτό τους χωρίς να αποφαίνονται για την αλήθεια τους και υπάρχουν τέτοιες προτάσεις που δέν εγκυμονούν παράδοξα.Άρα τώρα έχει νόημα να ρωτήσω:Όλες οι προτάσεις που αποφαίνονται για την αλήθειά ή τη μη αλήθειά τους οδηγούν με λογική βεβαιότητα σε παράδοξα;Όλες όσες έχουν βρεθεί τουλάχιστον;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 14 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group