forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 17:56

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ταυτότητα με διωνυμικά
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Αύγ 2014, 11:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 30 Αύγ 2013, 16:27
Δημοσ.: 92
Να αποδείξετε ότι για τους ακέραιους 0\leq k\leq n-1, ισχύει:

\displaystyle{\sum_{j=0}^{k}{\binom{n}{j}}=\sum_{j=0}^{k}{\binom{n-1-j}{k-j} 2^j}}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ταυτότητα με διωνυμικά
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Αύγ 2014, 12:53 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 21 Σεπ 2012, 13:22
Δημοσ.: 13
fdns έγραψε:
Να αποδείξετε ότι για τους ακέραιους 0\leq k\leq n-1, ισχύει:

\displaystyle{\sum_{j=0}^{k}{\binom{n}{j}}=\sum_{j=0}^{k}{\binom{n-1-j}{k-j} 2^j}}


Θέτουμε A(t)=\sum_{k=0}^{n-1}\left({\sum_{j=0}^{k}{\binom{n}{j}} \right)t^k και B(t)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{j=0}^{k}{\binom{n-1-j}{k-j} 2^j}\right)t^k

Έχουμε A(t)=\sum_{k=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{k}{\binom{n}{j}}t^k=\sum_{j=0}^{n-1}{\sum_{k=j}^{n-1}{\binom{n}{j}}t^k=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1-j}{\binom{n}{j}}t^{k+j}=\sum_{j=0}^{n-1}{\binom{n}{j}}t^{j}\sum_{k=0}^{n-1-j}t^{k}=\sum_{j=0}^{n-1}{\binom{n}{j}}t^{j} \frac{1-t^{n-j}}{1-t}=\frac{1}{1-t} \left( \sum_{j=0}^{n-1}{\binom{n}{j}}t^{j} -\sum_{j=0}^{n-1}{\binom{n}{j}}t^{n}\right)=\frac{1}{1-t} \left( ((1+t)^n-t^n) -t^{n}(2^n-1)\right)

=\frac{(1+t)^n-(2t)^{n}}{1-t}

B(t)=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{k}{\binom{n-1-j}{k-j} 2^j}t^k=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=j}^{n-1}{\binom{n-1-j}{k-j} 2^j}t^k=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1-j}{\binom{n-1-j}{k} 2^j}t^{k+j}=\sum_{j=0}^{n-1}(2t)^j\sum_{k=0}^{n-1-j}{\binom{n-1-j}{k} }t^{k}=\sum_{j=0}^{n-1}(2t)^j (1+t)^{n-1-j}=(1+t)^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1} \left(\frac{2t}{1+t} \right)^j

=(1+t)^{n-1}\left(\frac{1-\left(\frac{2t}{1+t}\right)^{n}}{1-\left(\frac{2t}{1+t}\right)}\right)=\frac{(1+t)^n-(2t)^{n}}{1-t}

Άρα A(t)=B(t) και άρα \displaystyle{\sum_{j=0}^{k}{\binom{n}{j}}=\sum_{j=0}^{k}{\binom{n-1-j}{k-j} 2^j}} για κάθε k \in  \{0, \cdots, n-1\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group