forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Σεπ 2017, 20:42

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 12 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Οκτ 2012, 10:18 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 18 Ιαν 2011, 13:54
Δημοσ.: 81
1) Εχουμε n σημεια στο επιπεδο,οχι ολα συνευθειακα. Να δειχθει οτι υπαρχει ευθεια που περναει απο ακριβως 2 απο αυτα.
2)Βαφουμε το επιπεδο του R^2 με 3 χρωματα.Να αποδειξετε οτι υπαρχουν δυο σημεια του ιδιου χρωματος που απεχουν αποσταση 1.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Οκτ 2012, 14:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Για το 1) έχω βρει μία λύση αλλά δεν την έχω προχωρήσει.Αν θες την ποστάρω η τη συζητάμε στη σχολή
2) Πάρε ένα οποιοδήποτε κανονικό 5-γωνο ακτίνας 1 και κάρφωσε το στο επίπεδο .Tότε αν το κέντρο έχει χρώμα Α και κάποια από τις κορυφές χρώμα Α πάλι τελειώσαμε.Αν καμία κορυφή δεν έχει χρωμα Α θα έχει χρώμα Β και αν δύο διαδοχικές κορυφές έχουν χρώμα Β τελειώσαμε.Αν πάνε εναλλάξ οι κορυφές με χρώματα Β,Γ τότε έχουμε την ακολουθία ΒΓΒΓΒ και η πρώτη με την τελευταία ει΄ναι διαδοχικές και Β άρα υπάρχουν τουλάχιστον 2 σημεία που έχουν ίδιο χρώμα.

Εντιτ:Να προσθεσω και εγώ μία ασκηση.Έχουμε 2 χρώματα στο επίπεδο.Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 σημεία που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν 2\cdot \cos (\frac{\pi (n-2) }{2n}) , όπου n περιττός.

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Οκτ 2012, 23:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 417
otinanai έγραψε:
Αν καμία κορυφή δεν έχει χρωμα Α θα έχει χρώμα Β και αν δύο διαδοχικές κορυφές έχουν χρώμα Β τελειώσαμε.


Γιατί ισχύει αυτό; Η πλευρά του πενταγώνου δεν έχει μήκος 1.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Οκτ 2012, 23:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Ωχ ναι.Μπερδεύτηκα και νόμιζα ότι το 5γωνο έχει γωνίες 60 μοιρών και άρα σχηματίζει 5 ισοπλευρα τρίγωνα.Με το 6-γωνο δεν έχιε βάση το επιχείρημα,οπότε θα το σκεφτώ και θα ποστάρω άλλη λύση.

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 00:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
metalman έγραψε:
1) Εχουμε n σημεια στο επιπεδο,οχι ολα συνευθειακα. Να δειχθει οτι υπαρχει ευθεια που περναει απο ακριβως 2 απο αυτα.


Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει, δηλαδή έστω ότι αν μία ευθεία περνάει από τουλάχιστον 2 από τα σημεία της συλλογής, τότε περνάει και από κάποιο τρίτο.

Επιλέγουμε ένα σημείο A που ανήκει στη συλλογή και μία ευθεία L που περνάει από τουλάχιστον 2 σημεία (και άρα τουλάχιστον 3) της συλλογής με τις εξής ιδιότητες:

α) A \notin L
b) H απόσταση του A από την L είναι η ελάχιστη από όλες τις πιθανές αποστάσεις ζευγών με τις παραπάνω ιδιότητες.

Έστω B,C,D τα σημεία της συλλογής που ανήκουν στην L.Φέρνουμε την κάθετη από το A στην L. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι τα B,C ανήκουν στην ίδια ημιευθεία της L που ορίζεται από την κάθετη, και ότι το B είναι κοντύτερα στο σημείο τομής της L και της καθέτου.

Αν φέρουμε την AC, τότε το τρίγωνο με υποτείνουσα BC είναι όμοιο προς και περιέχεται στο τρίγωνο με υποτείνουσα AC. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση του B από την AC είναι μικρότερη από την απόσταση του A από την L, το οποίο δίνει το ζητούμενο άτοπο.

Υ.Γ. Σόρυ, αλλά βαριόμουν να κάνω σχήμα, όποιος θέλει μπορεί να δει το σχήμα στη wikipedia, στο άρθρο για το Θεώρημα Sylvester-Gallai.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 00:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
metalman έγραψε:
2)Βαφουμε το επιπεδο του R^2 με 3 χρωματα.Να αποδειξετε οτι υπαρχουν δυο σημεια του ιδιου χρωματος που απεχουν αποσταση 1.


Έστω ότι βάφουμε τα σημεία του επιπέδου κόκκινα, πράσινα ή μπλέ. Επιλέγουμε ένα τυχόν σημείο O, το οποίο χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι κόκκινο.

Γράφουμε κύκλο με κέντρο O και ακτίνα \sqrt{3}. Aν όλα τα σημεία πάνω στον κύκλο είναι κόκκινα, τότε μπορούμε να βρούμε χορδή του κύκλου με μήκος 1, αποδεικνύοντας το ζητούμενο.

Έστω τώρα ότι υπάρχει πράσινο σημείο A πάνω στον κύκλο. Φέρουμε άλλους δύο κύκλους: έναν με κέντρο O και ακτίνα 1 και έναν με κέντρο A και ακτίνα 1. Έστω B,C τα σημεία τομής των δύο κύκλων.
Κρατάμε το γεγονός ότι
|OB|=|OC|=|AB|=|AC|=|BC|=1

Αν και το B και το C είναι μπλε έχουμε το ζητούμενο. Σε κάθε άλλη περίπτωση, ένα από τα B ή C ζευγαρώνει με κάποιο από τα O ή A και δίνει το ζητούμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 12:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 18 Ιαν 2011, 13:54
Δημοσ.: 81
karaf έγραψε:
metalman έγραψε:
2)Βαφουμε το επιπεδο του R^2 με 3 χρωματα.Να αποδειξετε οτι υπαρχουν δυο σημεια του ιδιου χρωματος που απεχουν αποσταση 1.


Έστω ότι βάφουμε τα σημεία του επιπέδου κόκκινα, πράσινα ή μπλέ. Επιλέγουμε ένα τυχόν σημείο O, το οποίο χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι κόκκινο.

Γράφουμε κύκλο με κέντρο O και ακτίνα \sqrt{3}. Aν όλα τα σημεία πάνω στον κύκλο είναι κόκκινα, τότε μπορούμε να βρούμε χορδή του κύκλου με μήκος 1, αποδεικνύοντας το ζητούμενο.

Έστω τώρα ότι υπάρχει πράσινο σημείο A πάνω στον κύκλο. Φέρουμε άλλους δύο κύκλους: έναν με κέντρο O και ακτίνα 1 και έναν με κέντρο A και ακτίνα 1. Έστω B,C τα σημεία τομής των δύο κύκλων.
Κρατάμε το γεγονός ότι
|OB|=|OC|=|AB|=|AC|=|BC|=1

Αν και το B και το C είναι μπλε έχουμε το ζητούμενο. Σε κάθε άλλη περίπτωση, ένα από τα B ή C ζευγαρώνει με κάποιο από τα O ή A και δίνει το ζητούμενο.



Ωραια η αποδειξη σου!!! μπραβο.βασικα αυτο που εχεις κανει θα μπορουσε να απλουστευτει εαν θεωρουσες ενα ρομβο

με πλευρες 1 και δευτερεσουσα διαγωνιο μηκους 1.(φυσικα τοτε η κυρια θα ηταν μηκους 3^{1/2}.)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 12:10 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 18 Ιαν 2011, 13:54
Δημοσ.: 81
karaf έγραψε:
metalman έγραψε:
2)Βαφουμε το επιπεδο του R^2 με 3 χρωματα.Να αποδειξετε οτι υπαρχουν δυο σημεια του ιδιου χρωματος που απεχουν αποσταση 1.


Έστω ότι βάφουμε τα σημεία του επιπέδου κόκκινα, πράσινα ή μπλέ. Επιλέγουμε ένα τυχόν σημείο O, το οποίο χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι κόκκινο.

Γράφουμε κύκλο με κέντρο O και ακτίνα \sqrt{3}. Aν όλα τα σημεία πάνω στον κύκλο είναι κόκκινα, τότε μπορούμε να βρούμε χορδή του κύκλου με μήκος 1, αποδεικνύοντας το ζητούμενο.

Έστω τώρα ότι υπάρχει πράσινο σημείο A πάνω στον κύκλο. Φέρουμε άλλους δύο κύκλους: έναν με κέντρο O και ακτίνα 1 και έναν με κέντρο A και ακτίνα 1. Έστω B,C τα σημεία τομής των δύο κύκλων.
Κρατάμε το γεγονός ότι
|OB|=|OC|=|AB|=|AC|=|BC|=1

Αν και το B και το C είναι μπλε έχουμε το ζητούμενο. Σε κάθε άλλη περίπτωση, ένα από τα B ή C ζευγαρώνει με κάποιο από τα O ή A και δίνει το ζητούμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 12:11 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 18 Ιαν 2011, 13:54
Δημοσ.: 81
karaf έγραψε:
metalman έγραψε:
1) Εχουμε n σημεια στο επιπεδο,οχι ολα συνευθειακα. Να δειχθει οτι υπαρχει ευθεια που περναει απο ακριβως 2 απο αυτα.


Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει, δηλαδή έστω ότι αν μία ευθεία περνάει από τουλάχιστον 2 από τα σημεία της συλλογής, τότε περνάει και από κάποιο τρίτο.

Επιλέγουμε ένα σημείο A που ανήκει στη συλλογή και μία ευθεία L που περνάει από τουλάχιστον 2 σημεία (και άρα τουλάχιστον 3) της συλλογής με τις εξής ιδιότητες:

α) A \notin L
b) H απόσταση του A από την L είναι η ελάχιστη από όλες τις πιθανές αποστάσεις ζευγών με τις παραπάνω ιδιότητες.

Έστω B,C,D τα σημεία της συλλογής που ανήκουν στην L.Φέρνουμε την κάθετη από το A στην L. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι τα B,C ανήκουν στην ίδια ημιευθεία της L που ορίζεται από την κάθετη, και ότι το B είναι κοντύτερα στο σημείο τομής της L και της καθέτου.

Αν φέρουμε την AC, τότε το τρίγωνο με υποτείνουσα BC είναι όμοιο προς και περιέχεται στο τρίγωνο με υποτείνουσα AC. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση του B από την AC είναι μικρότερη από την απόσταση του A από την L, το οποίο δίνει το ζητούμενο άτοπο.

Υ.Γ. Σόρυ, αλλά βαριόμουν να κάνω σχήμα, όποιος θέλει μπορεί να δει το σχήμα στη wikipedia, στο άρθρο για το Θεώρημα Sylvester-Gallai.



σωστη ειναι.αλλα οχι και copy paste απο την wikipedia!εκτος και εαν σου ηρθε η ιδια αποδειξη με τον sylvester(χωρις παρεξηγηση,προσπαθησε να κανεις μια δικια σου)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 12:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
metalman έγραψε:
σωστη ειναι.αλλα οχι και copy paste απο την wikipedia!εκτος και εαν σου ηρθε η ιδια αποδειξη με τον sylvester(χωρις παρεξηγηση,προσπαθησε να κανεις μια δικια σου)


Χωρίς καμμία παρεξήγηση, όπως λέει και η wikipedia, η απόδειξη είναι του Kelly και είναι γνωστή γενικά. Το να ξέρει κανείς την κλασική απόδειξη ενός γνωστού θεωρήματος (ή να μπορεί να αναπαράγει μια παραλλαγή της) δεν σημαίνει ότι κάνει copy-paste. Εκτός αν βάζοντας τις ασκήσεις περιμένεις να τις λύσουν μόνον όσοι δεν έχουν καμία πρότερη επαφή με το αντικείμενο, το οποίο θα έπρεπε να το γράφεις όταν διατυπώνεις την άσκηση.

metalman έγραψε:
Ωραια η αποδειξη σου!!! μπραβο.βασικα αυτο που εχεις κανει θα μπορουσε να απλουστευτει εαν θεωρουσες ενα ρομβο

με πλευρες 1 και δευτερεσουσα διαγωνιο μηκους 1.(φυσικα τοτε η κυρια θα ηταν μηκους 3^{1/2}.)


Για να σε προλάβω, ούτε αυτή η απόδειξη είναι τελείως δική μου... Κάπως, κάπου, κάποτε την έχω ξαναλύσει (πολύ πιθανό να είχα διαβάσει τότε κάποια γνωστή λύση), απλώς στην προκειμένη περίπτωση δε θυμάμαι ονόματα.

Ξαναλέω, προς αποφυγή παρεξήγησης, δε στη λέω, ούτε τσαντίστηκα, απλώς ήθελα να ξεκαθαρίσω κάποια πράγματα...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 16:51 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 18 Ιαν 2011, 13:54
Δημοσ.: 81
karaf έγραψε:
metalman έγραψε:
σωστη ειναι.αλλα οχι και copy paste απο την wikipedia!εκτος και εαν σου ηρθε η ιδια αποδειξη με τον sylvester(χωρις παρεξηγηση,προσπαθησε να κανεις μια δικια σου)


Χωρίς καμμία παρεξήγηση, όπως λέει και η wikipedia, η απόδειξη είναι του Kelly και είναι γνωστή γενικά. Το να ξέρει κανείς την κλασική απόδειξη ενός γνωστού θεωρήματος (ή να μπορεί να αναπαράγει μια παραλλαγή της) δεν σημαίνει ότι κάνει copy-paste. Εκτός αν βάζοντας τις ασκήσεις περιμένεις να τις λύσουν μόνον όσοι δεν έχουν καμία πρότερη επαφή με το αντικείμενο, το οποίο θα έπρεπε να το γράφεις όταν διατυπώνεις την άσκηση.

metalman έγραψε:
Ωραια η αποδειξη σου!!! μπραβο.βασικα αυτο που εχεις κανει θα μπορουσε να απλουστευτει εαν θεωρουσες ενα ρομβο

με πλευρες 1 και δευτερεσουσα διαγωνιο μηκους 1.(φυσικα τοτε η κυρια θα ηταν μηκους 3^{1/2}.)


Για να σε προλάβω, ούτε αυτή η απόδειξη είναι τελείως δική μου... Κάπως, κάπου, κάποτε την έχω ξαναλύσει (πολύ πιθανό να είχα διαβάσει τότε κάποια γνωστή λύση), απλώς στην προκειμένη περίπτωση δε θυμάμαι ονόματα.

Ξαναλέω, προς αποφυγή παρεξήγησης, δε στη λέω, ούτε τσαντίστηκα, απλώς ήθελα να ξεκαθαρίσω κάποια πράγματα...



φιλοι ; :P


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: προβληματακια συνδιαστικης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Οκτ 2012, 17:34 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 18 Ιαν 2011, 13:54
Δημοσ.: 81
otinanai έγραψε:
Για το 1) έχω βρει μία λύση αλλά δεν την έχω προχωρήσει.Αν θες την ποστάρω η τη συζητάμε στη σχολή
2) Πάρε ένα οποιοδήποτε κανονικό 5-γωνο ακτίνας 1 και κάρφωσε το στο επίπεδο .Tότε αν το κέντρο έχει χρώμα Α και κάποια από τις κορυφές χρώμα Α πάλι τελειώσαμε.Αν καμία κορυφή δεν έχει χρωμα Α θα έχει χρώμα Β και αν δύο διαδοχικές κορυφές έχουν χρώμα Β τελειώσαμε.Αν πάνε εναλλάξ οι κορυφές με χρώματα Β,Γ τότε έχουμε την ακολουθία ΒΓΒΓΒ και η πρώτη με την τελευταία ει΄ναι διαδοχικές και Β άρα υπάρχουν τουλάχιστον 2 σημεία που έχουν ίδιο χρώμα.

Εντιτ:Να προσθεσω και εγώ μία ασκηση.Έχουμε 2 χρώματα στο επίπεδο.Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 σημεία που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν 2\cdot \cos (\frac{\pi (n-2) }{2n}) , όπου n περιττός.


ωραια ασκησουλα ρε.λοιπον: Φτιαχνουμε ενα κανονικο πολυγωνο με περιττο πληθος κορυφων(εστω n). Το κεντρο ομως να απεχει
αποσταση ιση με 1 απο τις κορυφες.
Απο νομο συνημιτονων εχω οτι δυο διαδοχικες κορυφες απεχουν αποσταση 2-2*cos(360/n)=2cos(\pi(n-2)/2n)=2sin(\pi/n).

1)αν ολες οι κορυφες ειναι μπλε τοτε ειμαστε ο.κ.
2)αν οχι ο.κ τοτε ολες ανα δυο πρεπει να ειναι ξενες χρωματικα
ΝΑ ΟΜΩΣ που οι κορυφες ειναι περιττες το πληθος οποτε,αριστερο δεξι αριστερο δεξι αριστερο......και φτου απ'την αρχη :P


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 12 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group