forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Νοέμ 2017, 02:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση στο O Landau
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Φεβ 2012, 18:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Δείξτε με χρήση του συμβολισμού O πως αν για δύο συναρτήσεις f(n) και g(n) με g(n) \geq 2 ισχύει f(n) = O(g(n)) τότε θα ισχύει ότι \ell og(f(n)) = O(\ell og(g(n)))

Ο περιορισμός g(n) \geq 2 εγγυάται πως \ell og(g(n)) \geq 1. Ισχύει το παραπάνω αν αφαιρέσουμε τον περιορισμό g(n) \geq 2; Εξηγήστε το συλλογισμό σας!

Στέλιος

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση στο O Landau
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Φεβ 2012, 21:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Δεν ισχυει η προταση που λες.Για παραδειγμα εχουμε \frac{1}{n} = O(2) ενω δεν ισχυει log(\frac{1}{n})= O(log2), αφου \frac{log(\frac{1}{n})}{log2} = \frac{-logn}{log2} \rightarrow -\infty.
Η προταση που λες ισχυει οταν f(n) \geq 1 και g(n) \geq C με C > 1.
Πραγματι,τοτε εχουμε f(n) = O(g(n)) \Rightarrow \frac{f(n)}{g(n)} \leq M \forall n \in \mathbb{N}\Rightarrow log(\frac{f(n)}{g(n)}) \leq logM \Rightarrow log(f(n))-log(g(n)) \leq logM
\Rightarrow \frac{log(f(n))}{log(g(n))} \leq \frac{logM}{log(g(n))} + 1\Rightarrow \frac{log(f(n))}{log(g(n))} \leq \frac{logM}{logC} + 1.Ομως, log(f(n)) \geq 0 και log(g(n)) \geq 0 αφου f(n) \geq 1 και g(n) > 1.
Αρα τελικα εχουμε |\frac{log(f(n))}{log(g(n))}| \leq \frac{logM}{logC} + 1 \forall n \in \mathbb{N} το οποιο σημαινει log(f(n))=O(log(g(n)).

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group