forum.math.uoa.gr
http://forum.math.uoa.gr/

Υπολογισμός γινομένου n αριθμών
http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=38&t=106
Σελίδα 1 από 1

Συγγραφέας:  angelo [ 22 Μαρ 2006, 20:16 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Υπολογισμός γινομένου n αριθμών

Θεωρείστε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το γινόμενο:

a = a_1\cdot a_2 \cdots a_n

Αν δεν μας επιτρέπεται να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, παρά μόνο να αρχίσουμε από όποιο σημείο θέλουμε τις ενδιάμεσες πράξεις,

π.χ. για n=3: a = (a_1\cdot a_2)\cdot a_3 =a_1\cdot (a_2\cdot a_3)

με πόσους τρόπους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να υπολογίσουμε το a, ή αλλιώς με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε παρενθέσεις ??

Συγγραφέας:  m3Lt3D [ 21 Δεκ 2008, 23:04 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών

μηπως μπορουμε να τοποθετησουμε τις παρενθεσεις με (n-1)! τροπους?

Συγγραφέας:  angelo [ 25 Δεκ 2008, 14:15 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών

Γεια!
Όχι δεν είναι τόσοι οι τρόποι. Γράψε όμως πως το σκέφτηκες για να δούμε που υπάρχει διαφορά.

πχ: a_1a_2a_3a_4= a_1((a_2a_3)a_4)=(a_1(a_2a_3))a_4=(a_1a_2)(a_3a_4)
αν δεν έχω κάνει λάθος για 4 όρους έχουμε 3 τρόπους.

Συγγραφέας:  m3Lt3D [ 25 Δεκ 2008, 15:24 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών

angelo έγραψε:
Γεια!
Όχι δεν είναι τόσοι οι τρόποι. Γράψε όμως πως το σκέφτηκες για να δούμε που υπάρχει διαφορά.

πχ: a_1a_2a_3a_4= a_1((a_2a_3)a_4)=(a_1(a_2a_3))a_4=(a_1a_2)(a_3a_4)
αν δεν έχω κάνει λάθος για 4 όρους έχουμε 3 τρόπους.

εγω σκεφτηκα οτι για 4 ορους μπορουμε να εχουμε ετσι τις παρενθεσεις:
(a_1a_2)(a_3a_4)=(a_1a_3)(a_2a_4)=a_1(a_2a_3a_4)=a_2(a_1a_3a_4)=a_3(a_1a_2a_4)=a_4(a_1a_2a_3)
δηλαδη 6=2*3=3!=(4-1)! τροποι.

Τωρα που ξαναβλεπω την εκφωνιση, ειχα παραλειψει αυτο: 'Αν δεν μας επιτρέπεται να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων'

θα την δουλεψω παλι...

Καλα Χριστουγεννα!

Συγγραφέας:  Alucard [ 25 Δεκ 2008, 20:15 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών

Εστω x_n το πληθος των δυνατων τοποθετησεων των παρενθεσεων για n παραγοντες.Παρατηρουμε οτι σε ενα γινομενο n παραγοντων σε μια συγκεκριμενη τοποθετηση θα υπαρχουν οι 2 "μεγαλυτερες" παρενθεσεις δλδ θα ειναι της μορφης (a_1...(...)..(...)a_i)(a_{i+1}...(...)..(...)a_n) για καποιο i απο 1 εως n-1.Δλδ θα υπαρχει ο "μεγαλυτερος" διαχωρισμος σε μια παρενθεση με i και μια με n-i παραγοντες.

Για σταθερο i εχουμε οτι το πληθος αυτων των τοποθετησεων ειναι x_ix_{n-i}.Επομενως για να βρουμε το συνολικο πληθος αθροιζουμε για ολα τα i και εχουμε οτι x_n=\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{n-i}=x_1x_{n-1}+x_2x_{n-2}+...+x_{n-1}x_1

Θεωρουμε τωρα την f(t)=\sum_{i=1}^\infty x_it^i γεννητρια της x_n
Παρατηρουμε οτι f^2(t)-f(t)=-x_1t=-t αρα f(t)=1/2\pm1/2 \sqrt{1-4t}

Θετουμε g(t)= \sqrt{1-4t},m(t)=1-4t και h(t)= \sqrt{t}αρα g^{(n)}(t)=(-4)^{n}h^{(n)}(m(t))
Επομενως g^{(n)}(0)=(-4)^nh^{(n)}(1)=...=-2^n(1*3*...*(2n-3)) και αφου f=1/2\pm1/2g,f^{(n)}(t)=1/2g^{(n)}(t)
Ομως x_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\pm1/2\frac{g^{(n)}(0)}{n!}=\frac{2^{n-1}(1*3*...*(2n-3))}{n!}
=\frac{2^{n-1}(1*3*...*(2n-3))(n-1)!}{n!(n-1)!}
=\frac{(1*3*...*(2n-3))(2*4*...*(2n-2))}{n!(n-1)!}=\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!},
δλδ ο ζητουμενος αριθμος ειναι τελικα ο n-1-οστος αριθμος Catalan.

Συγγραφέας:  Apokalyptikos [ 27 Δεκ 2008, 19:19 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών

Πολύ καλό Alucard... πολύ καλό....

Δηλαδή σημαντική είναι η πρώτη παρατήρηση που δίνεις καί που ουσιαστικά μάς λέει : «Υπάρχει ένας μόνο πολλαπλασιασμός γιά τόν οποίον τό "\cdot" βρίσκεται έξω από όλες τίς παρενθέσεις, καί αυτός είναι ο τελευταίος»
Άν υποθέσουμε τότε ότι αυτός ο τελευταίος πολλαπλασιασμός βρίσκεται μεταξύ x_{i} καί x_{i+1}, παίρνουμε τήν σχέση γιά τό x_{n} που μάς έδωσες....Πολύ καλό...όπως καί η εξήγηση γιά τήν διασύνδεση μέ τούς αριθμούς Catalan...

Αποκαλυπτικός

Σελίδα 1 από 1 Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/