forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Δεκ 2017, 02:37

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Μαρ 2006, 20:16 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Θεωρείστε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το γινόμενο:

a = a_1\cdot a_2 \cdots a_n

Αν δεν μας επιτρέπεται να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, παρά μόνο να αρχίσουμε από όποιο σημείο θέλουμε τις ενδιάμεσες πράξεις,

π.χ. για n=3: a = (a_1\cdot a_2)\cdot a_3 =a_1\cdot (a_2\cdot a_3)

με πόσους τρόπους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να υπολογίσουμε το a, ή αλλιώς με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε παρενθέσεις ??


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Δεκ 2008, 23:04 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Δεκ 2008, 21:06
Δημοσ.: 8
μηπως μπορουμε να τοποθετησουμε τις παρενθεσεις με (n-1)! τροπους?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Δεκ 2008, 14:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Γεια!
Όχι δεν είναι τόσοι οι τρόποι. Γράψε όμως πως το σκέφτηκες για να δούμε που υπάρχει διαφορά.

πχ: a_1a_2a_3a_4= a_1((a_2a_3)a_4)=(a_1(a_2a_3))a_4=(a_1a_2)(a_3a_4)
αν δεν έχω κάνει λάθος για 4 όρους έχουμε 3 τρόπους.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Δεκ 2008, 15:24 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 16 Δεκ 2008, 21:06
Δημοσ.: 8
angelo έγραψε:
Γεια!
Όχι δεν είναι τόσοι οι τρόποι. Γράψε όμως πως το σκέφτηκες για να δούμε που υπάρχει διαφορά.

πχ: a_1a_2a_3a_4= a_1((a_2a_3)a_4)=(a_1(a_2a_3))a_4=(a_1a_2)(a_3a_4)
αν δεν έχω κάνει λάθος για 4 όρους έχουμε 3 τρόπους.

εγω σκεφτηκα οτι για 4 ορους μπορουμε να εχουμε ετσι τις παρενθεσεις:
(a_1a_2)(a_3a_4)=(a_1a_3)(a_2a_4)=a_1(a_2a_3a_4)=a_2(a_1a_3a_4)=a_3(a_1a_2a_4)=a_4(a_1a_2a_3)
δηλαδη 6=2*3=3!=(4-1)! τροποι.

Τωρα που ξαναβλεπω την εκφωνιση, ειχα παραλειψει αυτο: 'Αν δεν μας επιτρέπεται να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων'

θα την δουλεψω παλι...

Καλα Χριστουγεννα!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Δεκ 2008, 20:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 15 Σεπ 2007, 17:12
Δημοσ.: 174
Τοποθεσια: Ν.Σμυρνη
Εστω x_n το πληθος των δυνατων τοποθετησεων των παρενθεσεων για n παραγοντες.Παρατηρουμε οτι σε ενα γινομενο n παραγοντων σε μια συγκεκριμενη τοποθετηση θα υπαρχουν οι 2 "μεγαλυτερες" παρενθεσεις δλδ θα ειναι της μορφης (a_1...(...)..(...)a_i)(a_{i+1}...(...)..(...)a_n) για καποιο i απο 1 εως n-1.Δλδ θα υπαρχει ο "μεγαλυτερος" διαχωρισμος σε μια παρενθεση με i και μια με n-i παραγοντες.

Για σταθερο i εχουμε οτι το πληθος αυτων των τοποθετησεων ειναι x_ix_{n-i}.Επομενως για να βρουμε το συνολικο πληθος αθροιζουμε για ολα τα i και εχουμε οτι x_n=\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{n-i}=x_1x_{n-1}+x_2x_{n-2}+...+x_{n-1}x_1

Θεωρουμε τωρα την f(t)=\sum_{i=1}^\infty x_it^i γεννητρια της x_n
Παρατηρουμε οτι f^2(t)-f(t)=-x_1t=-t αρα f(t)=1/2\pm1/2 \sqrt{1-4t}

Θετουμε g(t)= \sqrt{1-4t},m(t)=1-4t και h(t)= \sqrt{t}αρα g^{(n)}(t)=(-4)^{n}h^{(n)}(m(t))
Επομενως g^{(n)}(0)=(-4)^nh^{(n)}(1)=...=-2^n(1*3*...*(2n-3)) και αφου f=1/2\pm1/2g,f^{(n)}(t)=1/2g^{(n)}(t)
Ομως x_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\pm1/2\frac{g^{(n)}(0)}{n!}=\frac{2^{n-1}(1*3*...*(2n-3))}{n!}
=\frac{2^{n-1}(1*3*...*(2n-3))(n-1)!}{n!(n-1)!}
=\frac{(1*3*...*(2n-3))(2*4*...*(2n-2))}{n!(n-1)!}=\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!},
δλδ ο ζητουμενος αριθμος ειναι τελικα ο n-1-οστος αριθμος Catalan.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός γινομένου n αριθμών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Δεκ 2008, 19:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 632
Πολύ καλό Alucard... πολύ καλό....

Δηλαδή σημαντική είναι η πρώτη παρατήρηση που δίνεις καί που ουσιαστικά μάς λέει : «Υπάρχει ένας μόνο πολλαπλασιασμός γιά τόν οποίον τό "\cdot" βρίσκεται έξω από όλες τίς παρενθέσεις, καί αυτός είναι ο τελευταίος»
Άν υποθέσουμε τότε ότι αυτός ο τελευταίος πολλαπλασιασμός βρίσκεται μεταξύ x_{i} καί x_{i+1}, παίρνουμε τήν σχέση γιά τό x_{n} που μάς έδωσες....Πολύ καλό...όπως καί η εξήγηση γιά τήν διασύνδεση μέ τούς αριθμούς Catalan...

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group