forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Ιούλ 2018, 09:31

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιούλ 2017, 00:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 315
Τοποθεσια: United States of America
Εχω μια απορια σχετικα με τα πιθανα μοντελα της αριθμητικης Peano.Οπως ξερουμε τα συχρονα μαθηματικα στηριζονται πανω στα 9 αξιωματα της ZFC για τα συνολα.Ακολουθοντας αυτα τα αξιωματα μπορει να δειχθει οτι υπαρχει συνολο που ικανοποιει τα αξιωματα του Peano για τους φυσικους αριθμους και σταθεροποιουμε ενα τετοιο συνολο και το ονομαζουμε " συνολο των φυσικων αριθμων".Τωρα στο βιβλιο θεωριας συνολων του Μοσχοβακη αποδεικνυει οτι δυο συστηματα φυσικων αριθμων ειναι ισομορφα.Αυτο μου λεει εμενα οτι μια προταση ισχυει στο ενα συστημα αν και μονο αν ισχυει και στο αλλο.Αν ειναι ετσι,πως προκυπτουν τα non-standard models of arithmetic?Η ισομορφια των συστηματων φυσικων αριθμων μου λεει εμενα οτι εχουμε μονο ενα μοντελο φυσικων αριθμων.Οποιος ξερει ας απαντησει.Ευχαριστω εκ των προτερων.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιούλ 2017, 16:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 637
Απο το «compactness theorem» ή το «Loewenheim-Skolem»προκύπτει ότι η ΡΑ περιέχει non standard models, δλδ μοντέλα που δεν είναι ισόμορφα με το standard model επειδή έχουν απείρως μεγάλους αριθμούς.


Αρχίζεις με το ερώτημα :

«Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το επαγωγικό αξίωμα με ένα πιό απλό;»
Δλδ ισοδύναμα :
«Αξιωματοποιούνται οι φυσικοί αριθμοί σε σύστημα Λογικής πρώτου βαθμού;»

Η απάντηση είναι αρνητική και αυτό φαίνεται ακριβώς στο ότι με την Λογική πρώτου βαθμού προκύπτουν αυτά τα non standard models.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιούλ 2017, 00:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 315
Τοποθεσια: United States of America
Καταρχας,σε ευχαριστω για την απαντηση.Δηλαδη με τη λογικη δευτερου βαθμου ολα τα μοντελα φυσικων αριθμων ειναι ισομορφα?
Αν ειναι ετσι τοτε γιατι δεν χρησιμοποιουμε λογικη δευτερου βαθμου?

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιούλ 2017, 11:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 637
Τό τίμημα είναι μεγάλο...σύμφωνα με το Θεώρημα Lindstroem...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιούλ 2018, 01:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 315
Τοποθεσια: United States of America
Εχω μια αλλη απορια σχετικα με αυτο το θεμα.
Εστω ενα non standard model of arithmetic Σ.Τοτε υπαρχει ενας non standard αριθμος c ωστε c>0 c>s(0) c>S(S(0)) και ουτε καθεξης.
Τοτε αν σχηματισουμε το συνολο Λ={c-n | n ειναι ενας standard number} τοτε το συνολο Λ δεν εχει ελαχιστο στοιχειο και ειναι υποσυνολο του Σ.
Η ερωτηση ειναι η εξης: Δεν αποδεικνυει η ZFC οτι καθε μη κενο υποσυνολο των φυσικων αριθμων εχει ελαχιστο στοιχειο?
Αν την αποδεικνυε η ZFC τοτε θα επρεπε να ισχυει και στα non standard models πραγμα που δεν ισχυει.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιούλ 2018, 09:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 637
Λές
«...θα έπρεπε να ισχύει και στα στα non standard models»

Όχι, δεν θα έπρεπε...και (όπως μετά αναφέρεις) ούτε ισχύει...διότι οι standard, και ανάλογα οι non standard αριθμοί ΔΕΝ συνιστούν Σύνολο!

Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο μέρη με «μη αυστηρό τρόπο» (υποβλητική έκφραση για «non extensional», ή «μη περιγράψιμα από σύνολο» ή «όχι καλώς κεχωρισμένα» κάτι που εμποδίζει την ισχύ της Αρχής του ελαχίστου στοιχείου). Η «μή αυστηρότης» δέν είναι όμως τέτοια έτσι ώστε να υπόκειται σε κανόνες πλεινότιμης Λογικής.
Η διχοτομία απο απόψεως Λογικής παραμένει δηλαδή. Ένα στοιχείο είναι standard ή όχι, κάτι άλλο δέν μπορεί να συμβαίνει. Και αυτό ισχύει επειδή αρνούμαστε να δούμε αυτά τα μέρη ως σύνολα!

(Εισάγοντας το κατηγορούμενο st (non extensional χαρακτηριστικό) πληρώνουμε ένα τίμημα..Χάνουμε το Σχήμα Χωρισμού (separation) στην νέα επέκταση της θεωρίας)



ΥΣ
Παράδειγμα για το πώς εννοούμε τις έννοιες intensional και extensional
Είμαστε στούς φυσικούς αριθμούς και θεωρούμε τις εξής 3 κατηγορίες: Α-αριθμοί, Β-αριθμοί και Γ-αριθμοί.

Α-αριθμοί: Οι πρώτοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 2 και μικρότεροι του 11
Β-αριθμοί: Οι περιττοί μεγαλύτεροι του 2 και μικρότεροι του 9
Γ-αριθμοί:Οι αριθμοί 3,5,7

Οι Α-αριθμοί και οι Β-αριθμοί ορίζονται intensional, οι Γ-αριθμοί extensional. Ποιοί είναι οι Α- και Β-αριθμοί; Ακριβώς ...είναι οι 3,5,7.
Η extension λοιπόν των εννοιών Α-αριθμοί, Β-αριθμοί και Γ-αριθμοί είναι ίδια, άν και από την πλευρά τού νοήματος είναι διαφορετικά ορισμένοι.

Τα 3 σύνολα είναι ίσα...επειδή η ισότης στα μαθηματικά εννοείται extensional.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιούλ 2018, 22:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 315
Τοποθεσια: United States of America
Οποτε αν καταλαβα καλα,δεν μπορουμε να ορισουμε το συνολο Λ={c-n|n standard number} επειδη οι standard numbers δεν συνιστουν συνολο.Σωστα?

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιούλ 2018, 09:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 637
Ναι...

Μερικές γενικές παρατηρήσεις

Στη non standard Συνολοθεωρία επιτυγχάνεται η επέκταση της θεωρίας με τον ίδιο τρόπο: Εισάγουμε το κατηγόρημα st, το οποίο συνδέεται με την θεωρία μέσω επιπροσθέτων αξιωμάτων. Εκτός τούτου κάνουμε έναν διαχωρισμό σε εσωτερικές και εξωτερικές θεωρίες.
Στίς εσωτερικές έχουμε την ίδια γνωστή «εικόνα» με μικρές διαφορές. Στίς εξωτερικές οι τροποποιήσεις είναι ουσιώδεις.
Το ιδιαίτερο με το κατηγόρημα st είναι ότι δέν είναι extensional. Δεν ισχύει δηλαδή το separation αξίωμα και έτσι δεν μπορείς να «τραβήξεις» ένα υποσύνολο απο ένα σύνολο.

Να το ξαναπώ ίσως πιό δομημένα..

Τα αξιωματικά σχήματα της ZFC (πλην τών συμβόλων ισότητας και λογικής) είναι ουσιαστικά Ε-τύποι (Ε για «ανήκει στο») Από την στιγμή όμως που προσθέτεις ενα καινούργιο κατηγόρημα (το st) πρέπει να εξετάσεις ποιοί τύποι είναι επιτρεπτοί και ποιοί όχι.

Ορισμός
Τύποι που δεν περιέχουν το st καλούνται ἐσωτερικοί και τύποι που το περιέχουν εξωτερικοί.

Οι ονομασίες αυτές εξηγούνται απο την σκοπιά τής ZFC εύκολα: Εσωτερικοί είναι οι τύποι που ανήκουν στίς Ε-γλώσσες και εξωτερικοί αυτοί που λόγω τού st κατηγορήματος δεν ανήκουν ΠΛΕΟΝ σε αυτές.

Αυτή είναι και η συνέπεια απο την ανακάλυψη του Robinson.
Στην Συνολοθεωρία μπορούν να προκύψουν κατηγορήματα ΜΗ ΕΚΦΡΑΣΙΜΑ σε Ε-γλώσσα παρα μόνο μετά από τροποποίηση αυτής (σε ερμηνευτικό επίπεδο), έτσι που σε non standard model να έχουμε συγχρόνως δύο Ε-σχέσεις την Ε και την *E
Στις λεγόμενες εσωτερικες θεωρίες εμφανίζεται ΑΝΤ ΑΥΤΟΥ το κατηγόρημα st σαν ενα ΑΟΡΙΣΤΟ συστατικό στοιχείο τους που μαζι με τα κατάλληλα αξιώματα καθορίζει τον ρόλο τού st στο επίπεδο της Λογικής. Αυτό οδηγεί σε ένα πλήθος νέων κατηγορημάτων και νέων σχέσεων, αλλά ΟΧΙ νέων αντικειμένων τής θεωρίας.

Η διαφορά είναι λοιπόν ότι στις μοντελοθεωρητικές παραλλαγές αυτά τα «νεα» αντικείμενα (κάτι σαν τα «ιδεατά σημεία» της Γεωμετρίας) εισάγονται, προσαρμόζονται τρόπον τινά σε «παλαιές» μαθηματικές δομές (αυτό εννοούμε με Επέκταση) κάτι που καθιστά αναγκαία μια διάσπαση της Ε-σχέσης, ενω στις εσωτερικές Θεωρίες (πχ. BST) ΔΕΝ εισάγονται νέα αντικείμενα αλλά νέες ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΣ που οδηγούν σε νέες επαγωγικές διαδικασίες.

Αυτό ακριβώς (νέες επαγωγικές διαδικασίες) θεώρησε και ο Robinson ο ίδιος σαν ουσία τής ανακάλυψής του.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αξιωματα Peano
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιούλ 2018, 19:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 315
Τοποθεσια: United States of America
Ευχαριστω πολυ για την απαντηση.Σκεφτομουν οτι θα μπορουσαμε να ορισουμε ποτε ενας αριθμος ειναι standard number,λεγοντας οτι υπαρχουν πεπερασμενοι το πληθος φυσικοι αριθμοι που ειναι μικροτεροι απο αυτον.Μετα βεβαια καταλαβα οτι δεν ειναι σωστος ορισμος επειδη τα πεπερασμενα συνολα οριζονται στη συνολοθεωρια αυτα που ειναι ισοπληθικα με το συνολο [0,n) για καποιον φυσικο αριθμο n,οπου το [0,n) ειναι το συνολο ολων των φυσικων αριθμων που ειναι μικροτεροι απο τον n.Αρα το συνολο [0,c)(οπου c ειναι non standard number) ειναι πεπερασμενο στη συνολοθεωρια εξ'ορισμου ενω στη πραγματικοτητα ειναι απειρο.
Αυτες ειναι οι ομορφιες της μαθηματικης λογικης.
Ευχαριστω και παλι για την απαντηση.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group