forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Φεβ 2018, 08:49

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 83 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5, 6
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2007, 12:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
sef έγραψε:
Giannopoule se mia palia sizitisi egine anafora ston Landau, pos krinis tin
apopsi oti i geometria itan gi ayton "glitsa"?


κ. Αλέξη, η συζήτηση είχε πολύ συγκεκριμένο θέμα: πώς θα βάλεις τά πράγματα σε μία σειρά. Τι ορίζεται πρώτο, τι δεύτερο, τι τρίτο και με ποιόν τρόπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2007, 12:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
den katalaveno pos tha balo ta pramata se mia sira, episis den katalabeno tin diadoxi ton orismon pu anaferis. ala ama ine asxeto me to topik as min to
xanasxoliaso

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2007, 13:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
sef έγραψε:
den katalaveno pos tha balo ta pramata se mia sira, episis den katalabeno tin diadoxi ton orismon pu anaferis. ala ama ine asxeto me to topik as min to xanasxoliaso


Το βιβλίο σας περιέχει την θεωρία των πραγματικών συναρτήσεων, με συγκεκριμένη συνεπή διαδοχή των ορισμών. Η θεωρία αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως αποτελούμενη από δύο "ανεξάρτητα" μέρη: την γενική θεωρία και την εισαγωγή και μελέτη των "ειδικών συναρτήσεων". Αναγκαστικά, στο πρώτο μάθημα υπερισχύει (σε έκταση) η ανάπτυξη του πρώτου μέρους, ενώ στο δεύτερο μάθημα εισάγονται αυστηρά και παίζουν μεγαλύτερο ρόλο οι ειδικές συναρτήσεις.

Αφού είναι "ειδικές" πρέπει κάπως να τις ορίσεις. Έννοιες όπως το μήκος καμπύλης, το εμβαδόν και ο όγκος πρέπει κάπως να οριστούν κι αυτές. Ο Landau υποθέτω θεωρούσε ότι ο ορισμός τους έπεται της θεμελίωσης της Ανάλυσης.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Υπακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μαρ 2007, 20:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Μιας και κάναμε αναφορά στις υπακολουθίες και στο θεώρημα Bolzano-Weierstrass ας δούμε κάπως όλα αυτά πιο συγκεντρωμένα. Δίνουμε κάποιους συμβολισμούς και μερικούς ορισμούς για την πλέρια κατανόηση αυτών που θα ακολουθήσουν:

Έστω [tex](x_n)[/tex] φραγμένη, ακολουθία πραγματικών αριθμών.

Συμβολισμός: Με [tex]X[/tex] θα συμβολίζουμε το σύνολο τιμών της [tex](x_n)[/tex], δηλαδή [tex]X=\{x_n:n\in\mathbb N\}[/tex]. Με [tex]A'[/tex] συμβολίζουμε το σύνολο των σημείων συσσώρευσης ενός συνόλου [tex]A \subset \mathbb R[/tex].

Ορισμός 1 Το σημείο [tex]a\in \mathbb R[/tex] θα λέγεται σημείο συσσώρευσης της ακολουθίας [tex](x_n)[/tex] αν το [tex]a\in X'[/tex].

Ορισμός 2 Το σημείο [tex]b\in \mathbb R[/tex] θα λέγεται οριακό σημείο της [tex](x_n)[/tex] αν για κάθε [tex]\epsilon>0[/tex] και για κάθε [tex]n\in \mathbb N[/tex] υπάρχει [tex]m>n[/tex] ώστε [tex]|x_m-b|<\epsilon[/tex].
Εύκολα μπορεί να δείξει κάποιος ότι το [tex]b[/tex] είναι οριακό σημείο αν και μόνον αν το [tex]b[/tex] είναι όριο κάποιας υπακολουθίας της [tex](x_n)[/tex]. Συμβολίζουμε με [tex]\mathcal L(x_n)[/tex] το σύνολο των οριακών σημείων της [tex](x_n)[/tex].

Τότε ισχύουν τα ακόλουθα:

(α) Το [tex]\mathcal L(x_n)[/tex] είναι μη κενό. (θεώρημα Bolzano-Weierstrass)

(β) Το [tex]\mathcal L(x_n)[/tex] είναι μονοσύνολο αν και μόνον αν η [tex](x_n)[/tex] είναι συγκλίνουσα.

(γ) Το [tex]\mathcal L(x_n)[/tex] έχει μέγιστο και ελάχιστο στοιχείο. Ορίζουμε [tex]m=\liminf_{n\to \infty}x_n=\min\mathcal L(x_n)[/tex] και [tex]M=\limsup_{n\to \infty}x_n=\max \mathcal L(x_n)[/tex].
(υπόδειξη. Αυτό είναι ένα διαγώνιο επιχείρημα. Αποδείξτε ότι τα [tex]\inf\mathcal L,\,\sup\mathcal L[/tex] υπάρχουν και είναι οριακά σημεία της [tex](x_n)[/tex].)

(δ) Ισχύουν οι συνολοθεωρητικοί εγκλεισμοί: [tex]X'\subset \mathcal L(x_n)\subset [m,M][/tex].

(ε) Δείξτε με ένα παράδειγμα ότι οι παραπάνω σχέσεις εγκλεισμού μπορεί να είναι γνήσιες.

(στ) Αν [tex]x_n\neq x_m[/tex] για [tex]n\neq m[/tex], τότε [tex]X'=\mathcal L(x_n)[/tex].

(ζ) Αν [tex]\lim_{n\to \infty}(x_{n+1}-x_n)=0[/tex], τότε [tex]\mathcal L(x_n)=[m,M][/tex]. (θεώρημα Baroni)

(η) Εξετάστε κατά πόσο ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Baroni.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μαρ 2007, 23:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Πρίν γράψω την απόδειξη στο θεώρημα Baroni, οι σημείωσεις που υπάρχουν στο
e-class περίεχουν πολύ σχετικές πληροφορίες στο κεφάλαιο [tex]2.8[/tex]
"Ανώτερο και κατώτερο όριο ακολουθίας".

Για να αποφεύγοντε οι συγχήσεις μιλάμε για φραγμένη ακολουθλια [tex] (a_n)[/tex]

Αν έχουμε,

[tex]\alpha=\lim \sup_{n} x_n=\lim \inf_{n} x_n[/tex] τότε από το Θεώρημα

[tex]2.8.8[/tex] έχουμε οτι η [tex]x_n[/tex] συγκλίνει. Επίσης το [tex]\mathal L(x_n)[/tex]

προφανώς είναι μονοσύνολο που περίεχει το [tex] \alpha[/tex].

Oπότε υποθέτουμε οτι

[tex]m=\lim \sup_{n} x_n \neq \lim \inf_{n} x_n=M[/tex], οπότε έχει δειχθεί στο

λήμμα 2.8.3 ότι [tex] m, M \in \mathcal L(x_n)[/tex]

Για να τελείωσουμε αρκεί να δείξουμε οτι, κάθε αριθμός στο ανοικτό διάστημα

[tex](m.M)[/tex] είναι ένα σημείο συσσώρευσης της [tex]x_n[/tex]

Συνεχίζεται...

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2007, 00:16 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Eν αναμονεί της απόδειξης,όσον αφορά το ερώτημα (η)
θέτοντας [tex]x_n=0,1,0,\frac{1}{2},1,0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},0,\frac{1}{8}...[/tex],η ακολουθία [tex]x_n[/tex] είναι πυκνή στο [0,1],ενώ δεν ισχύει [tex]x_{n+1}-x_{n}\rightarrow 0[/tex],γιατί η υπακολουθία [tex]x_{1+k_{n}}-x_{k_n}[/tex] συγκλίνει στο 1,όταν [tex]x_{k_n}=0.[/tex]Καθώς εδώ η [tex]x_{n+1}-x_{n}[/tex] έχει υπακολουθιακό όριο το 0,ένα ερώτημα είναι εάν για κάθε ακολουθία Baroni [tex]x_n[/tex],η [tex]x_{n+1}-x_{n}[/tex] έχει πάντα υπακολουθιακό όριο το 0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2007, 10:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Στο ερώτημα που έθεσε ο sofos:

Αν [tex]\theta\notin \mathbb Q[/tex], η ακολουθία [tex]x_n=n\theta-[n\theta][/tex] είναι πυκνή στο [tex][0,1][/tex] (Θεώρημα Kronecker). Παρ' όλα αυτά η ακολουθία [tex]\delta_n=x_{n+1}-x_n[/tex] δεν έχει υπακολουθιακό όριο το 0, διότι αν υπήρχε [tex]\delta_{k_n}\to 0[/tex], τότε θα είχαμε [tex][κ_n\theta +\theta]-[k_n\theta]\to \theta\notin \mathbb Q[/tex] και αυτό είναι άτοπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2007, 23:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Συνέχεια,

Με επαγωγή σε άτοπο. Εστω [tex]x_0 \in (m,M)[/tex], υποθέτουμε οτι δεν είναι σημείο
συσσώρευσης της [tex]x_n[/tex]. Τότε υπάρχει ένα [tex] \epsilon >0[/tex]
και ένα [tex] n_0[/tex] τέτοιο ώστε [tex]\forall \ n>n_0[/tex] να ισχυεί [tex]a_n \notin (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)[/tex], για το [tex]\epsilon[/tex] έχουμε (το κάνουμε οσο μικρό θελουμε το [tex]\epsilon[/tex]) [tex](1).m<x_0-\epsilon<x_0<x_0+\epsilon<M[/tex].
Έχουμε [tex]\lim(x_{n+1}-x_n)=0[/tex] δηλ, υπάρχει [tex]n_1 : \ \forall n>n_1[/tex]
να έχουμε [tex] |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon[/tex]. Aπό το Θεώρημα [tex]2.8.6, \ (3)[/tex].
υπάρχει ένας όρος [tex]x_f[/tex] τέτοιος ώστε [tex] x_f<m+\epsilon<x_0[/tex] και [tex]f>max\{n_1,n_0\}[/tex].
Οπότε, [tex]x_{f+1}\leq |x_{f+1}-x_f|+x_f<x_0+\epsilon[/tex]. Nαι αλλά απο
[tex](1) \ x_{f+1}<x_0-\epsilon[/tex] και συνεπώς έχουμε "φράξει" όλους τους όρους της [tex]x_n[/tex] με [tex]n>f+1[/tex] πάνω απο το [tex]x_0-\epsilon[/tex] και συνεπως
[tex]M\leq x_0 - \epsilon<M[/tex].

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 83 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5, 6

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group