forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 25 Φεβ 2018, 08:13

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 83 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5, 6  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιαν 2007, 19:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
sef έγραψε:
κ. Γιαννοπουλε σχετικα με τα προτεινομενα βιβλια 2,3 γνωριζεις αν υπαρχουν στη βιβλιοθηκη του τμηματος?


Αλέξη, μπορείς να ελέγχεις αν υπάρχει κάποιο βιβλίο, στη διεύθυνση

http://www.lib.uoa.gr/opac

Απ' ότι είδα, τα συγκεκριμένα δεν υπάρχουν. Μπορείς να πάρεις κάποια ιδέα για το τρίτο βιβλίο από την προσωπική σελίδα του Wanner:

http://www.unige.ch/~wanner/

Για το δεύτερο, μια περιγραφή από το Zentralblatt MATH (για να καταλάβεις την ιδιορρυθμία):

1. This is the first of the two volumes of a course of mathematical analysis taught by Roger Godement during thirty-five years at the University of Paris. The contents is quite classical: sets and functions, convergence of sequences and series, continuous and differentiable functions, elementary functions.

The treatment is less classical: precise although unpedantic (rather far from the style definition-theorem-corollary), it contains many interesting commentaries of epistemological, pedagogical, historical and even political nature. The ones on set theory, real numbers, harmonic series, uniform convergence, Cauchy criterion, differentiable functions, logarithmic function, strange identities can be recommended. The author also gives frequent interesting hints on recent developments of mathematics connected to the concepts which are introduced. The Introduction contains also comments which are very unusual in a book on mathematical analysis, going from pedagogy to critics of the French scientific-military-industrial complex, but the sequence of ideas is introduced in such a way that the reader is less surprised than he should.

2. This second volume of Godement's is devoted to integral calculus (Riemann integral with glimpses on Lebesgue integral, Radon measure and Schwartz distributions), asymptotic expansions, harmonic analysis and holomorphic functions. The style is similar to that of volume I, and the book concludes with a polemic postface of almost one hundred pages on Science, technology and weapons, a mixture of generous ideas and local French politics, built around the famous discussion of Fourier and Jacobi about applied and pure mathematics. In contrast to the always appreciated scientific quotations, some of them occurring in this postface and throughout the book may be less appreciated.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιαν 2007, 13:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Eυχαριστω, για τις πληροφοριες.
Επισης σχετικα με την πρωτη ασκηση απο τις ασκησεις θεμελιωσης δεν
εχω βρει εναν αυστηρο ορισμο, υπαρχει κανενα link στο Internet?

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Ιαν 2007, 10:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
sef έγραψε:
Eυχαριστω, για τις πληροφοριες. Επισης σχετικα με την πρωτη ασκηση απο τις ασκησεις θεμελιωσης δεν εχω βρει εναν αυστηρο ορισμο, υπαρχει κανενα link στο Internet?


Η "θεμελίωση" αυτή, την οποία έχω δεί να αναφέρεται μόνο από τον Hardy και δεν την έχω δεί να αναπτύσσεται κάπου, μου φαίνεται αρκετά εξεζητημένη. Δεν θα έλεγα ότι είναι άσκηση και σίγουρα δεν μας είναι απαραίτητη και τέταρτη (ή πέμπτη) θεμελίωση.

Απλώς, κι αυτή η μορφή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων έχει ενδιαφέρουσες ιστορικές ρίζες. Αφετηρία είναι (μάλλον) ο Euler: αυτός χρησιμοποίησε το ανάπτυγμα της [tex]\sin[/tex] σε απειρογινόμενο για να υπολογίσει το άθροισμα

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex]

καθώς και το

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.[/tex]

Δεν έχεις παρά να γράψεις

[tex]\prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1-\frac{x^2}{n^2}\right )=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=1-\frac{\pi^2x^2}{3!}+\frac{\pi^4x^4}{5!}-\cdots [/tex]

και να κάνεις (τυπικά) τις πράξεις στο αριστερό μέλος. Ο Euler έφτανε στο απειρογινόμενο θεωρώντας την αλγεβρική εξίσωση "άπειρου βαθμού"

[tex]\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\cdots =0,[/tex]

η οποία έχει μόνο πραγματικές ρίζες (!) στα σημεία [tex]n\pi [/tex], [tex]n\in {\mathbb Z}\setminus\{ 0\}[/tex]. Άρα, το αριστερό μέλος πρέπει (!) να είναι ένα πολυώνυμο άπειρου βαθμού κλπ. Λεπτομέρειες θα βρείς σε διάφορα βιβλία, για παράδειγμα στα

Remmert: Theory of Complex Functions
Remmert: Classical Topics in Complex Function Theory

Ένα κλασικό βιβλίο Μιγαδικής Ανάλυσης που υπάρχει στο διαδίκτυο είναι το: Stanislaw Saks and Antoni Zygmund, Analytic Functions. Μπορείς να το βρεις στη διεύθυνση

http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=28&wyd=10&jez=

Η θεωρία των απειρογινομένων (Weierstrass) βρίσκεται εδώ:

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon28/mon2808.pdf


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Ιαν 2007, 23:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Μια κλασικη ασκηση(απ' οτι εχω καταλαβει), ειναι η εξης

Εστω [tex]a_1, a_2, \cdots[/tex] μια ακολουθια θετικων ορων δειξε οτι,

[tex] \lim_{n\to\infty}sup\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)\geq e[/tex]


Αλλη μια,

Εστω [tex]n_1<n_2<...<n_k<....[/tex] μια ακολουθια ακεραιων αν

[tex]\lim_{k\to\infty}\frac{n_{k+1}}{n_{1}n_{2}\cdots n_k}=\infty[/tex]

δειξτε οτι ο αριθμος [tex]\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n_i}[/tex] ειναι αρρητος.

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Ιαν 2007, 12:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
Αλέξη, να δώσω μια υπόδειξη, στην πρώτη άσκηση μάλλον έχεις ξεχάσει να υψώσεις στη [tex]n[/tex]-οστή δύναμη.

sef έγραψε:
Μια κλασικη ασκηση(απ' οτι εχω καταλαβει), ειναι η εξης

Εστω [tex]a_1, a_2, \cdots[/tex] μια ακολουθια θετικων ορων δειξε οτι,

[tex] \limsup_{n\to \infty }\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n\geq e[/tex]


Είναι όντως κλασική (Polya): Αφού [tex]\lim_{n\to\infty }\left (\frac{n+1}{n}\right )^n=e[/tex], αρκεί να δείξουμε ότι

[tex]\limsup_{n\to\infty }\left (\frac{n(a_1+a_{n+1})}{(n+1)a_n}\right )^n\geq 1.[/tex]

Αν υποθέσουμε ότι αυτό δεν ισχύει, τότε υπάρχει [tex]m\in {\mathbb N}[/tex] ώστε για κάθε [tex]n\geq m[/tex] να ισχύει

[tex]n(a_1+a_{n+1})<(n+1)a_n.[/tex]

Από αυτήν παίρνουμε

[tex]\frac{a_{n+1}}{n+1}<\frac{a_n}{n}-\frac{a_1}{n+1},[/tex]

και επαγωγικά, για κάθε [tex]k\in {\mathbb N}[/tex],

[tex]\frac{a_{m+k}}{m+k}<\frac{a_m}{m}-a_1\left (\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{m+k}\right ).[/tex]

Αυτό οδηγεί σε άτοπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Ιαν 2007, 22:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Pragmati to xehasa, an kai tha elega oti einai kai lisi...

Gia ti deuteri askisia arkei na mimithei kapoios tin apodeixi oti
o e einai arritos, tin paratheto http://mathforum.org/isaac/problems/eproof.html
Kai ousiastika tha prepei na bri ena kalo [tex] M>0[/tex] etsi oste gia kathe
[tex]i \geq k[/tex] kati na isxiei...

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Ιαν 2007, 00:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
sef έγραψε:
Gia ti deuteri askisia arkei na mimithei kapoios tin apodeixi oti
o e einai arritos, tin paratheto http://mathforum.org/isaac/problems/eproof.html
Kai ousiastika tha prepei na bri ena kalo [tex] M>0[/tex] etsi oste gia kathe
[tex]i \geq k[/tex] kati na isxiei...


Πράγματι, δεν διαφέρει πολύ η απόδειξη: να υποθέσουμε ότι το άθροισμα είναι κάποιος [tex]p/q[/tex] και να πολλαπλασιάσουμε την ισότητα με [tex]qn_1\cdots n_k[/tex] για κάποιον [tex]k[/tex] αρκετά μεγάλο ώστε [tex]n_{i+1}>10qn_1\cdots n_i[/tex] για κάθε [tex]i\geq k[/tex]. Είναι εντάξει αυτό;

Υπάρχουν πολλά προβλήματα αυτού του είδους. Για παράδειγμα:

Άσκηση 1. Αν [tex](n_k)[/tex] είναι μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών με την ιδιότητα [tex]\sqrt[2^k]{n_k}\to\infty [/tex], τότε ο [tex]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{n_k}[/tex] είναι άρρητος.

Άσκηση 2. Αν [tex](n_k)[/tex] είναι μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών, τότε ο [tex]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2^{n_k}}{n_k!}[/tex] είναι άρρητος.

Άσκηση 3. Για κάθε φυσικό [tex]k\geq 2[/tex], ο [tex]\prod_{n=1}^{\infty
}\left ( 1-\frac{1}{k^n}\right )[/tex] είναι άρρητος.

Άσκηση 4. Έστω [tex]k,m\in {\mathbb N}[/tex]. Τότε, ο [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(mn+k)}[/tex] είναι ρητός αν και μόνο αν ο [tex]m[/tex] διαιρεί τον [tex]k[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Φεβ 2007, 16:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Sto biblio pou pirame (apeirostiko 1)iparxei mia askisi 5-22

Gia ena sinolo A thetoume
[tex]A_{(2)} = \{B \subset A : to \ B \ exei \ akribos \ dio \ stoixeia \}[/tex]
i) (Ramsey). Esto oti [tex]N_{(2)} = A \cup B[/tex] gia kapoia sinola [tex]A, \ B[/tex]
Apodeixte oti iparxei [tex]M \subset N[/tex] oste [tex]M[/tex] apeiro kai
[tex]M_{2} \subset A[/tex] h [tex]M_{2} \subset B[/tex].

Tha me endiefere poli opoios gnorizei to parapano, na boithisei kai allous na
sximatisoun kapoia idea.

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Φεβ 2007, 18:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
sef έγραψε:
Sto biblio pou pirame (apeirostiko 1) iparxei mia askisi 5-22: Gia ena sinolo A thetoume [tex]A_{(2)} = \{B \subset A : {\rm to} \ B {\rm \ exei \ akribos \ dio \ stoixeia} \}[/tex]

(i) (Ramsey). Esto oti [tex]N_{(2)} = A \cup B[/tex] gia kapoia sinola [tex]A, \ B[/tex]. Apodeixte oti iparxei [tex]M \subset N[/tex] oste [tex]M[/tex] apeiro kai
[tex]M_{2} \subset A[/tex] h [tex]M_{2} \subset B[/tex].

Tha me endiefere poli opoios gnorizei to parapano, na boithisei kai allous na
sximatisoun kapoia idea.



Αλέξη, πολύ ενδιαφέρον θέμα (υπάρχουν και πολλοί ειδικοί επί του θέματος στο Τμήμα μας). Απειροστικός Ι; Μάλλον όχι. Να γράψω μια απόδειξη του θεωρήματος, αν θέλεις να το συζητήσεις περισσότερο ίσως θα μπορούσε ο Κωνσταντίνος να δημιουργήσει νέο θέμα: Θεωρήματα τύπου Ramsey.

Για κάθε [tex]k\in {\mathbb N}[/tex] και για κάθε σύνολο [tex]A[/tex] γράφουμε [tex]A^{[k]}[/tex] για το σύνολο όλων των υποσυνόλων του [tex]A[/tex] που έχουν ακριβώς [tex]k[/tex] στοιχεία.

Θεώρημα. Έστω [tex]B[/tex] ένα πεπερασμένο σύνολο, έστω [tex]k\in {\mathbb N}[/tex] και έστω [tex]f:{\mathbb N}^{[k]}\to B[/tex] τυχούσα συνάρτηση. Τότε, υπάρχει άπειρο σύνολο [tex]M\subseteq {\mathbb N}[/tex] ώστε η εικόνα [tex]f(M^{[k]})[/tex] να είναι μονοσύνολο.

Η άσκηση που αναφέρεις προκύπτει από αυτό (από την περίπτωση [tex]k=2[/tex]).

Απόδειξη: Με επαγωγή ως προς [tex]k[/tex]. Για [tex]k=1[/tex] είναι απλό (αρχή του περιστερώνα). Υποθέτουμε ότι η πρόταση ισχύει για τον [tex]k[/tex] και θεωρούμε [tex]f:{\mathbb N}^{[k+1]}\to B[/tex], όπου το [tex]B[/tex] είναι πεπερασμένο σύνολο.

Σταθεροποιούμε [tex]m_1\in {\mathbb N}[/tex] και κοιτάζουμε τη συνάρτηση [tex]f_{m_1}:({\mathbb N}\setminus \{ m_1\})^{[k]}\to B[/tex] που ορίζεται ως εξής: [tex]f_{m_1}(\{ n_1,\ldots ,n_k\})=f(\{ m_1,n_1,\ldots ,n_k\}).[/tex]

Από την επαγωγική υπόθεση, υπάρχει άπειρο σύνολο [tex]M_1\subseteq {\mathbb N}\setminus\{ m_1\}[/tex] με την εξής ιδιότητα: υπάρχει [tex]b_1\in B[/tex] ώστε [tex]f(\{ m_1,n_1,\ldots ,n_k\})=b_1[/tex] για κάθε [tex]\{ n_1,\ldots ,n_k\}\subset M_1[/tex].

Σταθεροποιούμε [tex]m_2\in M_1[/tex] και δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε άπειρο σύνολο [tex]M_2\subseteq M_1\setminus\{ m_2\}[/tex] και [tex]b_2\in B[/tex] ώστε [tex]f(\{ m_2,n_1,\ldots ,n_k\})=b_2[/tex] για κάθε [tex]\{ n_1,\ldots ,n_k\}\subset M_2[/tex].

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, ορίζουμε άπειρη ακολουθία άπειρων συνόλων [tex]M_0:={\mathbb N}\supset M_1\supset M_2\supset \cdots [/tex] και ακολουθία φυσικών [tex]\{ m_j\}[/tex] ώστε [tex]m_j\in M_{j-1}\setminus M_j[/tex] και [tex]f(\{ m_j,n_1,\ldots ,n_k\})=b_j[/tex] για κάθε [tex]\{ n_1,\ldots ,n_k\}\subseteq M_j[/tex].

Αφού το [tex]B[/tex] είναι πεπερασμένο, από την αρχή του περιστερώνα, υπάρχουν [tex]j_1<j_2,\cdots <j_s<\cdots [/tex] και [tex]b\in B[/tex] ώστε [tex]f(\{ m_{j_s},n_1,\ldots ,n_k\})=b[/tex] για κάθε [tex]\{ n_1,\ldots ,n_k\}\subseteq M_{j_s}[/tex].

Αν θέσουμε [tex]M=\{ m_{j_1},m_{j_2},\ldots ,m_{j_s},\ldots \}[/tex], η παραπάνω κατασκευή δείχνει ότι [tex]f(M^{[k]})=\{ b\}[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Φεβ 2007, 22:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Euxaristo gia tin apantisi, mporei na min exei sxesi me ton apeirostiko alla ayto
pou mou proklaese to endiaferon eina oti bgainei to theorima Bolzano-Weierstrass,
san apli efarmogi toy


Εικόνα

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Φεβ 2007, 12:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
sef έγραψε:
Euxaristo gia tin apantisi, mporei na min exei sxesi me ton apeirostiko alla ayto pou mou proklaese to endiaferon eina oti bgainei to theorima Bolzano-Weierstrass, san apli efarmogi toy


Αλέξη, αυτός είναι άλλωστε ο λόγος για τον οποίο το θεώρημα Ramsey εμφανίζεται στις ασκήσεις του βιβλίου σας. Το δεύτερο ερώτημα της ίδιας άσκησης ζητάει να δείξετε ακριβώς αυτό: ότι κάθε ακολουθία έχει μονότονη υπακολουθία. Θυμηθείτε την απόδειξη που είδαμε στο μάθημα, με τα "σημεία κορυφής". Ήταν πάλι συνδυαστικό το επιχείρημα, σαφώς απλούστερο όμως από την απόδειξη του θεωρήματος Ramsey.

Το θεώρημα Ramsey έχει πολλές εφαρμογές στην Ανάλυση, ξεφεύγουν όμως από το θέμα στο οποίο βρισκόμαστε τώρα. Μια και θυμηθήκαμε το θεώρημα Bolzano-Weierstrass, να προσθέσω τρία προβλήματα:

Πρόβλημα 1. Έστω [tex](x_n)[/tex] ακολουθία στο [tex][0,1][/tex]. Δείξτε ότι υπάρχει υπακολουθία [tex](x_{k_n})[/tex] με την ιδιότητα [tex]|x_{k_{n+1}}-x_{k_n}|<\frac{1}{n^2}[/tex] για κάθε [tex]n\in {\mathbb N}[/tex].

Πρόβλημα 2. Έστω [tex](x_n)[/tex] ακολουθία στο [tex][0,1][/tex]. Δείξτε ότι υπάρχει υπακολουθία [tex](x_{k_n})[/tex] με την ιδιότητα [tex]|x_{k_{n+1}}-x_{k_n}|<\frac{1}{k_{n-1}^2}[/tex] για κάθε [tex]n\geq 2[/tex].

Πρόβλημα 3. Δείξτε ότι για κάθε [tex]n\in {\mathbb N}[/tex] υπάρχει [tex]M_n\in {\mathbb N}[/tex] με την εξής ιδιότητα: Αν [tex](x_m)[/tex] είναι μια ακολουθία στο [tex][0,1][/tex], τότε υπάρχουν φυσικοί [tex]k_1<k_2<\cdots <k_n\leq M_n[/tex] με την ιδιότητα [tex]|x_{k_{s+1}}-x_{k_s}|<\frac{1}{k_{s-1}^2}[/tex] για κάθε [tex]s=2,\ldots ,n-1[/tex].

Μπορείτε να δώσετε εκτίμηση για τον [tex]M_n[/tex] σε σχέση με το [tex]n[/tex];


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Bolzano-Weierstrass
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Φεβ 2007, 13:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Ας κάνω την αρχή λύνοντας το πρόβλημα 1. Ελπίζω να δώσουμε απαντήσεις και στα επόμενα δυο!

Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η [tex](x_n)[/tex] συγκλίνει σε κάποιο [tex]x_0\in [0,1][/tex] περνώντας σε κάποια υπακολουθία. Τώρα για κάθε [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] υπάρχει [tex]k_n\in \mathbb{N}[/tex] ώστε [tex]|x_{k_n}-x_0|<\frac{1}{2n^2}[/tex] εφόσον [tex]x_n\rightarrow x_0[/tex]. Μάλιστα τα [tex]k_n[/tex] μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να σχηματίζουν γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών. Οπότε έχουμε κατασκευάσει μια υπακολουθία της [tex](x_n).[/tex] Επιπλέον, από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι
[tex]|x_{k_{n+1}}-x_{k_n}|\leq |x_{k_{n+1}}-x_0|+|x_{k_n}-x_0|<\frac{1}{2(n+1)^2}+\frac{1}{2n^2}<\frac{1}{n^2}[/tex] για [tex]n=1,2,\ldots[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Φεβ 2007, 03:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
Ας δούμε ότι έχουμε αφήσει, ξεκινώντας από μια παλαιότερη άσκηση:

Παράθεση:
(β) Για κάθε [tex]n\in {\mathbb N}[/tex] θεωρούμε τους [tex]{n\choose 0},{n\choose 1},\ldots ,{n\choose k},\ldots ,{n\choose n}[/tex] και γράφουμε [tex]\alpha_n[/tex] για τον αριθμητικό τους μέσο και [tex]\gamma_n[/tex] για τον γεωμετρικό τους μέσο. Δεν είναι δύσκολο να δείτε ότι [tex]\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{\alpha_n}=2.[/tex] Δείξτε ότι [tex]\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{\gamma_n}=\sqrt{e}.[/tex]


Υπόδειξη: Αποδεικνύουμε πρώτα ότι [tex]\prod_{k=0}^n{n\choose k}=\prod_{k=1}^n(n+1-k)^{n+1-2k}[/tex] και αυτό το γινόμενο με τη σειρά του είναι ίσο με [tex]\prod_{k=1}^n\left (\frac{n+1-k}{n+1}\right )^{n+1-2k}=\prod_{k=1}^n\left ( 1-\frac{k}{n+1}\right )^{n+1-2k}[/tex]. Συνεπώς, [tex]\log (\sqrt[n]{\gamma_n})=\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n(n+1-2k)\log \left ( 1-\tfrac{k}{n+1}\right )[/tex].

Τώρα γράφουμε την τελευταία ποσότητα στη μορφή [tex]\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot\left ( 1-\tfrac{2k}{n+1}\right )\log \left (1-\tfrac{k}{n+1}\right )[/tex]. Μπορούμε λοιπόν να δούμε τον [tex]\log (\sqrt[n]{\gamma_n})[/tex] σαν άθροισμα Riemann για τη συνάρτηση [tex]f(x)=(1-2x)\log (1-x)[/tex] στο [tex](0,1)[/tex]. Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής [tex]y=1-x[/tex] παίρνουμε [tex]\lim_{n\to\infty }\log (\sqrt[n]{\gamma_n})=\int_0^1(2y-1)\log y\,dy=\frac{1}{2}[/tex].

Έπεται ότι [tex]\sqrt[n]{\gamma_n}\to \sqrt{e}[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Άλλη μια άσκηση στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Φεβ 2007, 17:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2950
Στον Απειροστικό Λογισμό Ι μαθαίνουμε ότι η ακολουθία [tex]a_n=\left ( 1+\frac{1}{n}\right )^n[/tex] είναι γνησίως αύξουσα, η ακολουθία [tex]b_n=\left ( 1+\frac{1}{n}\right )^{n+1}[/tex] είναι γνησίως φθίνουσα, και [tex]a_n\uparrow e[/tex], [tex]b_n\downarrow e[/tex].

Ερώτηση 1: Ποιά είναι η μικρότερη τιμή του [tex]\rho [/tex] για την οποία η ακολουθία [tex]\left ( 1+\frac{1}{n}\right )^{n+\rho }[/tex] είναι φθίνουσα; Για ποιές τιμές του [tex]\rho [/tex] είναι φθίνουσα αυτή η ακολουθία;

Ερώτηση 2: Ποιά είναι η μεγαλύτερη τιμή του [tex]\rho [/tex] για την οποία η ακολουθία [tex]\left ( 1+\frac{1}{n}\right )^{n+\rho }[/tex] είναι αύξουσα; Για ποιές τιμές του [tex]\rho [/tex] είναι αύξουσα αυτή η ακολουθία;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Άλλη μια άσκηση στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Φεβ 2007, 14:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Θέλουμε να προσδιορίσουμε τους [tex]\rho [/tex] για τους οποίους η συνάρτηση [tex] f(x)=(x+\rho)\log\left(x+\frac{1}{x}\right),\; x>0[/tex] είναι γνησίως αύξουσα πάνω στο [tex]\mathbb{N}[/tex].
Παραγωγίζοντας την έχουμε [tex]f'(x)=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+\rho}{x(x+1)}[/tex]. Αναζητούμε λοιπόν τα [tex]\rho[/tex] για τα οποία ισχύει [tex]g(x)\geq \rho[/tex] όπου [tex]g(x)=x(x+1)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-x[/tex]. Προς τούτο θα προσδιορίσουμε το σύνολο τιμών της [tex]g[/tex]. Παραγωγίζοντας έχουμε [tex]g'(x)=(2x+1)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-2=(2x+1)\left[\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{2}{2x+1}\right][/tex]. Από την ανισότητα Kepler: [tex]\frac{s-t}{\log t-\log s}<\frac{s+t}{2}[/tex] για [tex]s=x+1[/tex] και [tex]t=x[/tex] έχουμε ότι [tex]\frac{1}{\log(x+1)-\log x}<\frac{2x+1}{2}[/tex] ή ότι [tex]\frac{g'(x)}{2x+1}>0\Rightarrow g'(x)>0[/tex]. Άρα η [tex]g[/tex] είναι γνησίως αύξουσα. Έχουμε ότι [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}g(x)=0[/tex]. Αν είναι [tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=1[/tex] τότε έχουμε ότι το σύνολο τιμών της [tex]g[/tex] είναι το [tex](0,1)[/tex]. Άρα για κάθε [tex]\rho\in (0,1)[/tex] υπάρχει [tex]x_0>0[/tex] ώστε [tex]g(x_0)=\rho[/tex].
Για να είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα η [tex]f[/tex] στο [tex]\mathbb{N}[/tex] αρκεί [tex]g(1)\geq \rho\Leftrightarrow \rho\leq \log(4/e)[/tex]. Αν είναι [tex]1>\rho\geq g(2)[/tex] τότε η [tex]\exp(f(n))[/tex] δεν είναι μονότονη. Αν [tex]\rho\geq 1[/tex] τότε η [tex]\exp(f(n))[/tex] είναι γνησίως φθίνουσα. Το ερώτημα λοιπόν είναι τί γίνεται όταν [tex]g(1)<\rho<g(2)[/tex];

Υπάρχουν λοιπόν δυο βασικά ερωτήματα:

Ερώτ. 1: Είναι [tex]\lim_{x\rigtharrow +\infty}g(x)=1[/tex];

Ερώτ.2: Tί γινεται με το πρόσημο του [tex]f(1)-f(2)[/tex] όταν [tex]g(1)<\rho<g(2)[/tex];


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 83 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5, 6  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group